Страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

299. Представьте в виде степени выражение:

1) $x^{12}y^{12}$

2) $-125m^3n^3$

3) $32p^5q^5$

4) $1\,000\,000\,000a^9b^9c^9$

1) Чтобы представить выражение $x^{12}y^{12}$ в виде степени, мы используем свойство степени произведения, которое гласит, что $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. В данном выражении оба множителя, $x$ и $y$, возведены в одну и ту же степень $12$. Следовательно, мы можем перемножить основания $x$ и $y$ и возвести их произведение в общую степень $12$.
$x^{12}y^{12} = (x \cdot y)^{12} = (xy)^{12}$.
Ответ: $(xy)^{12}$.

2) В выражении $-125m^3n^3$ переменные $m$ и $n$ возведены в третью степень. Нам нужно представить числовой коэффициент $-125$ в виде степени с таким же показателем. Мы знаем, что $5^3 = 125$, следовательно, $(-5)^3 = -125$.
Таким образом, выражение можно переписать как $(-5)^3 m^3 n^3$.
Теперь все множители имеют одинаковый показатель степени $3$. Применяя свойство степени произведения $a^n b^n c^n = (abc)^n$, получаем:
$(-5)^3 m^3 n^3 = (-5 \cdot m \cdot n)^3 = (-5mn)^3$.
Ответ: $(-5mn)^3$.

3) Рассмотрим выражение $32p^5q^5$. Показатель степени у переменных $p$ и $q$ равен $5$. Представим коэффициент $32$ в виде степени с показателем $5$. Путем подбора находим, что $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Теперь выражение можно записать в виде $2^5 p^5 q^5$.
Используя свойство степени произведения, объединяем все множители под одной степенью:
$2^5 p^5 q^5 = (2 \cdot p \cdot q)^5 = (2pq)^5$.
Ответ: $(2pq)^5$.

4) В выражении $1 000 000 000a^9b^9c^9$ все переменные $a, b, c$ возведены в девятую степень. Представим числовой коэффициент $1 000 000 000$ в виде степени с показателем $9$. Это число является степенью числа $10$, так как содержит $9$ нулей.
$1 000 000 000 = 10^9$.
Исходное выражение можно переписать как $10^9 a^9 b^9 c^9$.
Применяя свойство степени произведения для четырех множителей, получаем:
$10^9 a^9 b^9 c^9 = (10 \cdot a \cdot b \cdot c)^9 = (10abc)^9$.
Ответ: $(10abc)^9$.

300. Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3):

1) $2^3 \cdot 2^4$;

2) $(3^2)^3$;

3) $0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3$;

4) $0,5^{12} \cdot 2^{12}$;

5) $2^{12} : 2^8$;

6) $(3^4)^5 : 3^{19}$;

7) $(\frac{1}{3})^9 \cdot 9^9$;

8) $2,5^5 \cdot 40^5$.

1) Для того чтобы представить произведение $2^3 \cdot 2^4$ в виде степени, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В нашем случае основание $a=2$, а показатели степени $m=3$ и $n=4$.

$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

Теперь вычислим значение выражения $2^7$:

$2^7 = 128$

Ответ: $2^7=128$.

2) Для того чтобы представить выражение $(3^2)^3$ в виде степени, воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В данном случае основание $a=3$, а показатели $m=2$ и $n=3$.

$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$

Вычислим значение $3^6$:

$3^6 = 729$

Ответ: $3^6=729$.

3) Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Заметим, что $0,2$ это $0,2^1$.

$0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^1 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^{1+2+3} = 0,2^6$

Вычислим значение выражения:

$0,2^6 = 0,000064$

Ответ: $0,2^6 = 0,000064$.

4) В этом примере мы имеем произведение степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями. Воспользуемся свойством $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Здесь $a=0,5$, $b=2$, $n=12$.

$0,5^{12} \cdot 2^{12} = (0,5 \cdot 2)^{12} = 1^{12}$

Вычислим значение:

$1^{12} = 1$

Ответ: $1^{12}=1$.

