Номер 247, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 247, страница 48.

Условие.

Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

247. Сравните с нулём значения выражений: $5^{101}$, $-5^{101}$, $(-5)^{101}$, $-(-5)^{101}$.

Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Сравните с нулём значения выражений: $5^{101}, -5^{101}, (-5)^{101}, -(-5)^{101}$

Для сравнения значений данных выражений с нулём, определим знак каждого из них на основе правил возведения в степень.

• Выражение $5^{101}$:
  Основание степени (5) является положительным числом. Любая степень положительного числа есть число положительное.
  Следовательно, $5^{101} > 0$.

• Выражение $-5^{101}$:
  Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень $5^{101}$, а затем применяется унарный минус (что равносильно умножению на -1). Так как $5^{101}$ — положительное число, то $-5^{101}$ будет отрицательным.
  Следовательно, $-5^{101} < 0$.

• Выражение $(-5)^{101}$:
  Здесь в степень возводится отрицательное число (-5). Показатель степени (101) является нечетным числом. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным.
  Следовательно, $(-5)^{101} < 0$.

• Выражение $-(-5)^{101}$:
  Сначала вычислим значение $(-5)^{101}$. Как мы установили в предыдущем пункте, это отрицательное число. Выражение принимает вид $-(\text{отрицательное число})$, что в результате дает положительное число.
  Следовательно, $-(-5)^{101} > 0$.

Ответ: $5^{101} > 0$ (значение больше нуля), $-5^{101} < 0$ (значение меньше нуля), $(-5)^{101} < 0$ (значение меньше нуля), $-(-5)^{101} > 0$ (значение больше нуля).

Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

Да, чтобы это проверить, сравним значения выражений между собой, используя их упрощенные формы.

• Сравним выражения $-5^{101}$ и $(-5)^{101}$.
  Как было показано, при возведении отрицательного основания в нечетную степень, минус можно вынести за скобки: $(-5)^{101} = -5^{101}$.
  Следовательно, эти два выражения равны.

• Сравним выражения $5^{101}$ и $-(-5)^{101}$.
  Упростим второе выражение: $-(-5)^{101} = -(-5^{101})$. Раскрывая скобки (минус на минус дает плюс), получаем $5^{101}$.
  Следовательно, эти два выражения также равны.

Ответ: Да, есть. Равными являются следующие пары выражений: $-5^{101} = (-5)^{101}$ и $5^{101} = -(-5)^{101}$.