Номер 284, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 284, страница 51.

Условие.

284. Известно, что одно из чисел $a, b$ и $c$ положительное, второе – отрицательное, а третье равно нулю, причём $|a| = b^2(b - c)$. Установите, какое из чисел является положительным, какое отрицательным и какое равно нулю.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По условию задачи даны три числа $a$, $b$ и $c$. Одно из них положительное, другое отрицательное, а третье равно нулю. Нам нужно определить знак каждого числа, используя равенство:

$|a| = b^2(b - c)$

Проанализируем это равенство. Левая часть, $|a|$, является модулем числа, поэтому она всегда неотрицательна, то есть $|a| \ge 0$.

Теперь рассмотрим все возможные варианты того, какое из чисел равно нулю.

1. Предположим, что $a = 0$.
Если $a=0$, то $|a|=0$. Тогда и правая часть уравнения должна быть равна нулю: $b^2(b - c) = 0$. Это равенство выполняется, если либо $b^2=0$ (что означает $b=0$), либо $b-c=0$ (что означает $b=c$). В обоих случаях мы получаем, что как минимум два числа равны между собой (либо $a=b=0$, либо $a=0$ и $b=c$). Это противоречит условию, что одно число положительное, одно отрицательное и одно равно нулю, то есть все три числа различны. Следовательно, $a \ne 0$.

2. Предположим, что $b = 0$.
Если $b=0$, то правая часть уравнения равна $0^2(0 - c) = 0$. Тогда и левая часть должна быть равна нулю: $|a|=0$, что означает $a=0$. Мы снова пришли к ситуации, когда $a=0$ и $b=0$, что противоречит условию задачи. Следовательно, $b \ne 0$.

3. Предположим, что $c = 0$.
Поскольку мы исключили случаи $a=0$ и $b=0$, единственной возможностью остается $c=0$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$|a| = b^2(b - 0)$

$|a| = b^3$

Мы знаем, что $a \ne 0$, поэтому $|a|$ — это строго положительное число ($|a| > 0$). Из равенства $|a| = b^3$ следует, что $b^3$ также должно быть строго положительным числом ($b^3 > 0$). Куб числа положителен тогда и только тогда, когда само число положительно. Значит, $b > 0$.

Итак, мы установили, что $c=0$ и $b$ — положительное число. По условию, среди чисел $a, b, c$ должно быть одно отрицательное. Этим числом может быть только $a$.

Таким образом, мы определили знаки всех трех чисел:

• $a$ — отрицательное число.
• $b$ — положительное число.
• $c$ — равно нулю.

Ответ: $a$ — отрицательное число, $b$ — положительное число, $c$ — равно нулю.