5) Для деления степеней с одинаковым основанием применяется правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В нашем случае $a=2$, $m=12$, $n=8$.

$2^{12} : 2^8 = 2^{12-8} = 2^4$

Вычислим значение:

$2^4 = 16$

Ответ: $2^4=16$.

6) Сначала упростим выражение $(3^4)^5$, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(3^4)^5 = 3^{4 \cdot 5} = 3^{20}$

Теперь выполним деление, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$3^{20} : 3^{19} = 3^{20-19} = 3^1$

Вычислим значение:

$3^1 = 3$

Ответ: $3^1=3$.

7) Здесь мы видим произведение степеней с одинаковыми показателями. Применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

В этом случае $a=\frac{1}{3}$, $b=9$, $n=9$.

$(\frac{1}{3})^9 \cdot 9^9 = (\frac{1}{3} \cdot 9)^9 = 3^9$

Вычислим значение $3^9$:

$3^9 = 19683$

Ответ: $3^9=19683$.

8) Используем свойство умножения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Здесь $a=2,5$, $b=40$, $n=5$.

$2,5^5 \cdot 40^5 = (2,5 \cdot 40)^5 = 100^5$

Для вычисления значения представим $100$ как $10^2$:

$100^5 = (10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10}$

$10^{10} = 10 \ 000 \ 000 \ 000$

Ответ: $100^5 = 10 \ 000 \ 000 \ 000$.

301. Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3):

1) $2^2 \cdot 2^3;$

2) $(2^2)^3;$

3) $3^2 \cdot 3 \cdot 3^3;$

4) $0,3^8 : 0,3^5;$

5) $7^9 \cdot \left(\frac{1}{14}\right)^9;$

6) $12,5^3 \cdot 8^3.$

1) Для того чтобы представить выражение $2^2 \cdot 2^3$ в виде степени, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном случае основание $a=2$, а показатели степеней $m=2$ и $n=3$.

Следовательно, $2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5$.

Теперь вычислим значение полученной степени:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: $2^5 = 32$.

2) Для того чтобы представить выражение $(2^2)^3$ в виде степени, воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Здесь основание $a=2$, а показатели степеней $m=2$ и $n=3$.

Таким образом, $(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$.

Вычислим значение этой степени:

$2^6 = 64$.

Ответ: $2^6 = 64$.

3) Представим множитель $3$ как степень с показателем 1, то есть $3 = 3^1$. Теперь выражение имеет вид $3^2 \cdot 3^1 \cdot 3^3$.

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$:

$3^2 \cdot 3^1 \cdot 3^3 = 3^{2+1+3} = 3^6$.

Теперь вычислим значение $3^6$:

$3^6 = 729$.

Ответ: $3^6 = 729$.

4) Для данного выражения применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В нашем случае основание $a=0,3$, $m=8$, $n=5$.

$0,3^8 : 0,3^5 = 0,3^{8-5} = 0,3^3$.

Вычислим значение полученной степени:

$0,3^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027$.

Ответ: $0,3^3 = 0,027$.

5) В этом выражении $7^9 \cdot (\frac{1}{14})^9$ у степеней разные основания, но одинаковые показатели. Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Применим это свойство: $7^9 \cdot (\frac{1}{14})^9 = (7 \cdot \frac{1}{14})^9$.

Упростим выражение в скобках: $7 \cdot \frac{1}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, исходное выражение равно $(\frac{1}{2})^9$.

Вычислим значение: $(\frac{1}{2})^9 = \frac{1^9}{2^9} = \frac{1}{512}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^9 = \frac{1}{512}$.

6) В выражении $12,5^3 \cdot 8^3$ у множителей одинаковые показатели степени. Применим свойство произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$12,5^3 \cdot 8^3 = (12,5 \cdot 8)^3$.

Вычислим произведение в скобках: $12,5 \cdot 8 = 100$.

Теперь выражение имеет вид $100^3$.

Вычислим его значение:

$100^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 = 1\;000\;000$.

