Страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

325. Замените звёздочку такой степенью, чтобы образовалось верное равенство:

1) $8 \cdot * = 2^8$;

2) $a^n \cdot * = a^{3n+2}$, где $n$ – натуральное число.

1) Чтобы найти степень, которую нужно подставить вместо звёздочки в равенстве $8 \cdot * = 2^8$, обозначим эту искомую степень за $x$. Уравнение примет вид: $8 \cdot x = 2^8$.

Для начала представим число 8 как степень с основанием 2. Мы знаем, что $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, следовательно, $8 = 2^3$.

Теперь подставим это в наше уравнение:

$2^3 \cdot x = 2^8$

Чтобы найти $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $2^3$.

$x = \frac{2^8}{2^3}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$x = 2^{8-3} = 2^5$

Таким образом, звёздочку нужно заменить на $2^5$.

Выполним проверку: $8 \cdot 2^5 = 2^3 \cdot 2^5$. Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем $2^{3+5} = 2^8$. Равенство верно.

Ответ: $2^5$

2) Рассмотрим второе равенство: $a^n \cdot * = a^{3n+2}$, где $n$ — натуральное число. Снова обозначим искомую степень за $x$. Получаем уравнение: $a^n \cdot x = a^{3n+2}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $a^n$ (предполагая, что $a \neq 0$).

$x = \frac{a^{3n+2}}{a^n}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$.

$x = a^{(3n+2) - n}$

Упростим выражение в показателе степени:

$x = a^{3n - n + 2} = a^{2n+2}$

Значит, вместо звёздочки нужно подставить степень $a^{2n+2}$.

Выполним проверку: $a^n \cdot a^{2n+2} = a^{n + (2n+2)} = a^{n+2n+2} = a^{3n+2}$. Равенство верно.

Ответ: $a^{2n+2}$

326. Запишите выражение $3^{24}$ в виде степени с основанием:

1) $3^8$;

2) $3^{12}$;

3) 9;

4) 81.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством степени: при возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остается прежним. Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

1) $3^3$

Требуется представить $3^{24}$ в виде степени с основанием $3^3$. Обозначим искомый показатель степени за $x$, тогда наше выражение примет вид $(3^3)^x$.

Используя свойство степени, получаем: $(3^3)^x = 3^{3 \cdot x}$.

Приравняем это выражение к исходному: $3^{3x} = 3^{24}$.

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$3x = 24$

$x = \frac{24}{3}$

$x = 8$

Таким образом, $3^{24} = (3^3)^8$.

Ответ: $(3^3)^8$.

2) $3^{12}$

Представим $3^{24}$ в виде степени с основанием $3^{12}$. Пусть искомый показатель степени равен $x$, тогда выражение будет $(3^{12})^x$.

По свойству степени: $(3^{12})^x = 3^{12 \cdot x}$.

Приравняем к исходному выражению: $3^{12x} = 3^{24}$.

Приравниваем показатели:

$12x = 24$

$x = \frac{24}{12}$

$x = 2$

Следовательно, $3^{24} = (3^{12})^2$.

Ответ: $(3^{12})^2$.

3) 9

Требуется представить $3^{24}$ в виде степени с основанием 9. Сначала выразим основание 9 через степень числа 3:

$9 = 3^2$

Теперь искомое выражение можно записать как $(9)^x = (3^2)^x$.

По свойству степени: $(3^2)^x = 3^{2 \cdot x}$.

Приравняем к исходному выражению: $3^{2x} = 3^{24}$.

Приравниваем показатели:

$2x = 24$

$x = \frac{24}{2}$

$x = 12$

Значит, $3^{24} = (3^2)^{12} = 9^{12}$.

Ответ: $9^{12}$.

4) 81

Представим $3^{24}$ в виде степени с основанием 81. Выразим основание 81 через степень числа 3:

$81 = 3^4$

Искомое выражение запишется как $(81)^x = (3^4)^x$.

По свойству степени: $(3^4)^x = 3^{4 \cdot x}$.

Приравняем к исходному выражению: $3^{4x} = 3^{24}$.

Приравниваем показатели:

$4x = 24$

$x = \frac{24}{4}$

$x = 6$

Значит, $3^{24} = (3^4)^6 = 81^6$.

Ответ: $81^6$.

