Номер 4, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 4, страница 55.

Условие.

4. Как возвести степень в степень?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Возведение степени в степень — это математическая операция, при которой выражение, уже находящееся в какой-то степени, возводится в новую степень. Для выполнения этой операции существует четкое правило.

Правило возведения степени в степень

Чтобы возвести степень в степень, нужно основание степени оставить без изменений, а показатели степеней перемножить.

В виде формулы это правило записывается следующим образом:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Здесь $a$ — это основание степени, а $m$ и $n$ — её показатели. Это свойство справедливо для любых чисел $a$, $m$ и $n$, для которых данное выражение имеет смысл.

Доказательство правила

Чтобы понять, почему это правило работает, достаточно вспомнить определение степени с натуральным показателем. Выражение $(a^m)^n$ означает, что нам нужно умножить степень $a^m$ саму на себя $n$ раз:

$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ раз}}$

Теперь воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями, согласно которому при умножении показатели степеней складываются:

$a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m = a^{\overbrace{m+m+\ldots+m}^{n \text{ слагаемых}}}$

Сумма $n$ одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $m$, является произведением $m \cdot n$. Таким образом, мы получаем итоговую формулу:

$a^{m+m+\ldots+m} = a^{m \cdot n}$

Это и доказывает правило возведения степени в степень.

Примеры

1. Рассмотрим выражение $(3^2)^4$.

Применяя правило, мы оставляем основание 3 и перемножаем показатели 2 и 4:

$(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$

Можно проверить это прямым вычислением: $(3^2)^4 = (9)^4 = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 81 = 6561$.

И $3^8 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 6561$.

Как видим, результаты совпадают.

2. Упростим выражение с переменной $(y^5)^3$.

$(y^5)^3 = y^{5 \cdot 3} = y^{15}$

3. Пример с отрицательным и дробным показателем:

$(c^{-4})^{0.5} = c^{-4 \cdot 0.5} = c^{-2}$

Ответ: Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить. В общем виде это записывается формулой $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.