Номер 325, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 325, страница 59.

Условие.

325. Замените звёздочку такой степенью, чтобы образовалось верное равенство:

1) $8 \cdot * = 2^8$;

2) $a^n \cdot * = a^{3n+2}$, где $n$ – натуральное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы найти степень, которую нужно подставить вместо звёздочки в равенстве $8 \cdot * = 2^8$, обозначим эту искомую степень за $x$. Уравнение примет вид: $8 \cdot x = 2^8$.

Для начала представим число 8 как степень с основанием 2. Мы знаем, что $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, следовательно, $8 = 2^3$.

Теперь подставим это в наше уравнение:

$2^3 \cdot x = 2^8$

Чтобы найти $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $2^3$.

$x = \frac{2^8}{2^3}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$x = 2^{8-3} = 2^5$

Таким образом, звёздочку нужно заменить на $2^5$.

Выполним проверку: $8 \cdot 2^5 = 2^3 \cdot 2^5$. Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем $2^{3+5} = 2^8$. Равенство верно.

Ответ: $2^5$

2) Рассмотрим второе равенство: $a^n \cdot * = a^{3n+2}$, где $n$ — натуральное число. Снова обозначим искомую степень за $x$. Получаем уравнение: $a^n \cdot x = a^{3n+2}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $a^n$ (предполагая, что $a \neq 0$).

$x = \frac{a^{3n+2}}{a^n}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$.

$x = a^{(3n+2) - n}$

Упростим выражение в показателе степени:

$x = a^{3n - n + 2} = a^{2n+2}$

Значит, вместо звёздочки нужно подставить степень $a^{2n+2}$.

Выполним проверку: $a^n \cdot a^{2n+2} = a^{n + (2n+2)} = a^{n+2n+2} = a^{3n+2}$. Равенство верно.

Ответ: $a^{2n+2}$