Номер 335, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 335, страница 59.

Условие.

335. Докажите, что значение выражения:

1) $4^{40} - 1$;

2) $2004^{171} + 171^{2004}$

делится нацело на 5.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Чтобы доказать, что значение выражения $4^{40} - 1$ делится нацело на 5, найдем последнюю цифру этого значения. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.

Сначала определим последнюю цифру числа $4^{40}$. Для этого посмотрим на последние цифры первых нескольких степеней числа 4:

$4^1 = 4$

$4^2 = 16$ (оканчивается на 6)

$4^3 = 64$ (оканчивается на 4)

$4^4 = 256$ (оканчивается на 6)

Можно заметить, что последняя цифра степеней числа 4 циклически повторяется. Если показатель степени — нечетное число, то последняя цифра равна 4. Если показатель степени — четное число, то последняя цифра равна 6.

Поскольку в выражении $4^{40}$ показатель степени 40 является четным числом, то число $4^{40}$ оканчивается на 6.

Теперь найдем последнюю цифру значения выражения $4^{40} - 1$. Это будет последняя цифра разности числа, оканчивающегося на 6, и числа 1. Эта разность оканчивается на $6 - 1 = 5$.

Так как значение выражения оканчивается на 5, оно делится нацело на 5.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы доказать, что значение выражения $2004^{171} + 171^{2004}$ делится нацело на 5, найдем последнюю цифру этого значения. Воспользуемся тем же свойством делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5.

Найдем последнюю цифру каждого слагаемого в отдельности.

1. Последняя цифра числа $2004^{171}$ определяется последней цифрой его основания, то есть 4. Как мы установили в пункте 1, степень числа 4 с нечетным показателем (171 — нечетное число) оканчивается на 4.

2. Последняя цифра числа $171^{2004}$ определяется последней цифрой его основания, то есть 1. Любая натуральная степень числа, которое оканчивается на 1, также будет оканчиваться на 1. Следовательно, число $171^{2004}$ оканчивается на 1.

Теперь найдем последнюю цифру суммы $2004^{171} + 171^{2004}$. Для этого сложим последние цифры слагаемых: $4 + 1 = 5$.

Поскольку значение всего выражения оканчивается на 5, оно делится нацело на 5.

Ответ: Доказано.