Номер 309, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 309, страница 57.

Условие.

309. Представьте в виде степени выражение:

1) $a^4a^5$;

2) $aa^n$;

3) $a^3a^n$;

4) $(a^3)^n$;

5) $(a^n)^2 \cdot (a^5)^n$,

где $n$ – натуральное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы представить произведение степеней $a^n$ и $a^5$ в виде одной степени, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием. Правило гласит: при умножении степеней с одинаковым основанием их основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Математически это записывается так: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.
Применяя это правило к выражению $a^n a^5$, получаем:
$a^n \cdot a^5 = a^{n+5}$
Ответ: $a^{n+5}$

2) В выражении $a a^n$ необходимо перемножить $a$ и $a^n$. Следует помнить, что любое число или переменная без явно указанного показателя степени находится в первой степени, то есть $a = a^1$.
Используя то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), получаем:
$a \cdot a^n = a^1 \cdot a^n = a^{1+n}$
Ответ: $a^{1+n}$

3) Выражение $a^3 a^n$ также представляет собой произведение двух степеней с одинаковым основанием $a$. Для его упрощения мы снова применяем правило сложения показателей при умножении степеней: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.
В данном случае:
$a^3 \cdot a^n = a^{3+n}$
Ответ: $a^{3+n}$

4) В этом задании нужно возвести степень в степень. Для этого существует правило: при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются. Формула этого свойства: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.
Применяя это правило к выражению $(a^3)^n$, получаем:
$(a^3)^n = a^{3 \cdot n} = a^{3n}$
Ответ: $a^{3n}$

5) Это выражение является произведением двух степеней, каждая из которых, в свою очередь, возводится в степень. Сначала упростим каждый из множителей по отдельности, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.
Упрощаем первый множитель: $(a^n)^2 = a^{n \cdot 2} = a^{2n}$.
Упрощаем второй множитель: $(a^5)^n = a^{5 \cdot n} = a^{5n}$.
Теперь исходное выражение имеет вид $a^{2n} \cdot a^{5n}$. Далее применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$):
$a^{2n} \cdot a^{5n} = a^{2n + 5n} = a^{7n}$
Ответ: $a^{7n}$