Номер 301, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 301, страница 57.

Условие.

301. Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3):

1) $2^2 \cdot 2^3;$

2) $(2^2)^3;$

3) $3^2 \cdot 3 \cdot 3^3;$

4) $0,3^8 : 0,3^5;$

5) $7^9 \cdot \left(\frac{1}{14}\right)^9;$

6) $12,5^3 \cdot 8^3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы представить выражение $2^2 \cdot 2^3$ в виде степени, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном случае основание $a=2$, а показатели степеней $m=2$ и $n=3$.

Следовательно, $2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5$.

Теперь вычислим значение полученной степени:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: $2^5 = 32$.

2) Для того чтобы представить выражение $(2^2)^3$ в виде степени, воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Здесь основание $a=2$, а показатели степеней $m=2$ и $n=3$.

Таким образом, $(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$.

Вычислим значение этой степени:

$2^6 = 64$.

Ответ: $2^6 = 64$.

3) Представим множитель $3$ как степень с показателем 1, то есть $3 = 3^1$. Теперь выражение имеет вид $3^2 \cdot 3^1 \cdot 3^3$.

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$:

$3^2 \cdot 3^1 \cdot 3^3 = 3^{2+1+3} = 3^6$.

Теперь вычислим значение $3^6$:

$3^6 = 729$.

Ответ: $3^6 = 729$.

4) Для данного выражения применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В нашем случае основание $a=0,3$, $m=8$, $n=5$.

$0,3^8 : 0,3^5 = 0,3^{8-5} = 0,3^3$.

Вычислим значение полученной степени:

$0,3^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027$.

Ответ: $0,3^3 = 0,027$.

5) В этом выражении $7^9 \cdot (\frac{1}{14})^9$ у степеней разные основания, но одинаковые показатели. Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Применим это свойство: $7^9 \cdot (\frac{1}{14})^9 = (7 \cdot \frac{1}{14})^9$.

Упростим выражение в скобках: $7 \cdot \frac{1}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, исходное выражение равно $(\frac{1}{2})^9$.

Вычислим значение: $(\frac{1}{2})^9 = \frac{1^9}{2^9} = \frac{1}{512}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^9 = \frac{1}{512}$.

6) В выражении $12,5^3 \cdot 8^3$ у множителей одинаковые показатели степени. Применим свойство произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$12,5^3 \cdot 8^3 = (12,5 \cdot 8)^3$.

Вычислим произведение в скобках: $12,5 \cdot 8 = 100$.

Теперь выражение имеет вид $100^3$.

Вычислим его значение:

$100^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 = 1\;000\;000$.

Ответ: $100^3 = 1\;000\;000$.