Страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

311. Представьте в виде степени выражение:

1) $3^5 + 3^5 + 3^5$;

2) $4^k + 4^k + 4^k + 4^k$,

где $k$ – натуральное число.

1)

Исходное выражение: $3^5 + 3^5 + 3^5$.

Это выражение представляет собой сумму трех одинаковых слагаемых. Такую сумму можно представить в виде произведения количества слагаемых (то есть 3) на само слагаемое ($3^5$).

$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3 \cdot 3^5$

Далее воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В нашем случае основание равно 3. Число 3 можно записать как $3^1$.

$3^1 \cdot 3^5 = 3^{1+5} = 3^6$

Таким образом, выражение $3^5 + 3^5 + 3^5$ равно $3^6$.

Ответ: $3^6$.

2)

Исходное выражение: $4^k + 4^k + 4^k + 4^k$, где $k$ — натуральное число.

Здесь мы имеем сумму четырех одинаковых слагаемых. Аналогично предыдущему примеру, представим эту сумму в виде произведения числа 4 на слагаемое $4^k$.

$4^k + 4^k + 4^k + 4^k = 4 \cdot 4^k$

Применим то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), представив число 4 как $4^1$.

$4^1 \cdot 4^k = 4^{1+k}$

Таким образом, выражение $4^k + 4^k + 4^k + 4^k$ равно $4^{k+1}$.

Ответ: $4^{k+1}$.

312. Докажите, что если сторону квадрата увеличить в $n$ раз, то его площадь увеличится в $n^2$ раз.

Для доказательства введем обозначения. Пусть $a$ — первоначальная длина стороны квадрата.

Площадь исходного квадрата $S_1$ вычисляется по формуле:
$S_1 = a^2$

По условию, сторону квадрата увеличили в $n$ раз. Новая длина стороны, обозначим её $a_{новая}$, будет равна:
$a_{новая} = n \cdot a$

Теперь найдем площадь нового квадрата $S_2$ с новой стороной $a_{новая}$:
$S_2 = (a_{новая})^2 = (n \cdot a)^2 = n^2 \cdot a^2$

Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение новой площади $S_2$ к исходной площади $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{n^2 \cdot a^2}{a^2}$

Сокращая $a^2$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{S_2}{S_1} = n^2$

Данное равенство показывает, что площадь квадрата увеличилась в $n^2$ раз. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если сторона квадрата была $a$, а стала $n \cdot a$, то его площадь была $S_1 = a^2$, а стала $S_2 = (n \cdot a)^2 = n^2 \cdot a^2$. Отношение площадей равно $\frac{S_2}{S_1} = \frac{n^2 \cdot a^2}{a^2} = n^2$, следовательно, площадь увеличится в $n^2$ раз.

313. Во сколько раз увеличится объём куба, если его ребро увеличить в $m$ раз?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой объёма куба. Объём куба $V$ с длиной ребра $a$ вычисляется как:

$V = a^3$

Пусть $a_1$ — это первоначальная длина ребра куба, а $V_1$ — его первоначальный объём. Тогда:

$V_1 = a_1^3$

По условию, длину ребра увеличили в $m$ раз. Обозначим новую длину ребра как $a_2$. Следовательно:

$a_2 = m \cdot a_1$

Новый объём куба, $V_2$, будет равен:

$V_2 = (a_2)^3 = (m \cdot a_1)^3 = m^3 \cdot a_1^3$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объём, необходимо найти отношение нового объёма $V_2$ к первоначальному объёму $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{m^3 \cdot a_1^3}{a_1^3}$

Сократив $a_1^3$ в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{V_2}{V_1} = m^3$

Это означает, что объём куба увеличится в $m^3$ раз.

Ответ: в $m^3$ раз.

314. Запишите в виде степени с показателем 2 выражение:

1) $a^2b^6$,

2) $x^8y^{14}$,

3) $x^4y^{10}z^{18}$,

4) $4m^{12}n^{16}$,

5) $81c^{10}d^{32}p^{44}$.

