Номер 327, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 327, страница 59.

Условие.

327. Запишите выражение $2^{48}$ в виде степени с основанием:

1) $2^4$;

2) $2^{16}$;

3) 8;

4) 64.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить выражение $2^{48}$ в виде степени с основанием $2^4$, необходимо найти такой показатель степени $x$, что $(2^4)^x = 2^{48}$. Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, мы получаем равенство $2^{4 \cdot x} = 2^{48}$. Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны: $4x = 48$. Отсюда находим $x = \frac{48}{4} = 12$. Следовательно, искомое выражение имеет вид $(2^4)^{12}$.
Ответ: $(2^4)^{12}$.

2) Аналогично, чтобы представить $2^{48}$ в виде степени с основанием $2^{16}$, ищем такой показатель $x$, что $(2^{16})^x = 2^{48}$. Применяя свойство степени, получаем $2^{16 \cdot x} = 2^{48}$. Из равенства показателей следует $16x = 48$. Решая уравнение, находим $x = \frac{48}{16} = 3$. Таким образом, выражение можно записать как $(2^{16})^3$.
Ответ: $(2^{16})^3$.

3) Для того чтобы представить $2^{48}$ в виде степени с основанием $8$, сначала выразим основание $8$ через степень числа $2$. Мы знаем, что $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Теперь задача сводится к поиску такого показателя $x$, что $8^x = 2^{48}$. Заменив $8$ на $2^3$, получим $(2^3)^x = 2^{48}$. По свойству степени, это эквивалентно $2^{3 \cdot x} = 2^{48}$. Приравниваем показатели: $3x = 48$. Отсюда $x = \frac{48}{3} = 16$. Значит, искомое выражение – это $8^{16}$.
Ответ: $8^{16}$.

4) Чтобы представить $2^{48}$ в виде степени с основанием $64$, представим $64$ как степень числа $2$. Поскольку $64 = 8^2 = (2^3)^2 = 2^6$. Мы ищем такой показатель $x$, что $64^x = 2^{48}$. Подставляем $64 = 2^6$ и получаем $(2^6)^x = 2^{48}$. Используя свойство возведения степени в степень, имеем $2^{6 \cdot x} = 2^{48}$. Приравнивая показатели, получаем уравнение $6x = 48$. Решение этого уравнения: $x = \frac{48}{6} = 8$. Следовательно, выражение можно записать как $64^8$.
Ответ: $64^8$.