Ответ: $100^3 = 1\;000\;000$.

302. Найдите в данных примерах ошибки:

1) $a^4a^3 = a^{12};$

2) $a \cdot a = 2a;$

3) $(a^3)^2 = a^9;$

4) $3^2 \cdot 5^2 = 15^4;$

5) $2^2 \cdot 7^3 = 14^5;$

6) $(2a)^4 = 8a^4;$

7) $3 \cdot 4^3 = 12^3;$

8) $a^7b^7 = (ab)^{14};$

9) $a^3b^2 = (ab)^6.$

1) В примере $a^4a^3 = a^{12}$ допущена ошибка. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели нужно складывать, а не умножать. Согласно свойству степеней: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Правильное решение: $a^4 a^3 = a^{4+3} = a^7$.
Ответ: $a^4a^3 = a^7$.

2) В примере $a \cdot a = 2a$ допущена ошибка. Умножение переменной самой на себя является возведением в квадрат. Выражение $2a$ является результатом сложения $a+a$.
Правильное решение: $a \cdot a = a^2$.
Ответ: $a \cdot a = a^2$.

3) В примере $(a^3)^2 = a^9$ допущена ошибка. При возведении степени в степень показатели перемножаются. Согласно свойству степеней: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Правильное решение: $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.
Ответ: $(a^3)^2 = a^6$.

4) В примере $3^2 \cdot 5^2 = 15^4$ допущена ошибка. При умножении степеней с одинаковыми показателями основания перемножаются, а показатель степени остается прежним. Согласно свойству степеней: $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$.
Правильное решение: $3^2 \cdot 5^2 = (3 \cdot 5)^2 = 15^2$.
Ответ: $3^2 \cdot 5^2 = 15^2$.

5) В примере $2^2 \cdot 7^3 = 14^5$ допущена ошибка. Нельзя перемножать основания и складывать показатели, если и основания, и показатели степеней различны. Упростить данное выражение, представив его в виде одной степени, невозможно. Его можно только вычислить.
Правильное решение: $2^2 \cdot 7^3 = 4 \cdot 343 = 1372$.
Ответ: Выражение $2^2 \cdot 7^3$ не может быть упрощено до вида $14^5$.

6) В примере $(2a)^4 = 8a^4$ допущена ошибка. При возведении произведения в степень нужно возвести в эту степень каждый множитель. Согласно свойству степеней: $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$.
Правильное решение: $(2a)^4 = 2^4 \cdot a^4 = 16a^4$.
Ответ: $(2a)^4 = 16a^4$.

7) В примере $3 \cdot 4^3 = 12^3$ допущена ошибка. Нарушен порядок действий. Сначала необходимо выполнить возведение в степень, а затем умножение. Умножать основание степени на число перед ней нельзя.
Правильное решение: $3 \cdot 4^3 = 3 \cdot 64 = 192$. Выражение $12^3$ равно $(3 \cdot 4)^3 = 1728$.
Ответ: $3 \cdot 4^3 = 192$.

8) В примере $a^7b^7 = (ab)^{14}$ допущена ошибка. При умножении степеней с одинаковыми показателями основания перемножаются, а показатель степени остается без изменений. Здесь же показатели были сложены.
Правильное решение: $a^7b^7 = (ab)^7$.
Ответ: $a^7b^7 = (ab)^7$.

9) В примере $a^3b^2 = (ab)^6$ допущена ошибка. Данное выражение нельзя упростить, так как у степеней разные и основания, и показатели. В примере неверно перемножили показатели степеней.
Правильное решение: Выражение $a^3b^2$ не может быть упрощено.
Ответ: Выражение $a^3b^2$ не может быть упрощено до вида $(ab)^6$.

303. Вместо звёздочки запишите такое выражение, чтобы выполнялось равенство:

1) $ (*)^4 = c^{20} $

2) $ (*)^2 = c^{14} $

3) $ (*)^n = c^{8n} $

4) $ (*)^7 = c^{7n} $

где $n$ – натуральное число.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством степени: при возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются. В общем виде это записывается так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

1) $(*)^4 = c^{20}$

Обозначим искомое выражение за $c^x$. Тогда равенство примет вид: $(c^x)^4 = c^{20}$.