1) Чтобы представить выражение $a^2b^6$ в виде степени с показателем 2, необходимо каждый множитель в выражении представить в виде квадрата. Для этого воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Представим $a^2$ как квадрат некоторого выражения. Очевидно, что $a^2 = (a^1)^2 = a^2$.

Представим $b^6$ как квадрат. Для этого показатель степени 6 нужно разделить на 2: $6 \div 2 = 3$. Таким образом, $b^6 = (b^3)^2$.

Теперь объединим результаты, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$: $a^2b^6 = (a)^2 \cdot (b^3)^2 = (ab^3)^2$.

Ответ: $(ab^3)^2$

2) Чтобы представить выражение $x^8y^{14}$ в виде степени с показателем 2, мы должны найти такое основание, квадрат которого равен данному выражению. Для этого нужно разделить показатель каждой переменной на 2.

Для $x^8$: показатель $8 \div 2 = 4$. Основание будет $x^4$. Проверка: $(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$.

Для $y^{14}$: показатель $14 \div 2 = 7$. Основание будет $y^7$. Проверка: $(y^7)^2 = y^{7 \cdot 2} = y^{14}$.

Следовательно, $x^8y^{14} = (x^4)^2(y^7)^2 = (x^4y^7)^2$.

Ответ: $(x^4y^7)^2$

3) Представим выражение $x^4y^{10}z^{18}$ в виде степени с показателем 2. Разделим показатель степени каждого множителя на 2, чтобы найти соответствующее основание.

Для $x^4$: основание равно $x^{4 \div 2} = x^2$.

Для $y^{10}$: основание равно $y^{10 \div 2} = y^5$.

Для $z^{18}$: основание равно $z^{18 \div 2} = z^9$.

Таким образом, всё выражение можно записать как: $x^4y^{10}z^{18} = (x^2y^5z^9)^2$.

Ответ: $(x^2y^5z^9)^2$

4) Представим выражение $4m^{12}n^{16}$ в виде степени с показателем 2. Сначала разберемся с числовым коэффициентом.

Число 4 является квадратом числа 2: $4 = 2^2$.

Теперь найдем основания для переменных, разделив их показатели степеней на 2.

Для $m^{12}$: основание $m^{12 \div 2} = m^6$.

Для $n^{16}$: основание $n^{16 \div 2} = n^8$.

Объединив все части, получаем: $4m^{12}n^{16} = 2^2 \cdot (m^6)^2 \cdot (n^8)^2 = (2m^6n^8)^2$.

Ответ: $(2m^6n^8)^2$

5) Представим выражение $81c^{10}d^{32}p^{44}$ в виде степени с показателем 2.

Числовой коэффициент 81 является квадратом числа 9: $81 = 9^2$.

Далее, для каждой переменной найдем основание, разделив ее показатель степени на 2.

Для $c^{10}$: основание $c^{10 \div 2} = c^5$.

Для $d^{32}$: основание $d^{32 \div 2} = d^{16}$.

Для $p^{44}$: основание $p^{44 \div 2} = p^{22}$.

Собираем все множители под один квадрат: $81c^{10}d^{32}p^{44} = 9^2 \cdot (c^5)^2 \cdot (d^{16})^2 \cdot (p^{22})^2 = (9c^5d^{16}p^{22})^2$.

Ответ: $(9c^5d^{16}p^{22})^2$

315. Запишите в виде степени с показателем 3 выражение:

1) $a^3b^6$.

2) $x^9y^{15}$.

3) $8x^{12}y^{18}z^{24}$.

4) $0,001m^{30}n^{45}$.

Чтобы записать выражение в виде степени с показателем 3, необходимо каждый множитель в выражении представить в виде куба, а затем использовать свойство степени произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Основное свойство, которое мы будем использовать для преобразования степеней, это $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Отсюда следует, что $x^k = (x^{k/3})^3$.

1) $a^3b^6$

Представим каждый множитель в виде степени с показателем 3:

$a^3 = (a^1)^3 = a^3$

$b^6 = b^{2 \cdot 3} = (b^2)^3$

Теперь объединим их:

$a^3b^6 = (a)^3 \cdot (b^2)^3 = (ab^2)^3$

Ответ: $(ab^2)^3$.

