Номер 322, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 322, страница 58.

Условие.

322. Найдите значение выражения:

1) $10^5 \cdot 0.1^7$;

2) $1.9^{14} \cdot \left(\frac{10}{19}\right)^{15}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы найти значение выражения $10^5 \cdot 0,1^7$, воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим десятичную дробь $0,1$ в виде степени числа $10$.
$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$10^5 \cdot (10^{-1})^7$
Теперь применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$10^5 \cdot 10^{-1 \cdot 7} = 10^5 \cdot 10^{-7}$
Далее, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^{5 + (-7)} = 10^{5-7} = 10^{-2}$
Вычислим окончательное значение:
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Ответ: 0,01.

2) Чтобы найти значение выражения $1,9^{14} \cdot (\frac{10}{19})^{15}$, преобразуем его, используя свойства степеней.
Первым шагом представим десятичную дробь $1,9$ в виде обыкновенной дроби: $1,9 = \frac{19}{10}$.
Теперь выражение выглядит так:
$(\frac{19}{10})^{14} \cdot (\frac{10}{19})^{15}$
Разложим второй множитель на два, используя правило $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$(\frac{10}{19})^{15} = (\frac{10}{19})^{14} \cdot (\frac{10}{19})^1$
Подставим это разложение обратно в выражение:
$(\frac{19}{10})^{14} \cdot (\frac{10}{19})^{14} \cdot \frac{10}{19}$
Сгруппируем множители с одинаковым показателем степени $14$, применив свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$(\frac{19}{10} \cdot \frac{10}{19})^{14} \cdot \frac{10}{19}$
Произведение в скобках равно $1$, так как дроби являются взаимно обратными:
$1^{14} \cdot \frac{10}{19}$
Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, получаем:
$1 \cdot \frac{10}{19} = \frac{10}{19}$.
Ответ: $\frac{10}{19}$.