Применяя свойство степени, получаем: $c^{x \cdot 4} = c^{20}$.

Чтобы равенство выполнялось, показатели степеней должны быть равны: $4x = 20$.

Отсюда находим $x$: $x = \frac{20}{4} = 5$.

Следовательно, вместо звёздочки нужно записать выражение $c^5$.

Проверка: $(c^5)^4 = c^{5 \cdot 4} = c^{20}$. Равенство выполняется.

Ответ: $c^5$.

2) $(*)^2 = c^{14}$

Пусть искомое выражение равно $c^x$. Тогда: $(c^x)^2 = c^{14}$.

Используя свойство возведения степени в степень, имеем: $c^{2x} = c^{14}$.

Приравниваем показатели: $2x = 14$.

Находим $x$: $x = \frac{14}{2} = 7$.

Таким образом, искомое выражение — это $c^7$.

Проверка: $(c^7)^2 = c^{7 \cdot 2} = c^{14}$. Равенство выполняется.

Ответ: $c^7$.

3) $(*)^n = c^{8n}$

Обозначим выражение в скобках как $c^x$. Получим равенство: $(c^x)^n = c^{8n}$.

По свойству степени: $c^{xn} = c^{8n}$.

Приравниваем показатели степеней: $xn = 8n$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $n$: $x = 8$.

Значит, вместо звёздочки должно стоять выражение $c^8$.

Проверка: $(c^8)^n = c^{8 \cdot n} = c^{8n}$. Равенство выполняется.

Ответ: $c^8$.

4) $(*)^7 = c^{7n}$

Пусть искомое выражение равно $c^x$. Тогда: $(c^x)^7 = c^{7n}$.

По свойству степени получаем: $c^{7x} = c^{7n}$.

Приравниваем показатели: $7x = 7n$.

Разделим обе части уравнения на 7: $x = n$.

Следовательно, искомое выражение — это $c^n$.

Проверка: $(c^n)^7 = c^{n \cdot 7} = c^{7n}$. Равенство выполняется.

Ответ: $c^n$.

304. Упростите выражение:

1) $-x \cdot x^2$;

2) $(-x)^2 \cdot x$;

3) $-x \cdot (-x)^2$;

4) $(-x) \cdot (-x)^2 \cdot (-x)$.

1) Для упрощения выражения $-x \cdot x^2$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Представим $-x$ как $-1 \cdot x^1$. Тогда получим:
$-x \cdot x^2 = (-1 \cdot x^1) \cdot x^2 = -1 \cdot (x^1 \cdot x^2) = -1 \cdot x^{1+2} = -x^3$.
Ответ: $-x^3$.

2) Сначала необходимо упростить множитель $(-x)^2$. При возведении отрицательного выражения в четную степень (в данном случае в квадрат), результат будет положительным.
$(-x)^2 = (-1 \cdot x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$.
Теперь умножим полученный результат на $x$ (который равен $x^1$):
$x^2 \cdot x = x^2 \cdot x^1 = x^{2+1} = x^3$.
Ответ: $x^3$.

3) В выражении $-x \cdot (-x)^2$ сначала упростим часть в скобках, возведенную в степень.
$(-x)^2 = x^2$.
Теперь подставим упрощенное значение обратно в исходное выражение:
$-x \cdot x^2 = -x^1 \cdot x^2 = -x^{1+2} = -x^3$.
Ответ: $-x^3$.

