Номер 300, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 300, страница 57.

Условие.

300. Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3):

1) $2^3 \cdot 2^4$;

2) $(3^2)^3$;

3) $0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3$;

4) $0,5^{12} \cdot 2^{12}$;

5) $2^{12} : 2^8$;

6) $(3^4)^5 : 3^{19}$;

7) $(\frac{1}{3})^9 \cdot 9^9$;

8) $2,5^5 \cdot 40^5$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы представить произведение $2^3 \cdot 2^4$ в виде степени, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В нашем случае основание $a=2$, а показатели степени $m=3$ и $n=4$.

$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

Теперь вычислим значение выражения $2^7$:

$2^7 = 128$

Ответ: $2^7=128$.

2) Для того чтобы представить выражение $(3^2)^3$ в виде степени, воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В данном случае основание $a=3$, а показатели $m=2$ и $n=3$.

$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$

Вычислим значение $3^6$:

$3^6 = 729$

Ответ: $3^6=729$.

3) Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Заметим, что $0,2$ это $0,2^1$.

$0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^1 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^{1+2+3} = 0,2^6$

Вычислим значение выражения:

$0,2^6 = 0,000064$

Ответ: $0,2^6 = 0,000064$.

4) В этом примере мы имеем произведение степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями. Воспользуемся свойством $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Здесь $a=0,5$, $b=2$, $n=12$.

$0,5^{12} \cdot 2^{12} = (0,5 \cdot 2)^{12} = 1^{12}$

Вычислим значение:

$1^{12} = 1$

Ответ: $1^{12}=1$.

5) Для деления степеней с одинаковым основанием применяется правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В нашем случае $a=2$, $m=12$, $n=8$.

$2^{12} : 2^8 = 2^{12-8} = 2^4$

Вычислим значение:

$2^4 = 16$

Ответ: $2^4=16$.

6) Сначала упростим выражение $(3^4)^5$, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(3^4)^5 = 3^{4 \cdot 5} = 3^{20}$

Теперь выполним деление, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$3^{20} : 3^{19} = 3^{20-19} = 3^1$

Вычислим значение:

$3^1 = 3$

Ответ: $3^1=3$.

7) Здесь мы видим произведение степеней с одинаковыми показателями. Применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

В этом случае $a=\frac{1}{3}$, $b=9$, $n=9$.

$(\frac{1}{3})^9 \cdot 9^9 = (\frac{1}{3} \cdot 9)^9 = 3^9$

Вычислим значение $3^9$:

$3^9 = 19683$

Ответ: $3^9=19683$.

8) Используем свойство умножения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Здесь $a=2,5$, $b=40$, $n=5$.

$2,5^5 \cdot 40^5 = (2,5 \cdot 40)^5 = 100^5$

Для вычисления значения представим $100$ как $10^2$:

$100^5 = (10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10}$

$10^{10} = 10 \ 000 \ 000 \ 000$

Ответ: $100^5 = 10 \ 000 \ 000 \ 000$.