Номер 329, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 329, страница 59.

Условие.

329. Сравните значения выражений:

1) $2^{300}$ и $3^{200}$; 2) $4^{18}$ и $18^{9}$; 3) $27^{20}$ и $11^{30}$; 4) $3^{10} \cdot 5^{8}$ и $15^{9}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Сравним $2^{300}$ и $3^{200}$.

Чтобы сравнить эти степени, приведем их к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей 300 и 200 равен 100.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, представим каждое выражение в виде степени с показателем 100:

$2^{300} = 2^{3 \cdot 100} = (2^3)^{100} = 8^{100}$

$3^{200} = 3^{2 \cdot 100} = (3^2)^{100} = 9^{100}$

Теперь задача сводится к сравнению $8^{100}$ и $9^{100}$. Поскольку показатели степеней одинаковы, а основания являются положительными числами, то больше та степень, у которой больше основание.

Сравниваем основания: $8 < 9$.

Следовательно, $8^{100} < 9^{100}$, а это значит, что $2^{300} < 3^{200}$.

Ответ: $2^{300} < 3^{200}$.

2) Сравним $4^{18}$ и $18^9$.

Приведем степени к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей 18 и 9 равен 9. Представим $4^{18}$ в виде степени с показателем 9:

$4^{18} = 4^{2 \cdot 9} = (4^2)^9 = 16^9$

Теперь сравним полученное выражение $16^9$ с $18^9$.

Так как показатели степеней равны (9), а основания положительны, сравниваем основания: $16 < 18$.

Следовательно, $16^9 < 18^9$, что означает $4^{18} < 18^9$.

Ответ: $4^{18} < 18^9$.

3) Сравним $27^{20}$ и $11^{30}$.

Приведем степени к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей 20 и 30 равен 10.

Представим оба выражения в виде степени с показателем 10:

$27^{20} = 27^{2 \cdot 10} = (27^2)^{10} = 729^{10}$

$11^{30} = 11^{3 \cdot 10} = (11^3)^{10} = 1331^{10}$

Теперь сравним $729^{10}$ и $1331^{10}$. Показатели степеней равны (10), поэтому нам достаточно сравнить основания.

Сравниваем основания: $729 < 1331$.

Следовательно, $729^{10} < 1331^{10}$, а значит $27^{20} < 11^{30}$.

Ответ: $27^{20} < 11^{30}$.

4) Сравним $3^{10} \cdot 5^8$ и $15^9$.

Преобразуем оба выражения для удобства сравнения. Заметим, что $15 = 3 \cdot 5$.

Преобразуем первое выражение, выделив множитель $15^8$:

$3^{10} \cdot 5^8 = 3^{2+8} \cdot 5^8 = 3^2 \cdot 3^8 \cdot 5^8 = 9 \cdot (3 \cdot 5)^8 = 9 \cdot 15^8$

Преобразуем второе выражение:

$15^9 = 15^{1+8} = 15^1 \cdot 15^8 = 15 \cdot 15^8$

Теперь нам нужно сравнить $9 \cdot 15^8$ и $15 \cdot 15^8$.

Так как $15^8$ — это общий положительный множитель, мы можем сравнить коэффициенты перед ним: $9$ и $15$.

Поскольку $9 < 15$, то и $9 \cdot 15^8 < 15 \cdot 15^8$.

Следовательно, $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$.

Ответ: $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$.