4) Для упрощения выражения $(-x) \cdot (-x)^2 \cdot (-x)$ можно использовать два подхода.
Первый способ: последовательно упростить и перемножить все множители.
$(-x)^2 = x^2$.
Выражение принимает вид: $(-x) \cdot x^2 \cdot (-x)$.
Сгруппируем множители: $((-x) \cdot (-x)) \cdot x^2$.
Произведение двух отрицательных множителей $(-x)$ дает положительный результат: $(-x) \cdot (-x) = x^2$.
Получаем: $x^2 \cdot x^2 = x^{2+2} = x^4$.
Второй способ: использовать свойства степеней с одинаковым основанием $(-x)$.
$(-x) \cdot (-x)^2 \cdot (-x) = (-x)^1 \cdot (-x)^2 \cdot (-x)^1$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$(-x)^{1+2+1} = (-x)^4$.
Поскольку показатель степени 4 является четным числом, минус при возведении в степень исчезает: $(-x)^4 = x^4$.
Ответ: $x^4$.

305. Упростите выражение:

1) $(-a)^2 \cdot a^3$;

2) $-a^2 \cdot a^3$;

3) $a^2 \cdot (-a)^3$;

4) $-a^2 \cdot (-a)^3$.

1) Для упрощения выражения $(-a)^2 \cdot a^3$ сначала возведем в степень первый множитель. Так как показатель степени 2 (четное число), то знак минус исчезает: $(-a)^2 = (-1 \cdot a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = a^2$.

Теперь выражение принимает вид: $a^2 \cdot a^3$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Следовательно, $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$.

Ответ: $a^5$.

2) В выражении $-a^2 \cdot a^3$ знак минус стоит перед произведением. В этом случае мы умножаем степени с одинаковым основанием, а результат будет с отрицательным знаком.

Используем свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$-a^2 \cdot a^3 = -(a^2 \cdot a^3) = -(a^{2+3}) = -a^5$.

Ответ: $-a^5$.

3) В выражении $a^2 \cdot (-a)^3$ сначала упростим второй множитель. Так как показатель степени 3 (нечетное число), знак минус сохраняется: $(-a)^3 = (-1 \cdot a)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 = -a^3$.

Теперь выражение выглядит так: $a^2 \cdot (-a^3)$.

При умножении положительного выражения на отрицательное, результат будет отрицательным:

$a^2 \cdot (-a^3) = -(a^2 \cdot a^3)$.

По свойству степеней $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$.

Таким образом, итоговый результат: $-a^5$.

Ответ: $-a^5$.

4) В выражении $-a^2 \cdot (-a)^3$ сначала упростим второй множитель. Так как степень нечетная, знак минус сохраняется: $(-a)^3 = -a^3$.

Теперь выражение становится: $-a^2 \cdot (-a^3)$.

Произведение двух отрицательных выражений дает положительное выражение (минус на минус дает плюс):

$-a^2 \cdot (-a^3) = a^2 \cdot a^3$.

Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием:

$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$.

Ответ: $a^5$.

306. Упростите выражение:

1) $ \left(-a^5\right)^2; $

2) $ \left(-a^3\right)^3; $

3) $ \left(-a^4\right)^7 \cdot \left(-a^2\right)^6. $

1) Чтобы упростить выражение $(-a^5)^2$, необходимо использовать свойства степеней. Поскольку показатель степени 2 является четным числом, знак минус перед основанием степени убирается.
$(-a^5)^2 = (a^5)^2$
Далее, по свойству возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, перемножаем показатели:
$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$
Ответ: $a^{10}$

2) Чтобы упростить выражение $(-a^3)^3$, также используем свойства степеней. В этом случае показатель степени 3 является нечетным числом, поэтому знак минус сохраняется.
$(-a^3)^3 = -(a^3)^3$
Используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:
$-(a^3)^3 = -a^{3 \cdot 3} = -a^9$
Ответ: $-a^9$

3) Для упрощения выражения $(-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6$ сначала упростим каждый множитель отдельно.
Первый множитель $(-a^4)^7$. Степень 7 нечетная, поэтому знак минус сохраняется:
$(-a^4)^7 = -a^{4 \cdot 7} = -a^{28}$
Второй множитель $(-a^2)^6$. Степень 6 четная, поэтому знак минус убирается:
$(-a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}$
Теперь перемножим полученные выражения. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ их показатели складываются:
$(-a^{28}) \cdot (a^{12}) = - (a^{28} \cdot a^{12}) = -a^{28+12} = -a^{40}$
Ответ: $-a^{40}$

307. Упростите выражение:

1) $(-a^6)^5)^9$

2) $((−a^{11})^2)^3$

1) Чтобы упростить выражение $ ((-a^6)^5)^9 $, будем последовательно применять свойства степеней.