327. Запишите выражение $2^{48}$ в виде степени с основанием:

1) $2^4$;

2) $2^{16}$;

3) 8;

4) 64.

1) Чтобы представить выражение $2^{48}$ в виде степени с основанием $2^4$, необходимо найти такой показатель степени $x$, что $(2^4)^x = 2^{48}$. Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, мы получаем равенство $2^{4 \cdot x} = 2^{48}$. Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны: $4x = 48$. Отсюда находим $x = \frac{48}{4} = 12$. Следовательно, искомое выражение имеет вид $(2^4)^{12}$.
Ответ: $(2^4)^{12}$.

2) Аналогично, чтобы представить $2^{48}$ в виде степени с основанием $2^{16}$, ищем такой показатель $x$, что $(2^{16})^x = 2^{48}$. Применяя свойство степени, получаем $2^{16 \cdot x} = 2^{48}$. Из равенства показателей следует $16x = 48$. Решая уравнение, находим $x = \frac{48}{16} = 3$. Таким образом, выражение можно записать как $(2^{16})^3$.
Ответ: $(2^{16})^3$.

3) Для того чтобы представить $2^{48}$ в виде степени с основанием $8$, сначала выразим основание $8$ через степень числа $2$. Мы знаем, что $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Теперь задача сводится к поиску такого показателя $x$, что $8^x = 2^{48}$. Заменив $8$ на $2^3$, получим $(2^3)^x = 2^{48}$. По свойству степени, это эквивалентно $2^{3 \cdot x} = 2^{48}$. Приравниваем показатели: $3x = 48$. Отсюда $x = \frac{48}{3} = 16$. Значит, искомое выражение – это $8^{16}$.
Ответ: $8^{16}$.

4) Чтобы представить $2^{48}$ в виде степени с основанием $64$, представим $64$ как степень числа $2$. Поскольку $64 = 8^2 = (2^3)^2 = 2^6$. Мы ищем такой показатель $x$, что $64^x = 2^{48}$. Подставляем $64 = 2^6$ и получаем $(2^6)^x = 2^{48}$. Используя свойство возведения степени в степень, имеем $2^{6 \cdot x} = 2^{48}$. Приравнивая показатели, получаем уравнение $6x = 48$. Решение этого уравнения: $x = \frac{48}{6} = 8$. Следовательно, выражение можно записать как $64^8$.
Ответ: $64^8$.

328. Решите уравнение:

1) $x^7 = 6^{14}$,

2) $x^4 = 5^{12}$.

1)

Дано уравнение $x^7 = 6^{14}$.

Чтобы решить это уравнение, необходимо привести правую часть к степени с таким же показателем, как и у левой части, то есть к 7. Воспользуемся свойством степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Представим показатель степени 14 как произведение $2 \cdot 7$:

$6^{14} = 6^{2 \cdot 7} = (6^2)^7$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$6^2 = 36$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$x^7 = 36^7$

Поскольку показатели степени (7) в обеих частях уравнения равны и являются нечетным числом, то основания степеней также должны быть равны.

$x = 36$

Ответ: $36$.

2)

Дано уравнение $x^4 = 5^{12}$.

Аналогично первому пункту, приведем правую часть уравнения к степени с показателем 4.

Представим показатель 12 как произведение $3 \cdot 4$:

$5^{12} = 5^{3 \cdot 4} = (5^3)^4$

Вычислим значение $5^3$:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Теперь уравнение принимает вид:

$x^4 = 125^4$

В этом случае показатель степени (4) является четным числом. Для уравнения вида $a^{2k} = b^{2k}$ (где $b > 0$) решениями являются $a = b$ и $a = -b$. Это связано с тем, что любое число, возведенное в четную степень, дает положительный результат. Например, $(-125)^4 = 125^4$.

Следовательно, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 125$

$x_2 = -125$

Ответ: $\pm 125$.

329. Сравните значения выражений:

1) $2^{300}$ и $3^{200}$; 2) $4^{18}$ и $18^{9}$; 3) $27^{20}$ и $11^{30}$; 4) $3^{10} \cdot 5^{8}$ и $15^{9}$.

1) Сравним $2^{300}$ и $3^{200}$.

