Страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

277. Докажите, что значение выражения:

1) $101^{101} + 103^{103}$ делится нацело на 2;

2) $16^7 + 15^8 - 11^9$ делится нацело на 10;

3) $10^{10} - 7$ делится нацело на 3;

4) $6^n - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$.

1) $101^{101} + 103^{103}$ делится нацело на 2: Чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 2, необходимо показать, что оно является четным числом. Четность суммы зависит от четности слагаемых. Рассмотрим первое слагаемое: $101^{101}$. Основание степени, 101, является нечетным числом. Любая натуральная степень нечетного числа есть число нечетное. Следовательно, $101^{101}$ — нечетное число. Рассмотрим второе слагаемое: $103^{103}$. Основание степени, 103, также является нечетным числом. Следовательно, $103^{103}$ — это тоже нечетное число. Сумма двух нечетных чисел ($нечетное + нечетное$) всегда является четным числом. Таким образом, выражение $101^{101} + 103^{103}$ представляет собой сумму двух нечетных чисел, результат которой — четное число. Любое четное число делится нацело на 2.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) $16^7 + 15^8 - 11^9$ делится нацело на 10: Чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 10, необходимо показать, что его последняя цифра равна 0. Для этого найдем последнюю цифру каждого из чисел в выражении. Последняя цифра числа $16^7$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также будет оканчиваться на 6. Таким образом, последняя цифра $16^7$ — это 6. Последняя цифра числа $15^8$: любая натуральная степень (больше 0) числа, оканчивающегося на 5, будет оканчиваться на 5. Таким образом, последняя цифра $15^8$ — это 5. Последняя цифра числа $11^9$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, будет оканчиваться на 1. Таким образом, последняя цифра $11^9$ — это 1. Теперь найдем последнюю цифру результата выражения, выполнив действия с последними цифрами: $...6 + ...5 - ...1$. Сложение $...6 + ...5$ дает число, оканчивающееся на 1 (так как $6+5=11$). Вычитание $...1 - ...1$ дает число, оканчивающееся на 0. Поскольку последняя цифра значения выражения $16^7 + 15^8 - 11^9$ равна 0, оно делится нацело на 10.
Ответ: что и требовалось доказать.

3) $10^{10} - 7$ делится нацело на 3: Для доказательства воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Число $10^{10}$ — это единица с десятью нулями: $10\,000\,000\,000$. Выполним вычитание: $10^{10} - 7 = 10\,000\,000\,000 - 7 = 9\,999\,999\,993$. Теперь найдем сумму цифр полученного числа: $9 \cdot 9 + 3 = 81 + 3 = 84$. Проверим, делится ли полученная сумма (84) на 3. $84 \div 3 = 28$. Да, делится без остатка. Так как сумма цифр числа $10^{10} - 7$ делится на 3, то и само число делится нацело на 3.
Ответ: что и требовалось доказать.

4) $6^n - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении n: Чтобы доказать, что выражение делится нацело на 5, достаточно показать, что его значение всегда оканчивается на 0 или 5. Рассмотрим число $6^n$ для любого натурального $n$. Последняя цифра любой натуральной степени числа, оканчивающегося на 6, также равна 6. Например: $6^1=6$, $6^2=36$, $6^3=216$ и так далее. Таким образом, число $6^n$ всегда оканчивается на 6. Теперь рассмотрим выражение $6^n - 1$. Его последняя цифра будет равна разности последних цифр уменьшаемого ($6^n$) и вычитаемого (1). Получаем: $...6 - 1 = ...5$. Поскольку при любом натуральном $n$ значение выражения $6^n - 1$ оканчивается на 5, оно всегда делится нацело на 5.
Ответ: что и требовалось доказать.

278. Докажите, что значение выражения:

1) $10^{100} + 8$ делится нацело на 9;

2) $111^n - 6$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$.