Сначала воспользуемся свойством возведения степени в степень: $ (x^m)^n = x^{mn} $. В нашем случае $ x = (-a^6) $, $ m = 5 $, $ n = 9 $.
$ ((-a^6)^5)^9 = (-a^6)^{5 \cdot 9} = (-a^6)^{45} $
Теперь раскроем скобки. Выражение $ (-a^6)^{45} $ означает, что мы возводим в 45-ю степень произведение $ (-1) \cdot a^6 $.
$ (-a^6)^{45} = ((-1) \cdot a^6)^{45} = (-1)^{45} \cdot (a^6)^{45} $
Поскольку 45 — нечетное число, $ (-1)^{45} = -1 $.
Снова применим свойство возведения степени в степень для $ (a^6)^{45} $:
$ (a^6)^{45} = a^{6 \cdot 45} = a^{270} $
Собираем все вместе:
$ (-1) \cdot a^{270} = -a^{270} $
Ответ: $ -a^{270} $

2) Упростим выражение $ ((-a^{11})^2)^3 $, используя те же свойства степеней.

Применим свойство $ (x^m)^n = x^{mn} $ для всего выражения. Здесь $ x = (-a^{11}) $, $ m = 2 $, $ n = 3 $.
$ ((-a^{11})^2)^3 = (-a^{11})^{2 \cdot 3} = (-a^{11})^6 $
Теперь раскроем скобки. Выражение $ (-a^{11})^6 $ — это произведение $ (-1) \cdot a^{11} $, возведенное в 6-ю степень.
$ (-a^{11})^6 = ((-1) \cdot a^{11})^6 = (-1)^6 \cdot (a^{11})^6 $
Поскольку 6 — четное число, $ (-1)^6 = 1 $.
Применим свойство возведения степени в степень для $ (a^{11})^6 $:
$ (a^{11})^6 = a^{11 \cdot 6} = a^{66} $
Собираем все вместе:
$ 1 \cdot a^{66} = a^{66} $
Ответ: $ a^{66} $

308. Представьте степень $a^7$ в виде произведения двух степеней с основаниями $a$ всеми возможными способами.

Чтобы представить степень $a^7$ в виде произведения двух степеней с основанием $a$, мы используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Таким образом, наша задача сводится к нахождению всех пар натуральных чисел $m$ и $n$, сумма которых равна 7. Мы ищем представления для $m+n=7$.

Перечислим все возможные пары натуральных чисел и соответствующие им произведения. Условие "всеми возможными способами" предполагает, что мы должны учесть и различный порядок множителей (например, $a^1 \cdot a^6$ и $a^6 \cdot a^1$ считаются двумя разными способами).

1. Если первый показатель $m=1$, то второй $n=6$, так как $1+6=7$. Получаем произведение: $a^1 \cdot a^6$.
2. Если первый показатель $m=2$, то второй $n=5$, так как $2+5=7$. Получаем произведение: $a^2 \cdot a^5$.
3. Если первый показатель $m=3$, то второй $n=4$, так как $3+4=7$. Получаем произведение: $a^3 \cdot a^4$.
4. Если первый показатель $m=4$, то второй $n=3$, так как $4+3=7$. Получаем произведение: $a^4 \cdot a^3$.
5. Если первый показатель $m=5$, то второй $n=2$, так как $5+2=7$. Получаем произведение: $a^5 \cdot a^2$.
6. Если первый показатель $m=6$, то второй $n=1$, так как $6+1=7$. Получаем произведение: $a^6 \cdot a^1$.

Других способов представить число 7 в виде суммы двух натуральных чисел нет, следовательно, мы перечислили все возможные варианты.

