Номер 307, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 307, страница 57.

Условие.

307. Упростите выражение:

1) $(-a^6)^5)^9$

2) $((−a^{11})^2)^3$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы упростить выражение $ ((-a^6)^5)^9 $, будем последовательно применять свойства степеней.

Сначала воспользуемся свойством возведения степени в степень: $ (x^m)^n = x^{mn} $. В нашем случае $ x = (-a^6) $, $ m = 5 $, $ n = 9 $.
$ ((-a^6)^5)^9 = (-a^6)^{5 \cdot 9} = (-a^6)^{45} $
Теперь раскроем скобки. Выражение $ (-a^6)^{45} $ означает, что мы возводим в 45-ю степень произведение $ (-1) \cdot a^6 $.
$ (-a^6)^{45} = ((-1) \cdot a^6)^{45} = (-1)^{45} \cdot (a^6)^{45} $
Поскольку 45 — нечетное число, $ (-1)^{45} = -1 $.
Снова применим свойство возведения степени в степень для $ (a^6)^{45} $:
$ (a^6)^{45} = a^{6 \cdot 45} = a^{270} $
Собираем все вместе:
$ (-1) \cdot a^{270} = -a^{270} $
Ответ: $ -a^{270} $

2) Упростим выражение $ ((-a^{11})^2)^3 $, используя те же свойства степеней.

Применим свойство $ (x^m)^n = x^{mn} $ для всего выражения. Здесь $ x = (-a^{11}) $, $ m = 2 $, $ n = 3 $.
$ ((-a^{11})^2)^3 = (-a^{11})^{2 \cdot 3} = (-a^{11})^6 $
Теперь раскроем скобки. Выражение $ (-a^{11})^6 $ — это произведение $ (-1) \cdot a^{11} $, возведенное в 6-ю степень.
$ (-a^{11})^6 = ((-1) \cdot a^{11})^6 = (-1)^6 \cdot (a^{11})^6 $
Поскольку 6 — четное число, $ (-1)^6 = 1 $.
Применим свойство возведения степени в степень для $ (a^{11})^6 $:
$ (a^{11})^6 = a^{11 \cdot 6} = a^{66} $
Собираем все вместе:
$ 1 \cdot a^{66} = a^{66} $
Ответ: $ a^{66} $