Номер 303, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 303, страница 57.

Условие.

303. Вместо звёздочки запишите такое выражение, чтобы выполнялось равенство:

1) $ (*)^4 = c^{20} $

2) $ (*)^2 = c^{14} $

3) $ (*)^n = c^{8n} $

4) $ (*)^7 = c^{7n} $

где $n$ – натуральное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством степени: при возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются. В общем виде это записывается так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

1) $(*)^4 = c^{20}$

Обозначим искомое выражение за $c^x$. Тогда равенство примет вид: $(c^x)^4 = c^{20}$.

Применяя свойство степени, получаем: $c^{x \cdot 4} = c^{20}$.

Чтобы равенство выполнялось, показатели степеней должны быть равны: $4x = 20$.

Отсюда находим $x$: $x = \frac{20}{4} = 5$.

Следовательно, вместо звёздочки нужно записать выражение $c^5$.

Проверка: $(c^5)^4 = c^{5 \cdot 4} = c^{20}$. Равенство выполняется.

Ответ: $c^5$.

2) $(*)^2 = c^{14}$

Пусть искомое выражение равно $c^x$. Тогда: $(c^x)^2 = c^{14}$.

Используя свойство возведения степени в степень, имеем: $c^{2x} = c^{14}$.

Приравниваем показатели: $2x = 14$.

Находим $x$: $x = \frac{14}{2} = 7$.

Таким образом, искомое выражение — это $c^7$.

Проверка: $(c^7)^2 = c^{7 \cdot 2} = c^{14}$. Равенство выполняется.

Ответ: $c^7$.

3) $(*)^n = c^{8n}$

Обозначим выражение в скобках как $c^x$. Получим равенство: $(c^x)^n = c^{8n}$.

По свойству степени: $c^{xn} = c^{8n}$.

Приравниваем показатели степеней: $xn = 8n$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $n$: $x = 8$.

Значит, вместо звёздочки должно стоять выражение $c^8$.

Проверка: $(c^8)^n = c^{8 \cdot n} = c^{8n}$. Равенство выполняется.

Ответ: $c^8$.

4) $(*)^7 = c^{7n}$

Пусть искомое выражение равно $c^x$. Тогда: $(c^x)^7 = c^{7n}$.

По свойству степени получаем: $c^{7x} = c^{7n}$.

Приравниваем показатели: $7x = 7n$.

Разделим обе части уравнения на 7: $x = n$.

Следовательно, искомое выражение — это $c^n$.

Проверка: $(c^n)^7 = c^{n \cdot 7} = c^{7n}$. Равенство выполняется.

Ответ: $c^n$.