2) $x^9y^{15}$

Представим каждый множитель в виде степени с показателем 3, разделив его показатель на 3:

$x^9 = x^{9/3 \cdot 3} = (x^3)^3$

$y^{15} = y^{15/3 \cdot 3} = (y^5)^3$

Объединим их:

$x^9y^{15} = (x^3)^3 \cdot (y^5)^3 = (x^3y^5)^3$

Ответ: $(x^3y^5)^3$.

3) $8x^{12}y^{18}z^{24}$

Сначала представим числовой коэффициент 8 в виде степени с показателем 3:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Затем преобразуем переменные:

$x^{12} = x^{12/3 \cdot 3} = (x^4)^3$

$y^{18} = y^{18/3 \cdot 3} = (y^6)^3$

$z^{24} = z^{24/3 \cdot 3} = (z^8)^3$

Теперь соберем все множители вместе:

$8x^{12}y^{18}z^{24} = 2^3 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^6)^3 \cdot (z^8)^3 = (2x^4y^6z^8)^3$

Ответ: $(2x^4y^6z^8)^3$.

4) $0,001m^{30}n^{45}$

Представим числовой коэффициент 0,001 в виде степени с показателем 3:

$0,001 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = (0,1)^3$

Затем преобразуем переменные:

$m^{30} = m^{30/3 \cdot 3} = (m^{10})^3$

$n^{45} = n^{45/3 \cdot 3} = (n^{15})^3$

Соберем все множители вместе:

$0,001m^{30}n^{45} = (0,1)^3 \cdot (m^{10})^3 \cdot (n^{15})^3 = (0,1m^{10}n^{15})^3$

Ответ: $(0,1m^{10}n^{15})^3$.

316. Представьте в виде степени с основанием 5 выражение:

1) $125^6$

2) $(25^4)^2$

1)

Чтобы представить выражение $125^6$ в виде степени с основанием 5, необходимо сначала основание 125 представить как степень числа 5.

Известно, что $5^2 = 25$ и $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$.

Теперь заменим число 125 на $5^3$ в исходном выражении:
$125^6 = (5^3)^6$.

Для дальнейшего упрощения воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \times n}$. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.
Применим это правило:
$(5^3)^6 = 5^{3 \times 6} = 5^{18}$.

Таким образом, выражение $125^6$ в виде степени с основанием 5 равно $5^{18}$.
Ответ: $5^{18}$

2)

Чтобы представить выражение $(25^4)^2$ в виде степени с основанием 5, мы также будем использовать свойство возведения степени в степень.

Сначала представим основание 25 в виде степени с основанием 5.
$25 = 5^2$.

Подставим $5^2$ вместо 25 в исходное выражение:
$(25^4)^2 = ((5^2)^4)^2$.

Теперь последовательно применим свойство $(a^m)^n = a^{m \times n}$. Сначала к выражению в скобках:
$(5^2)^4 = 5^{2 \times 4} = 5^8$.

Выражение примет вид:
$(5^8)^2$.

Применим свойство еще раз:
$(5^8)^2 = 5^{8 \times 2} = 5^{16}$.

Таким образом, выражение $(25^4)^2$ в виде степени с основанием 5 равно $5^{16}$.
Ответ: $5^{16}$

317. Представьте в виде степени с основанием $-5$ выражение:

1) $625^5$,

2) $((-25)^2)^3$.

1) Чтобы представить выражение $625^5$ в виде степени с основанием $-5$, нам нужно выполнить несколько преобразований.
Сначала представим число $625$ как степень числа $5$.
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
Таким образом, $625 = 5^4$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$625^5 = (5^4)^5$.
Далее воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(5^4)^5 = 5^{4 \cdot 5} = 5^{20}$.
Нам необходимо получить основание $-5$. Поскольку показатель степени $20$ является четным числом, мы можем изменить знак основания без изменения значения выражения, так как любое число (положительное или отрицательное), возведенное в четную степень, дает положительный результат.
То есть, $a^{2k} = (-a)^{2k}$, где $2k$ — четное число.
В нашем случае $2k=20$, поэтому:
$5^{20} = (-5)^{20}$.
Ответ: $(-5)^{20}$.

