Номер 2, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 2, страница 55.

Условие.

2. Как умножить степени с одинаковыми основаниями?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы умножить две или более степени с одинаковыми основаниями, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Это одно из ключевых свойств степеней.

Правило

В общем виде это правило можно записать с помощью следующей математической формулы:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

где:

• $a$ – это основание степени (любое число или выражение, при этом $a \neq 0$);

• $m$ и $n$ – это показатели степени (любые действительные числа).

Объяснение правила на примере

Давайте разберемся, почему это правило работает. Возьмем для примера выражение $2^2 \cdot 2^3$.

По определению степени, мы можем расписать каждый множитель:

$2^2 = 2 \cdot 2$ (число 2 умножается само на себя 2 раза)

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ (число 2 умножается само на себя 3 раза)

Теперь перемножим эти выражения:

$2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Как мы видим, в итоговом произведении число 2 умножается само на себя 5 раз. Это можно записать как $2^5$.

Если мы сложим исходные показатели степеней, мы получим тот же результат: $2 + 3 = 5$.

Следовательно, $2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5$.

Примеры использования

1. Упростить выражение $7^4 \cdot 7^5$ .
   Основание одинаковое (7), поэтому складываем показатели:
   $7^4 \cdot 7^5 = 7^{4+5} = 7^9$

2. Упростить выражение $x^8 \cdot x^3$ .
   Основание буквенное (x), но правило остается тем же:
   $x^8 \cdot x^3 = x^{8+3} = x^{11}$

3. Упростить выражение $y^3 \cdot y \cdot y^6$ .
   Здесь три множителя. Важно помнить, что $y$ — это то же самое, что и $y^1$ .
   $y^3 \cdot y^1 \cdot y^6 = y^{3+1+6} = y^{10}$

4. Пример с отрицательным показателем:
   $a^7 \cdot a^{-4} = a^{7+(-4)} = a^{7-4} = a^3$

Ответ: Для того чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Формула этого правила: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.