Чтобы сравнить эти степени, приведем их к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей 300 и 200 равен 100.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, представим каждое выражение в виде степени с показателем 100:

$2^{300} = 2^{3 \cdot 100} = (2^3)^{100} = 8^{100}$

$3^{200} = 3^{2 \cdot 100} = (3^2)^{100} = 9^{100}$

Теперь задача сводится к сравнению $8^{100}$ и $9^{100}$. Поскольку показатели степеней одинаковы, а основания являются положительными числами, то больше та степень, у которой больше основание.

Сравниваем основания: $8 < 9$.

Следовательно, $8^{100} < 9^{100}$, а это значит, что $2^{300} < 3^{200}$.

Ответ: $2^{300} < 3^{200}$.

2) Сравним $4^{18}$ и $18^9$.

Приведем степени к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей 18 и 9 равен 9. Представим $4^{18}$ в виде степени с показателем 9:

$4^{18} = 4^{2 \cdot 9} = (4^2)^9 = 16^9$

Теперь сравним полученное выражение $16^9$ с $18^9$.

Так как показатели степеней равны (9), а основания положительны, сравниваем основания: $16 < 18$.

Следовательно, $16^9 < 18^9$, что означает $4^{18} < 18^9$.

Ответ: $4^{18} < 18^9$.

3) Сравним $27^{20}$ и $11^{30}$.

Приведем степени к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей 20 и 30 равен 10.

Представим оба выражения в виде степени с показателем 10:

$27^{20} = 27^{2 \cdot 10} = (27^2)^{10} = 729^{10}$

$11^{30} = 11^{3 \cdot 10} = (11^3)^{10} = 1331^{10}$

Теперь сравним $729^{10}$ и $1331^{10}$. Показатели степеней равны (10), поэтому нам достаточно сравнить основания.

Сравниваем основания: $729 < 1331$.

Следовательно, $729^{10} < 1331^{10}$, а значит $27^{20} < 11^{30}$.

Ответ: $27^{20} < 11^{30}$.

4) Сравним $3^{10} \cdot 5^8$ и $15^9$.

Преобразуем оба выражения для удобства сравнения. Заметим, что $15 = 3 \cdot 5$.

Преобразуем первое выражение, выделив множитель $15^8$:

$3^{10} \cdot 5^8 = 3^{2+8} \cdot 5^8 = 3^2 \cdot 3^8 \cdot 5^8 = 9 \cdot (3 \cdot 5)^8 = 9 \cdot 15^8$

Преобразуем второе выражение:

$15^9 = 15^{1+8} = 15^1 \cdot 15^8 = 15 \cdot 15^8$

Теперь нам нужно сравнить $9 \cdot 15^8$ и $15 \cdot 15^8$.

Так как $15^8$ — это общий положительный множитель, мы можем сравнить коэффициенты перед ним: $9$ и $15$.

Поскольку $9 < 15$, то и $9 \cdot 15^8 < 15 \cdot 15^8$.

Следовательно, $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$.

Ответ: $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$.

330. Сравните значения выражений:

1) $10^{40}$ и $10001^{10}$.

2) $124^4$ и $5^{12}$.

3) $8^{12}$ и $59^6$.

4) $6^{14}$ и $2^{16} \cdot 3^{12}$.

1) Чтобы сравнить выражения $10^{40}$ и $10001^{10}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 40 и 10 равен 10.
Представим первое выражение в виде степени с показателем 10:
$10^{40} = 10^{4 \cdot 10} = (10^4)^{10}$.
Вычислим основание: $10^4 = 10000$.
Таким образом, мы сравниваем два числа: $(10000)^{10}$ и $10001^{10}$.
Так как показатели степеней одинаковы и равны 10, достаточно сравнить основания.
Сравниваем основания: $10000 < 10001$.
Следовательно, $(10000)^{10} < 10001^{10}$, а значит, $10^{40} < 10001^{10}$.
Ответ: $10^{40} < 10001^{10}$.

2) Для сравнения выражений $124^4$ и $5^{12}$ приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 4 и 12 равен 4.
Представим второе выражение в виде степени с показателем 4:
$5^{12} = 5^{3 \cdot 4} = (5^3)^4$.
Вычислим основание: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Теперь сравним выражения $124^4$ и $125^4$.
Поскольку показатели степеней одинаковы, сравниваем их основания.
$124 < 125$.
Следовательно, $124^4 < 125^4$, а значит, $124^4 < 5^{12}$.
Ответ: $124^4 < 5^{12}$.