2) Чтобы представить выражение $((-25)^2)^3$ в виде степени с основанием $-5$, начнем с упрощения данного выражения.
Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$((-25)^2)^3 = (-25)^{2 \cdot 3} = (-25)^6$.
Поскольку показатель степени $6$ — четное число, результат возведения будет положительным. Это значит, что мы можем убрать знак минус у основания:
$(-25)^6 = 25^6$.
Теперь представим основание $25$ как степень числа $-5$:
$25 = (-5) \cdot (-5) = (-5)^2$.
Подставим это в выражение $25^6$:
$25^6 = ((-5)^2)^6$.
И снова используем свойство возведения степени в степень:
$((-5)^2)^6 = (-5)^{2 \cdot 6} = (-5)^{12}$.
Ответ: $(-5)^{12}$.

318. Представьте в виде степени с основанием 2 выражение:

1) $8^9 \cdot 4^5;$

2) $32 \cdot 16^6 \cdot 64^3.$

1) Чтобы представить выражение $8^9 \cdot 4^5$ в виде степени с основанием 2, необходимо каждый множитель представить в виде степени с основанием 2.
Число 8 можно представить как $2^3$. Число 4 можно представить как $2^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$8^9 \cdot 4^5 = (2^3)^9 \cdot (2^2)^5$
Теперь воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^3)^9 = 2^{3 \cdot 9} = 2^{27}$
$(2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$
Получаем выражение:
$2^{27} \cdot 2^{10}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{27} \cdot 2^{10} = 2^{27+10} = 2^{37}$
Ответ: $2^{37}$

2) Чтобы представить выражение $32 \cdot 16^6 \cdot 64^3$ в виде степени с основанием 2, представим каждый множитель как степень числа 2.
$32 = 2^5$
$16 = 2^4$
$64 = 2^6$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$32 \cdot 16^6 \cdot 64^3 = 2^5 \cdot (2^4)^6 \cdot (2^6)^3$
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^4)^6 = 2^{4 \cdot 6} = 2^{24}$
$(2^6)^3 = 2^{6 \cdot 3} = 2^{18}$
Теперь выражение выглядит так:
$2^5 \cdot 2^{24} \cdot 2^{18}$
Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$:
$2^{5+24+18} = 2^{47}$
Ответ: $2^{47}$

319. Найдите значение выражения:

1) $(6^4)^4 : (6^5)^3;$

2) $8^3 : 4^4;$

3) $\frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2};$

4) $\frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}};$

5) $\frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7};$

6) $\frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6}.$

1) Для решения выражения $(6^4)^4 : (6^5)^3$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(6^4)^4 = 6^{4 \cdot 4} = 6^{16}$

$(6^5)^3 = 6^{5 \cdot 3} = 6^{15}$

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$6^{16} : 6^{15} = 6^{16-15} = 6^1 = 6$

Ответ: 6

2) В выражении $8^3 : 4^4$ приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$8^3 : 4^4 = (2^3)^3 : (2^2)^4$

Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9$

$(2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8$

Теперь выражение имеет вид $2^9 : 2^8$. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$2^9 : 2^8 = 2^{9-8} = 2^1 = 2$

Ответ: 2

3) Упростим выражение $\frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2}$.

Сначала упростим числитель, используя правила $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$7^{14} \cdot (7^2)^3 = 7^{14} \cdot 7^{2 \cdot 3} = 7^{14} \cdot 7^6 = 7^{14+6} = 7^{20}$

Теперь упростим знаменатель по тем же правилам:

$(7^3)^6 \cdot 7^2 = 7^{3 \cdot 6} \cdot 7^2 = 7^{18} \cdot 7^2 = 7^{18+2} = 7^{20}$

Дробь принимает вид $\frac{7^{20}}{7^{20}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием и показателем, результат равен 1:

$\frac{7^{20}}{7^{20}} = 7^{20-20} = 7^0 = 1$

Ответ: 1

4) Чтобы найти значение выражения $\frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}}$, приведем все основания к одному числу, в данном случае к 5.