Ответ: $a^1 \cdot a^6$; $a^2 \cdot a^5$; $a^3 \cdot a^4$; $a^4 \cdot a^3$; $a^5 \cdot a^2$; $a^6 \cdot a^1$.

309. Представьте в виде степени выражение:

1) $a^4a^5$;

2) $aa^n$;

3) $a^3a^n$;

4) $(a^3)^n$;

5) $(a^n)^2 \cdot (a^5)^n$,

где $n$ – натуральное число.

1) Для того чтобы представить произведение степеней $a^n$ и $a^5$ в виде одной степени, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием. Правило гласит: при умножении степеней с одинаковым основанием их основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Математически это записывается так: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.
Применяя это правило к выражению $a^n a^5$, получаем:
$a^n \cdot a^5 = a^{n+5}$
Ответ: $a^{n+5}$

2) В выражении $a a^n$ необходимо перемножить $a$ и $a^n$. Следует помнить, что любое число или переменная без явно указанного показателя степени находится в первой степени, то есть $a = a^1$.
Используя то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), получаем:
$a \cdot a^n = a^1 \cdot a^n = a^{1+n}$
Ответ: $a^{1+n}$

3) Выражение $a^3 a^n$ также представляет собой произведение двух степеней с одинаковым основанием $a$. Для его упрощения мы снова применяем правило сложения показателей при умножении степеней: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.
В данном случае:
$a^3 \cdot a^n = a^{3+n}$
Ответ: $a^{3+n}$

4) В этом задании нужно возвести степень в степень. Для этого существует правило: при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются. Формула этого свойства: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.
Применяя это правило к выражению $(a^3)^n$, получаем:
$(a^3)^n = a^{3 \cdot n} = a^{3n}$
Ответ: $a^{3n}$

5) Это выражение является произведением двух степеней, каждая из которых, в свою очередь, возводится в степень. Сначала упростим каждый из множителей по отдельности, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.
Упрощаем первый множитель: $(a^n)^2 = a^{n \cdot 2} = a^{2n}$.
Упрощаем второй множитель: $(a^5)^n = a^{5 \cdot n} = a^{5n}$.
Теперь исходное выражение имеет вид $a^{2n} \cdot a^{5n}$. Далее применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$):
$a^{2n} \cdot a^{5n} = a^{2n + 5n} = a^{7n}$
Ответ: $a^{7n}$

310. Представьте в виде степени выражение:

1) $2^4 \cdot 2^4$;

2) $2^4 + 2^4$;

3) $2^n \cdot 2^n$;

4) $2^n + 2^n$,

где $n$ — натуральное число.

1) Чтобы представить произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание $a=2$, а показатели степеней $m=4$ и $n=4$. Применяя это свойство, получаем: $2^4 \cdot 2^4 = 2^{4+4} = 2^8$.
Ответ: $2^8$

2) В данном выражении мы имеем сумму двух одинаковых слагаемых. Можно вынести общий множитель $2^4$ за скобки: $2^4 + 2^4 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^4 = (1+1) \cdot 2^4 = 2 \cdot 2^4$. Теперь представим число 2 как степень с основанием 2, то есть $2 = 2^1$. Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. $2^1 \cdot 2^4 = 2^{1+4} = 2^5$.
Ответ: $2^5$

3) Здесь, как и в первом пункте, мы имеем произведение степеней с одинаковым основанием. Воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В этом выражении основание $a=2$, а показатели степеней равны $n$. $2^n \cdot 2^n = 2^{n+n} = 2^{2n}$.
Ответ: $2^{2n}$

4) Это выражение является суммой двух одинаковых слагаемых, как и во втором пункте. Вынесем общий множитель $2^n$ за скобки: $2^n + 2^n = (1+1) \cdot 2^n = 2 \cdot 2^n$. Представим 2 как $2^1$ и применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $2^1 \cdot 2^n = 2^{1+n} = 2^{n+1}$.
Ответ: $2^{n+1}$