Номер 333, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 333, страница 59.

Условие.

333. Какой цифрой оканчивается значение выражения ($n$ - натуральное число):

1) $9^{2n}$,

2) $7^{4n}$,

3) $7^{2n}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) 9²ⁿ

Чтобы найти последнюю цифру значения выражения, проанализируем, какими цифрами оканчиваются степени числа 9.
$9^1 = 9$
$9^2 = 81$
$9^3 = 729$
$9^4 = 6561$
Видно, что если показатель степени — нечетное число, то последняя цифра — 9, а если четное — то 1. В выражении $9^{2n}$ показатель степени $2n$ всегда является четным числом для любого натурального $n$ ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, значение выражения всегда оканчивается на 1.
Также можно преобразовать выражение: $9^{2n} = (9^2)^n = 81^n$. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1.

Ответ: 1.

2) 7⁴ⁿ

Рассмотрим, какими цифрами оканчиваются степени числа 7.
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343$
$7^4 = 2401$
Последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом в 4 шага: 7, 9, 3, 1. Показатель степени в выражении $7^{4n}$ равен $4n$. Поскольку $n$ — натуральное число, $4n$ всегда кратно 4. Это означает, что мы всегда будем попадать на четвертый элемент цикла (соответствующий степени, кратной 4), то есть на 1.
Альтернативно: $7^{4n} = (7^4)^n = 2401^n$. Так как 2401 оканчивается на 1, любая его натуральная степень также будет оканчиваться на 1.

Ответ: 1.

3) 7²ⁿ

Как и в предыдущем пункте, последние цифры степеней числа 7 повторяются в цикле (7, 9, 3, 1). Показатель степени в данном выражении — $2n$. Здесь последняя цифра зависит от четности самого числа $n$.
1. Если $n$ — нечетное число (например, 1, 3, 5, ...), то показатель $2n$ будет равен 2, 6, 10, ... . Эти числа при делении на 4 дают в остатке 2. Следовательно, последняя цифра будет такой же, как у $7^2$, то есть 9.
2. Если $n$ — четное число (например, 2, 4, 6, ...), то показатель $2n$ будет равен 4, 8, 12, ... . Эти числа кратны 4. Следовательно, последняя цифра будет такой же, как у $7^4$, то есть 1.
Таким образом, для данного выражения не существует одной-единственной последней цифры, которая была бы верна для любого натурального $n$. Ответ зависит от четности $n$.

Ответ: 9, если $n$ — нечетное число; 1, если $n$ — четное число.