1) Для доказательства того, что выражение $10^{100} + 8$ делится нацело на 9, воспользуемся признаком делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Рассмотрим число $10^{100}$. Это число представляет собой единицу, за которой следуют 100 нулей: $1\underbrace{00...0}_{100}$.
Теперь рассмотрим число $10^{100} + 8$. Оно будет выглядеть так: $1\underbrace{00...0}_{99}8$. То есть, это число состоит из цифры 1, затем 99 нулей и на конце цифры 8.
Найдем сумму цифр этого числа: $1 + 99 \cdot 0 + 8 = 1 + 0 + 8 = 9$.
Сумма цифр числа $10^{100} + 8$ равна 9. Так как 9 делится нацело на 9, то и само число $10^{100} + 8$ делится нацело на 9, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Для доказательства того, что выражение $111^n - 6$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$, воспользуемся признаком делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра - 0 или 5.
Рассмотрим, на какую цифру оканчивается число $111^n$ при любом натуральном $n$.
Последняя цифра степени числа определяется последней цифрой основания. Основание равно 111, его последняя цифра - 1.
При возведении числа, оканчивающегося на 1, в любую натуральную степень, результат также будет оканчиваться на 1. Например: $111^1 = 111$, $111^2 = 12321$, $111^3 = 1367631$ и так далее. Таким образом, число $111^n$ всегда оканчивается на цифру 1.
Теперь рассмотрим выражение $111^n - 6$. Мы вычитаем 6 из числа, которое оканчивается на 1. При вычитании 6 из числа, оканчивающегося на 1, результат всегда будет оканчиваться на 5 (например, $11 - 6 = 5$, $21 - 6 = 15$, $101 - 6 = 95$).
Следовательно, число $111^n - 6$ при любом натуральном $n$ оканчивается на 5. Согласно признаку делимости на 5, такое число всегда делится нацело на 5, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

279. Вычислите значение выражения: $(3 \frac{1}{3} \cdot 1.3 - 7.2 \cdot \frac{2}{27} - 9.1 : 3.5) : \frac{2}{5}$

Для вычисления значения данного выражения необходимо выполнить действия в определенном порядке. Сначала выполняются действия в скобках: умножение и деление слева направо, затем вычитание. После этого выполняется деление за скобками. Для удобства вычислений преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби.

1. Выполним первое умножение в скобках.

Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{3}$ и десятичную дробь $1,3$ в неправильные дроби:

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

$1,3 = \frac{13}{10}$

Теперь вычислим произведение:

$3\frac{1}{3} \cdot 1,3 = \frac{10}{3} \cdot \frac{13}{10} = \frac{10 \cdot 13}{3 \cdot 10} = \frac{13}{3}$

2. Выполним второе умножение в скобках.

Преобразуем десятичную дробь $7,2$ в неправильную дробь:

$7,2 = \frac{72}{10} = \frac{36}{5}$

Вычислим произведение, сокращая дробь в процессе:

$7,2 \cdot \frac{2}{27} = \frac{36}{5} \cdot \frac{2}{27} = \frac{36 \cdot 2}{5 \cdot 27} = \frac{4 \cdot 9 \cdot 2}{5 \cdot 3 \cdot 9} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{8}{15}$

3. Выполним деление в скобках.

Преобразуем десятичные дроби $9,1$ и $3,5$ в неправильные дроби:

$9,1 = \frac{91}{10}$

$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$

Вычислим частное, заменив деление умножением на обратную дробь:

$9,1 : 3,5 = \frac{91}{10} : \frac{7}{2} = \frac{91}{10} \cdot \frac{2}{7} = \frac{91 \cdot 2}{10 \cdot 7} = \frac{13 \cdot 7 \cdot 2}{5 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{13}{5}$

4. Найдем значение выражения в скобках.

Подставим полученные результаты в скобки и выполним вычитание:

$\frac{13}{3} - \frac{8}{15} - \frac{13}{5}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $15$:

$\frac{13 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{8}{15} - \frac{13 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{65}{15} - \frac{8}{15} - \frac{39}{15}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{65 - 8 - 39}{15} = \frac{57 - 39}{15} = \frac{18}{15}$

Сократим полученную дробь на $3$:

$\frac{18}{15} = \frac{6}{5}$

5. Выполним последнее действие — деление.

Разделим результат, полученный в скобках, на $\frac{2}{5}$:

$\frac{6}{5} : \frac{2}{5} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 2} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: $3$

280. Для школы необходимо приобрести 25 новых компьютеров у одного из трёх поставщиков. Цена компьютера и условия доставки всей партии компьютеров приведены в таблице.

Поставщик | Цена одного компьютера, р. | Стоимость доставки, р. | Дополнительные условия

A | 43 800 | 2500 | Отсутствуют

Б | 44 100 | 4000 | Доставка бесплатная, если сумма заказа превышает 1 000 000 р.

В | 45 200 | 3000 | Доставка бесплатная, если сумма заказа превышает 900 000 р.

Сколько рублей надо заплатить за самый выгодный вариант покупки с доставкой?

Для того чтобы найти самый выгодный вариант покупки, необходимо рассчитать полную стоимость заказа, состоящего из 25 компьютеров и их доставки, для каждого из трех поставщиков, а затем выбрать наименьшую из полученных сумм.

