Номер 314, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 314, страница 58.

Условие.

314. Запишите в виде степени с показателем 2 выражение:

1) $a^2b^6$,

2) $x^8y^{14}$,

3) $x^4y^{10}z^{18}$,

4) $4m^{12}n^{16}$,

5) $81c^{10}d^{32}p^{44}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить выражение $a^2b^6$ в виде степени с показателем 2, необходимо каждый множитель в выражении представить в виде квадрата. Для этого воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Представим $a^2$ как квадрат некоторого выражения. Очевидно, что $a^2 = (a^1)^2 = a^2$.

Представим $b^6$ как квадрат. Для этого показатель степени 6 нужно разделить на 2: $6 \div 2 = 3$. Таким образом, $b^6 = (b^3)^2$.

Теперь объединим результаты, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$: $a^2b^6 = (a)^2 \cdot (b^3)^2 = (ab^3)^2$.

Ответ: $(ab^3)^2$

2) Чтобы представить выражение $x^8y^{14}$ в виде степени с показателем 2, мы должны найти такое основание, квадрат которого равен данному выражению. Для этого нужно разделить показатель каждой переменной на 2.

Для $x^8$: показатель $8 \div 2 = 4$. Основание будет $x^4$. Проверка: $(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$.

Для $y^{14}$: показатель $14 \div 2 = 7$. Основание будет $y^7$. Проверка: $(y^7)^2 = y^{7 \cdot 2} = y^{14}$.

Следовательно, $x^8y^{14} = (x^4)^2(y^7)^2 = (x^4y^7)^2$.

Ответ: $(x^4y^7)^2$

3) Представим выражение $x^4y^{10}z^{18}$ в виде степени с показателем 2. Разделим показатель степени каждого множителя на 2, чтобы найти соответствующее основание.

Для $x^4$: основание равно $x^{4 \div 2} = x^2$.

Для $y^{10}$: основание равно $y^{10 \div 2} = y^5$.

Для $z^{18}$: основание равно $z^{18 \div 2} = z^9$.

Таким образом, всё выражение можно записать как: $x^4y^{10}z^{18} = (x^2y^5z^9)^2$.

Ответ: $(x^2y^5z^9)^2$

4) Представим выражение $4m^{12}n^{16}$ в виде степени с показателем 2. Сначала разберемся с числовым коэффициентом.

Число 4 является квадратом числа 2: $4 = 2^2$.

Теперь найдем основания для переменных, разделив их показатели степеней на 2.

Для $m^{12}$: основание $m^{12 \div 2} = m^6$.

Для $n^{16}$: основание $n^{16 \div 2} = n^8$.

Объединив все части, получаем: $4m^{12}n^{16} = 2^2 \cdot (m^6)^2 \cdot (n^8)^2 = (2m^6n^8)^2$.

Ответ: $(2m^6n^8)^2$

5) Представим выражение $81c^{10}d^{32}p^{44}$ в виде степени с показателем 2.

Числовой коэффициент 81 является квадратом числа 9: $81 = 9^2$.

Далее, для каждой переменной найдем основание, разделив ее показатель степени на 2.

Для $c^{10}$: основание $c^{10 \div 2} = c^5$.

Для $d^{32}$: основание $d^{32 \div 2} = d^{16}$.

Для $p^{44}$: основание $p^{44 \div 2} = p^{22}$.

Собираем все множители под один квадрат: $81c^{10}d^{32}p^{44} = 9^2 \cdot (c^5)^2 \cdot (d^{16})^2 \cdot (p^{22})^2 = (9c^5d^{16}p^{22})^2$.

Ответ: $(9c^5d^{16}p^{22})^2$