3) Чтобы сравнить $8^{12}$ и $59^6$, приведем их к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей 12 и 6 равен 6.
Преобразуем первое выражение:
$8^{12} = 8^{2 \cdot 6} = (8^2)^6$.
Вычислим основание: $8^2 = 64$.
Теперь нам нужно сравнить $64^6$ и $59^6$.
Так как показатели степеней равны, сравним основания.
$64 > 59$.
Поэтому $64^6 > 59^6$, а значит, $8^{12} > 59^6$.
Ответ: $8^{12} > 59^6$.

4) Для сравнения выражений $6^{14}$ и $2^{16} \cdot 3^{12}$ разложим основания на простые множители.
Первое выражение: $6^{14} = (2 \cdot 3)^{14} = 2^{14} \cdot 3^{14}$.
Теперь сравним $2^{14} \cdot 3^{14}$ и $2^{16} \cdot 3^{12}$.
Чтобы упростить сравнение, разделим оба выражения на их общую часть $2^{14} \cdot 3^{12}$ (это положительное число, поэтому знак неравенства не изменится).
Результат деления первого выражения:
$\frac{2^{14} \cdot 3^{14}}{2^{14} \cdot 3^{12}} = 3^{14-12} = 3^2 = 9$.
Результат деления второго выражения:
$\frac{2^{16} \cdot 3^{12}}{2^{14} \cdot 3^{12}} = 2^{16-14} = 2^2 = 4$.
Сравниваем полученные результаты: $9 > 4$.
Это означает, что первое исходное выражение больше второго.
Следовательно, $6^{14} > 2^{16} \cdot 3^{12}$.
Ответ: $6^{14} > 2^{16} \cdot 3^{12}$.

331. Известно, что сумма $625 + 625 + ... + 625$ равна $5^{101}$. Сколько слагаемых в этой сумме?

Пусть n — это искомое количество слагаемых в сумме. Сумму одинаковых слагаемых можно представить как произведение этого слагаемого на их количество. Таким образом, условие задачи можно записать в виде уравнения:

$n \cdot 625 = 5^{101}$

Для решения этого уравнения представим число 625 в виде степени с основанием 5. Мы знаем, что:

$5^2 = 25$

$5^3 = 125$

$5^4 = 625$

Теперь подставим $5^4$ вместо 625 в наше уравнение:

$n \cdot 5^4 = 5^{101}$

Чтобы найти n, разделим обе части уравнения на $5^4$:

$n = \frac{5^{101}}{5^4}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (согласно свойству степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$). Применим это правило:

$n = 5^{101 - 4}$

$n = 5^{97}$

Таким образом, в сумме содержится $5^{97}$ слагаемых.

Ответ: $5^{97}$

332. Какой цифрой оканчивается значение выражения ($n$ — натуральное число):

1) $4^{100}$.

2) $3^{4n}$.

3) $4^n$.

4) $3^n$?

1) 4¹⁰⁰

Чтобы определить последнюю цифру значения выражения, найдём закономерность в последних цифрах степеней числа 4.
$4^1 = 4$
$4^2 = 16$ (оканчивается на 6)
$4^3 = 64$ (оканчивается на 4)
$4^4 = 256$ (оканчивается на 6)
Можно заметить, что последние цифры степеней числа 4 циклически повторяются: (4, 6). Если показатель степени является нечётным числом, то последняя цифра равна 4. Если показатель степени является чётным числом, то последняя цифра равна 6.
В выражении $4^{100}$ показатель степени 100 — это чётное число, следовательно, значение выражения оканчивается на 6.
Ответ: 6.

2) 3⁴ⁿ

В условии, по всей видимости, допущена опечатка и вместо $34n$ имелось в виду выражение $3^{4n}$, поскольку для $34n$ последняя цифра зависит от выбора натурального числа $n$ и не является постоянной. Решим задачу для выражения $3^{4n}$.
Найдем закономерность в последних цифрах степеней числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)
Последние цифры (3, 9, 7, 1) повторяются с периодом 4.
Показатель степени в выражении $3^{4n}$ равен $4n$. Так как $n$ — натуральное число, показатель $4n$ всегда будет кратен 4. Это означает, что последняя цифра выражения $3^{4n}$ будет такой же, как у $3^4$, то есть 1.
Ответ: 1.