Поставщик А
1. Находим стоимость 25 компьютеров: $25 \times 43800 = 1095000$ рублей.
2. Прибавляем стоимость доставки, так как у данного поставщика нет дополнительных условий, освобождающих от её оплаты: $1095000 + 2500 = 1097500$ рублей.
Общая стоимость у поставщика А составляет 1 097 500 рублей.
Ответ: 1097500

Поставщик Б
1. Находим стоимость 25 компьютеров: $25 \times 44100 = 1102500$ рублей.
2. Проверяем дополнительное условие. Сумма заказа составляет 1 102 500 рублей, что больше, чем 1 000 000 рублей ($1102500 > 1000000$). Следовательно, доставка осуществляется бесплатно.
Общая стоимость у поставщика Б составляет 1 102 500 рублей.
Ответ: 1102500

Поставщик В
1. Находим стоимость 25 компьютеров: $25 \times 45200 = 1130000$ рублей.
2. Проверяем дополнительное условие. Сумма заказа составляет 1 130 000 рублей, что больше, чем 900 000 рублей ($1130000 > 900000$). Следовательно, доставка осуществляется бесплатно.
Общая стоимость у поставщика В составляет 1 130 000 рублей.
Ответ: 1130000

Сравниваем итоговые стоимости по трём поставщикам:
Поставщик А: 1 097 500 рублей.
Поставщик Б: 1 102 500 рублей.
Поставщик В: 1 130 000 рублей.
Самым выгодным вариантом является предложение от поставщика А.

Ответ: 1097500

281. К слитку сплава массой 400 кг, содержащего 15% меди, добавили 25 кг меди. Каким стало процентное содержание меди в новом слитке?

Для того чтобы найти новое процентное содержание меди в слитке, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем начальную массу меди в сплаве.

Масса всего сплава составляет 400 кг, а содержание меди в нем — 15%. Чтобы найти массу меди, нужно умножить массу сплава на процентное содержание меди, выраженное в виде десятичной дроби (15% = 0,15).

$m_{меди\_начальная} = 400 \text{ кг} \cdot 0,15 = 60 \text{ кг}$

Следовательно, в первоначальном слитке содержалось 60 кг меди.

2. Найдем новую массу сплава и новую массу меди.

К исходному слитку добавили 25 кг чистой меди. Это означает, что общая масса сплава и масса меди в нем увеличились на 25 кг.

Новая масса всего сплава:

$m_{сплава\_новая} = 400 \text{ кг} + 25 \text{ кг} = 425 \text{ кг}$

Новая масса меди в сплаве:

$m_{меди\_новая} = 60 \text{ кг} + 25 \text{ кг} = 85 \text{ кг}$

3. Рассчитаем новое процентное содержание меди.

Процентное содержание меди в новом слитке вычисляется как отношение новой массы меди к новой массе всего сплава, умноженное на 100%.

$P_{меди\_новая} = \frac{m_{меди\_новая}}{m_{сплава\_новая}} \cdot 100\%$

$P_{меди\_новая} = \frac{85 \text{ кг}}{425 \text{ кг}} \cdot 100\%$

Упростим дробь $\frac{85}{425}$. Оба числа делятся на 85:

$\frac{85}{425} = \frac{85 \div 85}{425 \div 85} = \frac{1}{5} = 0,2$

Теперь умножим полученное значение на 100%, чтобы выразить его в процентах:

$P_{меди\_новая} = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: процентное содержание меди в новом слитке стало 20%.

282. В одном мешке было 80 кг сахара, а в другом – 60 кг. Из первого мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из второго, после чего во втором мешке осталось сахара в 2 раза больше, чем в первом. Сколько килограммов сахара взяли из каждого мешка?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ кг — это количество сахара, которое взяли из второго мешка.

Поскольку из первого мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из второго, то из него взяли $3x$ кг сахара.

Теперь определим, сколько сахара осталось в каждом мешке.
В первом мешке изначально было 80 кг, после того как из него взяли $3x$ кг, в нем осталось $(80 - 3x)$ кг.
Во втором мешке было 60 кг, после того как из него взяли $x$ кг, в нем осталось $(60 - x)$ кг.

В условии сказано, что во втором мешке сахара осталось в 2 раза больше, чем в первом. На основании этого мы можем составить уравнение:
$60 - x = 2 \cdot (80 - 3x)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$60 - x = 160 - 6x$ (раскрываем скобки)
$6x - x = 160 - 60$ (переносим члены с $x$ в левую часть, а числа — в правую)
$5x = 100$ (приводим подобные слагаемые)
$x = \frac{100}{5}$
$x = 20$

Таким образом, из второго мешка взяли 20 кг сахара.