Так как $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$, подставим это в выражение:

$\frac{(5^2)^3 \cdot (5^3)^2}{5^{10}}$

Используем правило $(a^m)^n = a^{mn}$ для числителя:

$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$

$(5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{5^6 \cdot 5^6}{5^{10}}$.

Применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя:

$\frac{5^{6+6}}{5^{10}} = \frac{5^{12}}{5^{10}}$

Используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{12-10} = 5^2 = 25$

Ответ: 25

5) Рассмотрим выражение $\frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7}$.

В числителе воспользуемся свойством степени произведения $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$3^8 \cdot 7^8 = (3 \cdot 7)^8 = 21^8$

Дробь принимает вид $\frac{21^8}{21^7}$.

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{21^8}{21^7} = 21^{8-7} = 21^1 = 21$

Ответ: 21

6) Чтобы найти значение выражения $\frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6}$, представим основание в знаменателе в виде произведения множителей.

Так как $20 = 5 \cdot 4$, то $20^6 = (5 \cdot 4)^6$. Используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$20^6 = 5^6 \cdot 4^6$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{5^9 \cdot 4^6}{5^6 \cdot 4^6}$

Сократим дробь на $4^6$:

$\frac{5^9}{5^6}$

Используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{9-6} = 5^3 = 125$

Ответ: 125

320. Вычислите:

1) $100^5 : 1000^2$;

2) $\frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3}$;

3) $\frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}}$;

4) $\frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$.

1)

Для вычисления выражения $100^5 : 1000^2$ представим основания степеней в виде степеней числа 10. Мы знаем, что $100 = 10^2$ и $1000 = 10^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$100^5 : 1000^2 = (10^2)^5 : (10^3)^2$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10}$

$(10^3)^2 = 10^{3 \cdot 2} = 10^6$

Теперь выражение выглядит так:

$10^{10} : 10^6$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$10^{10-6} = 10^4$

Вычислим результат:

$10^4 = 10000$

Ответ: 10000

2)

Рассмотрим выражение $\frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3}$.

Сначала упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Упростим числитель:

$3^{10} \cdot (3^3)^5 = 3^{10} \cdot 3^{3 \cdot 5} = 3^{10} \cdot 3^{15} = 3^{10+15} = 3^{25}$

Упростим знаменатель (учитывая, что $3 = 3^1$):

$(3^5)^4 \cdot 3 = 3^{5 \cdot 4} \cdot 3^1 = 3^{20} \cdot 3^1 = 3^{20+1} = 3^{21}$

Теперь наша дробь имеет вид:

$\frac{3^{25}}{3^{21}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{25-21} = 3^4$

Вычислим значение:

$3^4 = 81$

Ответ: 81

3)

Для вычисления выражения $\frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}}$ приведем все основания степеней к одному числу — 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.

Подставим эти значения в числитель:

$\frac{(2^2)^3 \cdot (2^4)^2}{2^{12}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

$(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$

Дробь примет вид:

$\frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{12}}$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:

$\frac{2^{6+8}}{2^{12}} = \frac{2^{14}}{2^{12}}$

Наконец, используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{14-12} = 2^2$

Вычислим результат:

$2^2 = 4$

Ответ: 4

4)

Рассмотрим выражение $\frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$.

Разложим основание степени в числителе на простые множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Подставим это разложение в выражение:

$\frac{(3^2 \cdot 5)^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$

Воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для числителя:

$\frac{(3^2)^{10} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{3^{2 \cdot 10} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} = \frac{3^{20} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{20}}{3^{19}} \cdot \frac{5^{10}}{5^8} = 3^{20-19} \cdot 5^{10-8} = 3^1 \cdot 5^2$

Вычислим конечное значение:

$3 \cdot 25 = 75$

Ответ: 75

321. Вычислите значение выражения:

1) $(1\frac{1}{6})^9 \cdot (\frac{6}{7})^{10}$;

2) $5^{14} \cdot 0,2^{12}$;

3) $(-1\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^8$.