3) 4ⁿ

Как было показано в решении пункта 1, последняя цифра степеней числа 4 зависит от чётности показателя степени $n$.
Если $n$ — нечётное число (например, $1, 3, 5, \dots$), то $4^n$ оканчивается на 4.
Если $n$ — чётное число (например, $2, 4, 6, \dots$), то $4^n$ оканчивается на 6.
Поскольку $n$ может быть любым натуральным числом, однозначного ответа, не зависящего от $n$, не существует.
Ответ: 4 (если $n$ нечётное) или 6 (если $n$ чётное).

4) 3ⁿ

Как было показано в решении пункта 2, последние цифры степеней числа 3 повторяются с циклом (3, 9, 7, 1) длиной 4.
Последняя цифра выражения $3^n$ зависит от остатка от деления $n$ на 4:
• если $n$ при делении на 4 даёт в остатке 1 (т.е. $n=4k+1$), последняя цифра — 3;
• если $n$ при делении на 4 даёт в остатке 2 (т.е. $n=4k+2$), последняя цифра — 9;
• если $n$ при делении на 4 даёт в остатке 3 (т.е. $n=4k+3$), последняя цифра — 7;
• если $n$ делится на 4 без остатка (т.е. $n=4k$), последняя цифра — 1.
Поскольку $n$ может быть любым натуральным числом, однозначного ответа, не зависящего от $n$, не существует.
Ответ: 3, 9, 7 или 1, в зависимости от остатка от деления $n$ на 4.

333. Какой цифрой оканчивается значение выражения ($n$ - натуральное число):

1) $9^{2n}$,

2) $7^{4n}$,

3) $7^{2n}$?

1) 9²ⁿ

Чтобы найти последнюю цифру значения выражения, проанализируем, какими цифрами оканчиваются степени числа 9.
$9^1 = 9$
$9^2 = 81$
$9^3 = 729$
$9^4 = 6561$
Видно, что если показатель степени — нечетное число, то последняя цифра — 9, а если четное — то 1. В выражении $9^{2n}$ показатель степени $2n$ всегда является четным числом для любого натурального $n$ ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, значение выражения всегда оканчивается на 1.
Также можно преобразовать выражение: $9^{2n} = (9^2)^n = 81^n$. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1.

Ответ: 1.

2) 7⁴ⁿ

Рассмотрим, какими цифрами оканчиваются степени числа 7.
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343$
$7^4 = 2401$
Последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом в 4 шага: 7, 9, 3, 1. Показатель степени в выражении $7^{4n}$ равен $4n$. Поскольку $n$ — натуральное число, $4n$ всегда кратно 4. Это означает, что мы всегда будем попадать на четвертый элемент цикла (соответствующий степени, кратной 4), то есть на 1.
Альтернативно: $7^{4n} = (7^4)^n = 2401^n$. Так как 2401 оканчивается на 1, любая его натуральная степень также будет оканчиваться на 1.

Ответ: 1.

3) 7²ⁿ

Как и в предыдущем пункте, последние цифры степеней числа 7 повторяются в цикле (7, 9, 3, 1). Показатель степени в данном выражении — $2n$. Здесь последняя цифра зависит от четности самого числа $n$.
1. Если $n$ — нечетное число (например, 1, 3, 5, ...), то показатель $2n$ будет равен 2, 6, 10, ... . Эти числа при делении на 4 дают в остатке 2. Следовательно, последняя цифра будет такой же, как у $7^2$, то есть 9.
2. Если $n$ — четное число (например, 2, 4, 6, ...), то показатель $2n$ будет равен 4, 8, 12, ... . Эти числа кратны 4. Следовательно, последняя цифра будет такой же, как у $7^4$, то есть 1.
Таким образом, для данного выражения не существует одной-единственной последней цифры, которая была бы верна для любого натурального $n$. Ответ зависит от четности $n$.

Ответ: 9, если $n$ — нечетное число; 1, если $n$ — четное число.

334. Докажите, что значение выражения:

1) $17^8 + 19$ делится нацело на 10;

2) $64^{64} - 1$ делится нацело на 5;

3) $3^{4n} + 14$, где $n$ – натуральное число, делится нацело на 5.

