Номер 299, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 299, страница 57.

Условие.

299. Представьте в виде степени выражение:

1) $x^{12}y^{12}$

2) $-125m^3n^3$

3) $32p^5q^5$

4) $1\,000\,000\,000a^9b^9c^9$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить выражение $x^{12}y^{12}$ в виде степени, мы используем свойство степени произведения, которое гласит, что $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. В данном выражении оба множителя, $x$ и $y$, возведены в одну и ту же степень $12$. Следовательно, мы можем перемножить основания $x$ и $y$ и возвести их произведение в общую степень $12$.
$x^{12}y^{12} = (x \cdot y)^{12} = (xy)^{12}$.
Ответ: $(xy)^{12}$.

2) В выражении $-125m^3n^3$ переменные $m$ и $n$ возведены в третью степень. Нам нужно представить числовой коэффициент $-125$ в виде степени с таким же показателем. Мы знаем, что $5^3 = 125$, следовательно, $(-5)^3 = -125$.
Таким образом, выражение можно переписать как $(-5)^3 m^3 n^3$.
Теперь все множители имеют одинаковый показатель степени $3$. Применяя свойство степени произведения $a^n b^n c^n = (abc)^n$, получаем:
$(-5)^3 m^3 n^3 = (-5 \cdot m \cdot n)^3 = (-5mn)^3$.
Ответ: $(-5mn)^3$.

3) Рассмотрим выражение $32p^5q^5$. Показатель степени у переменных $p$ и $q$ равен $5$. Представим коэффициент $32$ в виде степени с показателем $5$. Путем подбора находим, что $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Теперь выражение можно записать в виде $2^5 p^5 q^5$.
Используя свойство степени произведения, объединяем все множители под одной степенью:
$2^5 p^5 q^5 = (2 \cdot p \cdot q)^5 = (2pq)^5$.
Ответ: $(2pq)^5$.

4) В выражении $1 000 000 000a^9b^9c^9$ все переменные $a, b, c$ возведены в девятую степень. Представим числовой коэффициент $1 000 000 000$ в виде степени с показателем $9$. Это число является степенью числа $10$, так как содержит $9$ нулей.
$1 000 000 000 = 10^9$.
Исходное выражение можно переписать как $10^9 a^9 b^9 c^9$.
Применяя свойство степени произведения для четырех множителей, получаем:
$10^9 a^9 b^9 c^9 = (10 \cdot a \cdot b \cdot c)^9 = (10abc)^9$.
Ответ: $(10abc)^9$.