Номер 320, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 320, страница 58.

Условие.

320. Вычислите:

1) $100^5 : 1000^2$;

2) $\frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3}$;

3) $\frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}}$;

4) $\frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Для вычисления выражения $100^5 : 1000^2$ представим основания степеней в виде степеней числа 10. Мы знаем, что $100 = 10^2$ и $1000 = 10^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$100^5 : 1000^2 = (10^2)^5 : (10^3)^2$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10}$

$(10^3)^2 = 10^{3 \cdot 2} = 10^6$

Теперь выражение выглядит так:

$10^{10} : 10^6$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$10^{10-6} = 10^4$

Вычислим результат:

$10^4 = 10000$

Ответ: 10000

2)

Рассмотрим выражение $\frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3}$.

Сначала упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Упростим числитель:

$3^{10} \cdot (3^3)^5 = 3^{10} \cdot 3^{3 \cdot 5} = 3^{10} \cdot 3^{15} = 3^{10+15} = 3^{25}$

Упростим знаменатель (учитывая, что $3 = 3^1$):

$(3^5)^4 \cdot 3 = 3^{5 \cdot 4} \cdot 3^1 = 3^{20} \cdot 3^1 = 3^{20+1} = 3^{21}$

Теперь наша дробь имеет вид:

$\frac{3^{25}}{3^{21}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{25-21} = 3^4$

Вычислим значение:

$3^4 = 81$

Ответ: 81

3)

Для вычисления выражения $\frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}}$ приведем все основания степеней к одному числу — 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.

Подставим эти значения в числитель:

$\frac{(2^2)^3 \cdot (2^4)^2}{2^{12}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

$(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$

Дробь примет вид:

$\frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{12}}$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:

$\frac{2^{6+8}}{2^{12}} = \frac{2^{14}}{2^{12}}$

Наконец, используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{14-12} = 2^2$

Вычислим результат:

$2^2 = 4$

Ответ: 4

4)

Рассмотрим выражение $\frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$.

Разложим основание степени в числителе на простые множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Подставим это разложение в выражение:

$\frac{(3^2 \cdot 5)^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$

Воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для числителя:

$\frac{(3^2)^{10} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{3^{2 \cdot 10} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} = \frac{3^{20} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{20}}{3^{19}} \cdot \frac{5^{10}}{5^8} = 3^{20-19} \cdot 5^{10-8} = 3^1 \cdot 5^2$

Вычислим конечное значение:

$3 \cdot 25 = 75$

Ответ: 75