Страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое тождество выражает основное свойство степени?

1. Основное свойство степени, которое также называют главным, — это правило умножения степеней с одинаковым основанием. Оно формулируется так: при умножении степеней с одинаковым основанием, само основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

Это свойство выражается следующим тождеством: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В этой формуле $a$ является основанием степени, а $m$ и $n$ — её показателями. Данное тождество справедливо для любых чисел $a$, $m$ и $n$, при которых входящие в него выражения имеют смысл (например, для любого $a \neq 0$ и целых показателей $m$ и $n$).

Проиллюстрируем это свойство на примере: $3^2 \cdot 3^3$. По определению, $3^2 = 3 \cdot 3$ и $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3$. Тогда их произведение равно $(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 3^5$. Мы видим, что показатель итоговой степени $5$ равен сумме показателей $2+3$. Это подтверждает тождество: $3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5$.

Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

2. Как умножить степени с одинаковыми основаниями?

Чтобы умножить две или более степени с одинаковыми основаниями, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Это одно из ключевых свойств степеней.

Правило

В общем виде это правило можно записать с помощью следующей математической формулы:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

где:

• $a$ – это основание степени (любое число или выражение, при этом $a \neq 0$);

• $m$ и $n$ – это показатели степени (любые действительные числа).

Объяснение правила на примере

Давайте разберемся, почему это правило работает. Возьмем для примера выражение $2^2 \cdot 2^3$.

По определению степени, мы можем расписать каждый множитель:

$2^2 = 2 \cdot 2$ (число 2 умножается само на себя 2 раза)

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ (число 2 умножается само на себя 3 раза)

Теперь перемножим эти выражения:

$2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Как мы видим, в итоговом произведении число 2 умножается само на себя 5 раз. Это можно записать как $2^5$.

Если мы сложим исходные показатели степеней, мы получим тот же результат: $2 + 3 = 5$.

Следовательно, $2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5$.

Примеры использования

1. Упростить выражение $7^4 \cdot 7^5$ .
   Основание одинаковое (7), поэтому складываем показатели:
   $7^4 \cdot 7^5 = 7^{4+5} = 7^9$

2. Упростить выражение $x^8 \cdot x^3$ .
   Основание буквенное (x), но правило остается тем же:
   $x^8 \cdot x^3 = x^{8+3} = x^{11}$

3. Упростить выражение $y^3 \cdot y \cdot y^6$ .
   Здесь три множителя. Важно помнить, что $y$ — это то же самое, что и $y^1$ .
   $y^3 \cdot y^1 \cdot y^6 = y^{3+1+6} = y^{10}$

4. Пример с отрицательным показателем:
   $a^7 \cdot a^{-4} = a^{7+(-4)} = a^{7-4} = a^3$

Ответ: Для того чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Формула этого правила: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

3. Как разделить степени с одинаковыми основаниями?

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Важно помнить, что основание степени не должно быть равно нулю.

Это правило можно записать в виде формулы:
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
где $a$ — это основание степени ($a \neq 0$), $m$ — показатель степени делимого, а $n$ — показатель степени делителя.

Доказательство правила:
Распишем деление степеней в виде дроби, используя определение степени:
$ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}^{m \text{ множителей}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ множителей}}} $
При условии, что $m > n$, мы можем сократить дробь на $n$ одинаковых множителей $a$. В результате в числителе останется $m-n$ множителей, равных $a$.
$ \frac{\overbrace{\cancel{a} \cdot \dots \cdot \cancel{a}}^{n \text{ раз}} \cdot \overbrace{a \cdot \dots \cdot a}^{m-n \text{ раз}}}{\underbrace{\cancel{a} \cdot \dots \cdot \cancel{a}}_{n \text{ раз}}} = \overbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}^{m-n \text{ раз}} = a^{m-n} $

Пример 1:
Разделим $5^6$ на $5^4$.
Применяем правило: основание $5$ оставляем прежним, а показатели вычитаем: $6 - 4 = 2$.
$ 5^6 : 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25 $.

Пример 2:
Разделим $c^8$ на $c^3$, где $c \neq 0$.
$ \frac{c^8}{c^3} = c^{8-3} = c^5 $.

Ответ: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается тем же, а их показатели вычитаются. Формула: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$).

4. Как возвести степень в степень?

Возведение степени в степень — это математическая операция, при которой выражение, уже находящееся в какой-то степени, возводится в новую степень. Для выполнения этой операции существует четкое правило.

Правило возведения степени в степень

Чтобы возвести степень в степень, нужно основание степени оставить без изменений, а показатели степеней перемножить.

В виде формулы это правило записывается следующим образом:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Здесь $a$ — это основание степени, а $m$ и $n$ — её показатели. Это свойство справедливо для любых чисел $a$, $m$ и $n$, для которых данное выражение имеет смысл.

Доказательство правила

Чтобы понять, почему это правило работает, достаточно вспомнить определение степени с натуральным показателем. Выражение $(a^m)^n$ означает, что нам нужно умножить степень $a^m$ саму на себя $n$ раз:

$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ раз}}$

Теперь воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями, согласно которому при умножении показатели степеней складываются:

$a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m = a^{\overbrace{m+m+\ldots+m}^{n \text{ слагаемых}}}$

Сумма $n$ одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $m$, является произведением $m \cdot n$. Таким образом, мы получаем итоговую формулу:

$a^{m+m+\ldots+m} = a^{m \cdot n}$

Это и доказывает правило возведения степени в степень.

Примеры

1. Рассмотрим выражение $(3^2)^4$.

Применяя правило, мы оставляем основание 3 и перемножаем показатели 2 и 4:

$(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$

Можно проверить это прямым вычислением: $(3^2)^4 = (9)^4 = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 81 = 6561$.

И $3^8 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 6561$.

Как видим, результаты совпадают.

2. Упростим выражение с переменной $(y^5)^3$.

$(y^5)^3 = y^{5 \cdot 3} = y^{15}$

3. Пример с отрицательным и дробным показателем:

$(c^{-4})^{0.5} = c^{-4 \cdot 0.5} = c^{-2}$

Ответ: Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить. В общем виде это записывается формулой $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

5. Как возвести произведение в степень?

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень, а затем перемножить полученные результаты. Это свойство степени выражается следующей формулой:

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

Здесь $a$ и $b$ — это множители, а $n$ — показатель степени. Это правило справедливо для любого количества множителей в произведении.

Примеры:

1. Возведение в степень произведения чисел:

$$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$$

2. Возведение в степень произведения, содержащего переменную:

$$(3x)^4 = 3^4 \cdot x^4 = 81x^4$$

3. Упрощение выражения, где множители сами являются степенями. В этом случае дополнительно применяется правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$$(-5a^2b^3)^2 = (-5)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = 25 \cdot a^{2 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} = 25a^4b^6$$

Ответ: Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Формула этого правила: $(ab)^n = a^nb^n$.