Номер 3, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 3, страница 55.

Условие.

3. Как разделить степени с одинаковыми основаниями?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Важно помнить, что основание степени не должно быть равно нулю.

Это правило можно записать в виде формулы:
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
где $a$ — это основание степени ($a \neq 0$), $m$ — показатель степени делимого, а $n$ — показатель степени делителя.

Доказательство правила:
Распишем деление степеней в виде дроби, используя определение степени:
$ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}^{m \text{ множителей}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ множителей}}} $
При условии, что $m > n$, мы можем сократить дробь на $n$ одинаковых множителей $a$. В результате в числителе останется $m-n$ множителей, равных $a$.
$ \frac{\overbrace{\cancel{a} \cdot \dots \cdot \cancel{a}}^{n \text{ раз}} \cdot \overbrace{a \cdot \dots \cdot a}^{m-n \text{ раз}}}{\underbrace{\cancel{a} \cdot \dots \cdot \cancel{a}}_{n \text{ раз}}} = \overbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}^{m-n \text{ раз}} = a^{m-n} $

Пример 1:
Разделим $5^6$ на $5^4$.
Применяем правило: основание $5$ оставляем прежним, а показатели вычитаем: $6 - 4 = 2$.
$ 5^6 : 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25 $.

Пример 2:
Разделим $c^8$ на $c^3$, где $c \neq 0$.
$ \frac{c^8}{c^3} = c^{8-3} = c^5 $.

Ответ: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается тем же, а их показатели вычитаются. Формула: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$).