Теперь найдем, сколько сахара взяли из первого мешка, подставив значение $x$ в выражение $3x$:
$3 \cdot 20 = 60$ кг.

Ответ: из первого мешка взяли 60 кг сахара, а из второго — 20 кг.

283. Решите уравнение:

1) $9(2x - 1) - 5(11 - x) = 3(x + 4);$

2) $5x - 26 = 12x - 7(x - 4).$

1) $9(2x - 1) - 5(11 - x) = 3(x + 4)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя распределительное свойство умножения. Обратим внимание на знак минус перед вторыми скобками в левой части.

$9 \cdot 2x - 9 \cdot 1 - 5 \cdot 11 - 5 \cdot (-x) = 3 \cdot x + 3 \cdot 4$

$18x - 9 - 55 + 5x = 3x + 12$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(18x + 5x) + (-9 - 55) = 3x + 12$

$23x - 64 = 3x + 12$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а все постоянные слагаемые (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$23x - 3x = 12 + 64$

Выполним вычисления в обеих частях:

$20x = 76$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 20:

$x = \frac{76}{20}$

Сократим полученную дробь на 4 и, при желании, переведем в десятичную дробь:

$x = \frac{19}{5} = 3.8$

Ответ: $3.8$.

2) $5x - 26 = 12x - 7(x - 4)$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:

$5x - 26 = 12x - 7 \cdot x - 7 \cdot (-4)$

$5x - 26 = 12x - 7x + 28$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$5x - 26 = (12x - 7x) + 28$

$5x - 26 = 5x + 28$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:

$5x - 5x = 28 + 26$

Выполним вычисления в обеих частях:

$0 \cdot x = 54$

$0 = 54$

В результате мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что ни при каком значении переменной $x$ уравнение не может быть верным. Следовательно, у этого уравнения нет решений (корней).

Ответ: корней нет.

284. Известно, что одно из чисел $a, b$ и $c$ положительное, второе – отрицательное, а третье равно нулю, причём $|a| = b^2(b - c)$. Установите, какое из чисел является положительным, какое отрицательным и какое равно нулю.

По условию задачи даны три числа $a$, $b$ и $c$. Одно из них положительное, другое отрицательное, а третье равно нулю. Нам нужно определить знак каждого числа, используя равенство:

$|a| = b^2(b - c)$

Проанализируем это равенство. Левая часть, $|a|$, является модулем числа, поэтому она всегда неотрицательна, то есть $|a| \ge 0$.

Теперь рассмотрим все возможные варианты того, какое из чисел равно нулю.

1. Предположим, что $a = 0$.
Если $a=0$, то $|a|=0$. Тогда и правая часть уравнения должна быть равна нулю: $b^2(b - c) = 0$. Это равенство выполняется, если либо $b^2=0$ (что означает $b=0$), либо $b-c=0$ (что означает $b=c$). В обоих случаях мы получаем, что как минимум два числа равны между собой (либо $a=b=0$, либо $a=0$ и $b=c$). Это противоречит условию, что одно число положительное, одно отрицательное и одно равно нулю, то есть все три числа различны. Следовательно, $a \ne 0$.

2. Предположим, что $b = 0$.
Если $b=0$, то правая часть уравнения равна $0^2(0 - c) = 0$. Тогда и левая часть должна быть равна нулю: $|a|=0$, что означает $a=0$. Мы снова пришли к ситуации, когда $a=0$ и $b=0$, что противоречит условию задачи. Следовательно, $b \ne 0$.

3. Предположим, что $c = 0$.
Поскольку мы исключили случаи $a=0$ и $b=0$, единственной возможностью остается $c=0$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$|a| = b^2(b - 0)$

$|a| = b^3$

Мы знаем, что $a \ne 0$, поэтому $|a|$ — это строго положительное число ($|a| > 0$). Из равенства $|a| = b^3$ следует, что $b^3$ также должно быть строго положительным числом ($b^3 > 0$). Куб числа положителен тогда и только тогда, когда само число положительно. Значит, $b > 0$.

Итак, мы установили, что $c=0$ и $b$ — положительное число. По условию, среди чисел $a, b, c$ должно быть одно отрицательное. Этим числом может быть только $a$.

Таким образом, мы определили знаки всех трех чисел:

• $a$ — отрицательное число.
• $b$ — положительное число.
• $c$ — равно нулю.

Ответ: $a$ — отрицательное число, $b$ — положительное число, $c$ — равно нулю.