1) $(1\frac{1}{6})^9 \cdot (\frac{6}{7})^{10}$

Сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$

Теперь подставим это значение обратно в выражение:

$(\frac{7}{6})^9 \cdot (\frac{6}{7})^{10}$

Воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$. Применим его к первому множителю:

$(\frac{7}{6})^9 = (\frac{6}{7})^{-9}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{6}{7})^{-9} \cdot (\frac{6}{7})^{10}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(\frac{6}{7})^{-9 + 10} = (\frac{6}{7})^1 = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

2) $5^{14} \cdot 0,2^{12}$

Преобразуем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Подставим это значение в исходное выражение:

$5^{14} \cdot (\frac{1}{5})^{12}$

Используем свойство степени $(\frac{1}{a})^n = a^{-n}$:

$(\frac{1}{5})^{12} = 5^{-12}$

Теперь выражение выглядит так:

$5^{14} \cdot 5^{-12}$

По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) складываем показатели:

$5^{14 + (-12)} = 5^{14 - 12} = 5^2$

Вычисляем результат:

$5^2 = 25$

Ответ: $25$.

3) $(-1\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^8$

Преобразуем смешанную дробь $-1\frac{1}{3}$ в неправильную:

$-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$

Подставим полученное значение в выражение:

$(-\frac{4}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^8$

Так как отрицательное число возводится в нечетную степень (5), результат будет отрицательным. Мы можем вынести знак минуса за скобки:

$-(\frac{4}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^8$

Воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$, чтобы привести дроби к одному основанию:

$(\frac{4}{3})^5 = (\frac{3}{4})^{-5}$

Подставим это в выражение:

$-(\frac{3}{4})^{-5} \cdot (\frac{3}{4})^8$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$-(\frac{3}{4})^{-5+8} = -(\frac{3}{4})^3$

Возводим дробь в куб:

$-(\frac{3^3}{4^3}) = -(\frac{27}{64})$

Ответ: $-\frac{27}{64}$.

322. Найдите значение выражения:

1) $10^5 \cdot 0.1^7$;

2) $1.9^{14} \cdot \left(\frac{10}{19}\right)^{15}$

1) Чтобы найти значение выражения $10^5 \cdot 0,1^7$, воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим десятичную дробь $0,1$ в виде степени числа $10$.
$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$10^5 \cdot (10^{-1})^7$
Теперь применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$10^5 \cdot 10^{-1 \cdot 7} = 10^5 \cdot 10^{-7}$
Далее, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^{5 + (-7)} = 10^{5-7} = 10^{-2}$
Вычислим окончательное значение:
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Ответ: 0,01.

2) Чтобы найти значение выражения $1,9^{14} \cdot (\frac{10}{19})^{15}$, преобразуем его, используя свойства степеней.
Первым шагом представим десятичную дробь $1,9$ в виде обыкновенной дроби: $1,9 = \frac{19}{10}$.
Теперь выражение выглядит так:
$(\frac{19}{10})^{14} \cdot (\frac{10}{19})^{15}$
Разложим второй множитель на два, используя правило $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$(\frac{10}{19})^{15} = (\frac{10}{19})^{14} \cdot (\frac{10}{19})^1$
Подставим это разложение обратно в выражение:
$(\frac{19}{10})^{14} \cdot (\frac{10}{19})^{14} \cdot \frac{10}{19}$
Сгруппируем множители с одинаковым показателем степени $14$, применив свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$(\frac{19}{10} \cdot \frac{10}{19})^{14} \cdot \frac{10}{19}$
Произведение в скобках равно $1$, так как дроби являются взаимно обратными:
$1^{14} \cdot \frac{10}{19}$
Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, получаем:
$1 \cdot \frac{10}{19} = \frac{10}{19}$.
Ответ: $\frac{10}{19}$.

323. Сравните значения выражений:

1) $ (-5)^{21} \cdot (-5) $ и $ (-5)^{24} $.

2) $ (-7)^{8} \cdot (-7)^{7} $ и $ (-7)^{17} $.

1) Сравним значения выражений $(-5)^{21} \cdot (-5)$ и $(-5)^{24}$.

Для начала упростим первое выражение, воспользовавшись свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Выражение $(-5)$ можно представить как $(-5)^1$.

$(-5)^{21} \cdot (-5) = (-5)^{21} \cdot (-5)^1 = (-5)^{21+1} = (-5)^{22}$.