1) Чтобы доказать, что значение выражения делится на 10, достаточно показать, что его последняя цифра равна 0. Для этого найдем последнюю цифру каждого слагаемого.

Последняя цифра значения степени зависит только от последней цифры основания. Поэтому последняя цифра числа $17^8$ такая же, как у числа $7^8$.

Найдем закономерность для последних цифр степеней числа 7:
$7^1$ оканчивается на 7;
$7^2 = 49$ оканчивается на 9;
$7^3 = 343$ оканчивается на 3;
$7^4 = 2401$ оканчивается на 1;
$7^5 = 16807$ оканчивается на 7.
Последовательность последних цифр (7, 9, 3, 1) циклична с периодом 4.

Чтобы найти последнюю цифру $7^8$, нужно определить, на каком месте в цикле она находится. Для этого разделим показатель степени 8 на длину цикла 4: $8 \div 4 = 2$ (остаток 0). Остаток 0 означает, что последняя цифра совпадает с последней цифрой в цикле, то есть с цифрой 1. Таким образом, $17^8$ оканчивается на 1.

Число 19 оканчивается на 9. Следовательно, сумма $17^8 + 19$ оканчивается на ту же цифру, что и сумма $1 + 9 = 10$, то есть на 0. Поскольку последняя цифра значения выражения равна 0, оно делится на 10 нацело.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения делится на 5, достаточно показать, что его последняя цифра равна 0 или 5.

Найдем последнюю цифру числа $64^{64}$. Она совпадает с последней цифрой числа $4^{64}$.

Рассмотрим последние цифры степеней числа 4:
$4^1$ оканчивается на 4;
$4^2 = 16$ оканчивается на 6;
$4^3 = 64$ оканчивается на 4.
Последние цифры циклически чередуются (4, 6). Если показатель степени нечетный, последняя цифра — 4, если четный — 6.

Поскольку показатель степени 64 — четное число, то число $64^{64}$ оканчивается на 6.

Тогда значение выражения $64^{64} - 1$ оканчивается на ту же цифру, что и разность $6 - 1 = 5$. Поскольку последняя цифра значения выражения равна 5, оно делится на 5 нацело.
Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что выражение $3^{4n} + 14$ делится на 5 при любом натуральном $n$, найдем последнюю цифру его значения.

Преобразуем выражение, используя свойство степеней: $3^{4n} = (3^4)^n$.

Вычислим значение $3^4$: $3^4 = 81$. Тогда выражение принимает вид: $81^n + 14$.

Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. Следовательно, при любом натуральном $n$ число $81^n$ оканчивается на 1.

Число 14 оканчивается на 4.

Следовательно, сумма $81^n + 14$ оканчивается на ту же цифру, что и сумма $1 + 4 = 5$. Поскольку последняя цифра значения выражения равна 5, оно делится на 5 нацело при любом натуральном значении $n$.
Ответ: Доказано.

335. Докажите, что значение выражения:

1) $4^{40} - 1$;

2) $2004^{171} + 171^{2004}$

делится нацело на 5.

1)

Чтобы доказать, что значение выражения $4^{40} - 1$ делится нацело на 5, найдем последнюю цифру этого значения. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.

Сначала определим последнюю цифру числа $4^{40}$. Для этого посмотрим на последние цифры первых нескольких степеней числа 4:

$4^1 = 4$

$4^2 = 16$ (оканчивается на 6)

$4^3 = 64$ (оканчивается на 4)

$4^4 = 256$ (оканчивается на 6)

Можно заметить, что последняя цифра степеней числа 4 циклически повторяется. Если показатель степени — нечетное число, то последняя цифра равна 4. Если показатель степени — четное число, то последняя цифра равна 6.

Поскольку в выражении $4^{40}$ показатель степени 40 является четным числом, то число $4^{40}$ оканчивается на 6.

Теперь найдем последнюю цифру значения выражения $4^{40} - 1$. Это будет последняя цифра разности числа, оканчивающегося на 6, и числа 1. Эта разность оканчивается на $6 - 1 = 5$.

Так как значение выражения оканчивается на 5, оно делится нацело на 5.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы доказать, что значение выражения $2004^{171} + 171^{2004}$ делится нацело на 5, найдем последнюю цифру этого значения. Воспользуемся тем же свойством делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5.

