Номер 285, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 285, страница 52.

Условие.

285. Сравните значения выражений:

1) $2^2 \cdot 2^3$ и $2^5$;

2) $4^2 \cdot 4^1$ и $4^3$;

3) $(3^3)^2$ и $3^6$;

4) $(\left(\frac{1}{2}\right)^4)^3$ и $\left(\frac{1}{2}\right)^{12}$;

5) $5^3 \cdot 2^3$ и $(5 \cdot 2)^3$;

6) $(0,25 \cdot 4)^2$ и $0,25^2 \cdot 4^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Сравним выражения $2^2 \cdot 2^3$ и $2^5$.
Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Это свойство степеней выражается формулой: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Применим это правило к выражению $2^2 \cdot 2^3$:
$2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5$.
Теперь сравним полученный результат с выражением $2^5$:
$2^5 = 2^5$.
Следовательно, значения выражений равны.
Ответ: $2^2 \cdot 2^3 = 2^5$.

2) Сравним выражения $4^2 \cdot 4^1$ и $4^3$.
Используем то же свойство степеней, что и в предыдущем задании: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Напомним, что любое число в первой степени равно самому себе, то есть $4^1 = 4$.
$4^2 \cdot 4^1 = 4^{2+1} = 4^3$.
Сравниваем полученный результат с $4^3$:
$4^3 = 4^3$.
Значения выражений равны.
Ответ: $4^2 \cdot 4^1 = 4^3$.

3) Сравним выражения $(3^3)^2$ и $3^6$.
При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются. Это свойство записывается формулой: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Применим это правило:
$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$.
Сравниваем результат с $3^6$:
$3^6 = 3^6$.
Значения выражений равны.
Ответ: $(3^3)^2 = 3^6$.

4) Сравним выражения $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^3$ и $\left(\frac{1}{2}\right)^{12}$.
Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{4 \cdot 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$.
Сравниваем полученный результат с выражением $\left(\frac{1}{2}\right)^{12}$:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{12} = \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$.
Значения выражений равны.
Ответ: $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$.

5) Сравним выражения $5^3 \cdot 2^3$ и $(5 \cdot 2)^3$.
Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить прежним. Это свойство выражается формулой: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Применим это правило к левой части:
$5^3 \cdot 2^3 = (5 \cdot 2)^3$.
Теперь сравним с правой частью:
$(5 \cdot 2)^3 = (5 \cdot 2)^3$.
Значения выражений равны.
Ответ: $5^3 \cdot 2^3 = (5 \cdot 2)^3$.

6) Сравним выражения $(0,25 \cdot 4)^2$ и $0,25^2 \cdot 4^2$.
Здесь можно использовать свойство возведения произведения в степень: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Применив это свойство к левой части, получим, что она равна правой:
$(0,25 \cdot 4)^2 = 0,25^2 \cdot 4^2$.
Можно также выполнить вычисления для проверки.
Вычислим значение левого выражения: $(0,25 \cdot 4)^2 = 1^2 = 1$.
Вычислим значение правого выражения: $0,25^2 \cdot 4^2 = (0,25 \cdot 4)^2 = 1^2 = 1$.
Сравнивая результаты, видим, что $1 = 1$.
Ответ: $(0,25 \cdot 4)^2 = 0,25^2 \cdot 4^2$.