Теперь необходимо сравнить два выражения: $(-5)^{22}$ и $(-5)^{24}$.

Основание степени $(-5)$ — отрицательное число. Показатели степени 22 и 24 — четные числа. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным.

Таким образом, $(-5)^{22} = 5^{22}$ и $(-5)^{24} = 5^{24}$.

Теперь сравним $5^{22}$ и $5^{24}$. Так как основание степени $5$ больше единицы, то больше то значение, у которого больше показатель степени. Поскольку $24 > 22$, то $5^{24} > 5^{22}$.

Отсюда следует, что $(-5)^{24} > (-5)^{22}$, а значит, исходные выражения соотносятся как $(-5)^{21} \cdot (-5) < (-5)^{24}$.

Ответ: $(-5)^{21} \cdot (-5) < (-5)^{24}$.

2) Сравним значения выражений $(-7)^8 \cdot (-7)^7$ и $(-7)^{17}$.

Упростим первое выражение, используя то же свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(-7)^8 \cdot (-7)^7 = (-7)^{8+7} = (-7)^{15}$.

Теперь сравним два выражения: $(-7)^{15}$ и $(-7)^{17}$.

Основание степени $(-7)$ — отрицательное число. Показатели степени 15 и 17 — нечетные числа. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным.

Таким образом, $(-7)^{15} = -7^{15}$ и $(-7)^{17} = -7^{17}$.

Теперь нам нужно сравнить два отрицательных числа: $-7^{15}$ и $-7^{17}$. Сначала сравним их модули (абсолютные значения): $7^{15}$ и $7^{17}$.

Так как основание $7$ больше единицы, то $7^{17} > 7^{15}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Поскольку $|-7^{17}| > |-7^{15}|$, то $-7^{17} < -7^{15}$.

Следовательно, $(-7)^{17} < (-7)^{15}$, а значит, исходные выражения соотносятся как $(-7)^8 \cdot (-7)^7 > (-7)^{17}$.

Ответ: $(-7)^8 \cdot (-7)^7 > (-7)^{17}$.

324. Сравните значения выражений:

1) $ (-8)^5 \cdot (-8)^4 $ и $ (-8)^8 $.

2) $ (-6)^3 \cdot (-6)^9 $ и $ (-6)^{13} $.

1) Сравним значения выражений $(-8)^5 \cdot (-8)^4$ и $(-8)^8$.

Сначала необходимо упростить первое выражение. Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применив это правило, получим:

$(-8)^5 \cdot (-8)^4 = (-8)^{5+4} = (-8)^9$.

Теперь задача сводится к сравнению значений $(-8)^9$ и $(-8)^8$.

Для этого определим знаки полученных чисел.

Число $(-8)^9$ является отрицательным, так как отрицательное основание (-8) возводится в нечетную степень (9).

Число $(-8)^8$ является положительным, так как отрицательное основание (-8) возводится в четную степень (8).

Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. Следовательно:

$(-8)^9 < (-8)^8$.

А значит, и исходные выражения находятся в таком же соотношении.

Ответ: $(-8)^5 \cdot (-8)^4 < (-8)^8$.

2) Сравним значения выражений $(-6)^3 \cdot (-6)^9$ и $(-6)^{13}$.

Упростим первое выражение, используя то же свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(-6)^3 \cdot (-6)^9 = (-6)^{3+9} = (-6)^{12}$.

Теперь нам нужно сравнить $(-6)^{12}$ и $(-6)^{13}$.

Определим знаки этих чисел.

Значение выражения $(-6)^{12}$ будет положительным, так как основание степени (-6) отрицательное, а показатель степени (12) — четный. $((-6)^{12} = 6^{12})$

Значение выражения $(-6)^{13}$ будет отрицательным, так как основание степени (-6) отрицательное, а показатель степени (13) — нечетный. $((-6)^{13} = -6^{13})$

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Следовательно:

$(-6)^{12} > (-6)^{13}$.

Таким образом, исходное неравенство также верно.

Ответ: $(-6)^3 \cdot (-6)^9 > (-6)^{13}$.