Номер 319, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 319, страница 58.

Условие.

319. Найдите значение выражения:

1) $(6^4)^4 : (6^5)^3;$

2) $8^3 : 4^4;$

3) $\frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2};$

4) $\frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}};$

5) $\frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7};$

6) $\frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для решения выражения $(6^4)^4 : (6^5)^3$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(6^4)^4 = 6^{4 \cdot 4} = 6^{16}$

$(6^5)^3 = 6^{5 \cdot 3} = 6^{15}$

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$6^{16} : 6^{15} = 6^{16-15} = 6^1 = 6$

Ответ: 6

2) В выражении $8^3 : 4^4$ приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$8^3 : 4^4 = (2^3)^3 : (2^2)^4$

Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9$

$(2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8$

Теперь выражение имеет вид $2^9 : 2^8$. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$2^9 : 2^8 = 2^{9-8} = 2^1 = 2$

Ответ: 2

3) Упростим выражение $\frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2}$.

Сначала упростим числитель, используя правила $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$7^{14} \cdot (7^2)^3 = 7^{14} \cdot 7^{2 \cdot 3} = 7^{14} \cdot 7^6 = 7^{14+6} = 7^{20}$

Теперь упростим знаменатель по тем же правилам:

$(7^3)^6 \cdot 7^2 = 7^{3 \cdot 6} \cdot 7^2 = 7^{18} \cdot 7^2 = 7^{18+2} = 7^{20}$

Дробь принимает вид $\frac{7^{20}}{7^{20}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием и показателем, результат равен 1:

$\frac{7^{20}}{7^{20}} = 7^{20-20} = 7^0 = 1$

Ответ: 1

4) Чтобы найти значение выражения $\frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}}$, приведем все основания к одному числу, в данном случае к 5.

Так как $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$, подставим это в выражение:

$\frac{(5^2)^3 \cdot (5^3)^2}{5^{10}}$

Используем правило $(a^m)^n = a^{mn}$ для числителя:

$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$

$(5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{5^6 \cdot 5^6}{5^{10}}$.

Применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя:

$\frac{5^{6+6}}{5^{10}} = \frac{5^{12}}{5^{10}}$

Используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{12-10} = 5^2 = 25$

Ответ: 25

5) Рассмотрим выражение $\frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7}$.

В числителе воспользуемся свойством степени произведения $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$3^8 \cdot 7^8 = (3 \cdot 7)^8 = 21^8$

Дробь принимает вид $\frac{21^8}{21^7}$.

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{21^8}{21^7} = 21^{8-7} = 21^1 = 21$

Ответ: 21

6) Чтобы найти значение выражения $\frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6}$, представим основание в знаменателе в виде произведения множителей.

Так как $20 = 5 \cdot 4$, то $20^6 = (5 \cdot 4)^6$. Используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$20^6 = 5^6 \cdot 4^6$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{5^9 \cdot 4^6}{5^6 \cdot 4^6}$

Сократим дробь на $4^6$:

$\frac{5^9}{5^6}$

Используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{9-6} = 5^3 = 125$

Ответ: 125