Найдем последнюю цифру каждого слагаемого в отдельности.

1. Последняя цифра числа $2004^{171}$ определяется последней цифрой его основания, то есть 4. Как мы установили в пункте 1, степень числа 4 с нечетным показателем (171 — нечетное число) оканчивается на 4.

2. Последняя цифра числа $171^{2004}$ определяется последней цифрой его основания, то есть 1. Любая натуральная степень числа, которое оканчивается на 1, также будет оканчиваться на 1. Следовательно, число $171^{2004}$ оканчивается на 1.

Теперь найдем последнюю цифру суммы $2004^{171} + 171^{2004}$. Для этого сложим последние цифры слагаемых: $4 + 1 = 5$.

Поскольку значение всего выражения оканчивается на 5, оно делится нацело на 5.

Ответ: Доказано.

336. Докажите, что $48^{25} < 344^{17}$.

Для доказательства неравенства $48^{25} < 344^{17}$ воспользуемся методом сравнения через промежуточные значения. Мы найдем удобные степени числа 7, которые будут ограничивать левую и правую части неравенства.

1. Рассмотрим левую часть неравенства: $48^{25}$.

Заметим, что число 48 близко к числу 49, которое является точным квадратом числа 7 ($49 = 7^2$).

Поскольку $48 < 49$, то при возведении в положительную степень 25 знак неравенства сохранится:

$48^{25} < 49^{25}$

Теперь преобразуем правую часть полученного неравенства, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$49^{25} = (7^2)^{25} = 7^{2 \cdot 25} = 7^{50}$

Таким образом, мы установили первое важное соотношение: $48^{25} < 7^{50}$.

2. Рассмотрим правую часть исходного неравенства: $344^{17}$.

Заметим, что число 344 близко к числу 343, которое является точным кубом числа 7 ($343 = 7^3$).

Поскольку $344 > 343$, то при возведении в положительную степень 17 знак неравенства также сохранится:

$344^{17} > 343^{17}$

Преобразуем правую часть этого неравенства:

$343^{17} = (7^3)^{17} = 7^{3 \cdot 17} = 7^{51}$

Таким образом, мы установили второе важное соотношение: $344^{17} > 7^{51}$.

3. Сопоставим полученные результаты.

Мы имеем два неравенства:

$48^{25} < 7^{50}$

$7^{51} < 344^{17}$

Теперь сравним между собой степени $7^{50}$ и $7^{51}$. Так как основание степени $7 > 1$, то чем больше показатель степени, тем больше значение. Поскольку $50 < 51$, то:

$7^{50} < 7^{51}$

Наконец, объединим все полученные неравенства в одну общую цепочку:

$48^{25} < 7^{50} < 7^{51} < 344^{17}$

Из этой цепочки неравенств следует, что левая часть ($48^{25}$) строго меньше правой части ($344^{17}$), что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

337. (Задача из русского фольклора) Кум Иван спросил у кума Степана: «Сколько у тебя уток?» Кум Степан ответил: «Уток у меня столько, что как высидят они мне ещё столько утят, да ещё куплю одну утку, да ещё трижды куплю столько, сколько этих уток и утят, то всего будет их у меня 100». Сколько уток было у кума Степана?

Для решения этой задачи давайте обозначим первоначальное количество уток у кума Степана переменной $x$.

Теперь последовательно разберем условие, чтобы составить математическое уравнение. Ответ Степана можно разбить на несколько этапов увеличения количества птиц:

1. В самом начале у Степана было $x$ уток.

2. Далее утки «высидят... ещё столько утят». Это означает, что к имеющимся $x$ уткам добавится ещё $x$ утят. Общее количество птиц (уток и утят) на этом этапе составит $x + x = 2x$.

3. После этого Степан «...ещё куплю одну утку». Теперь общее число птиц увеличивается на одну и становится равным $2x + 1$.

4. Следующий шаг: «...да ещё трижды куплю столько, сколько этих уток и утят...». Эта фраза означает, что Степан докупит количество птиц, в три раза превышающее то, что у него уже есть. На данный момент у него $2x + 1$ птиц. Следовательно, он купит ещё $3 \times (2x + 1)$ птиц.

5. В конце Степан говорит: «...то всего будет их у меня 100». Итоговое количество птиц — это сумма того, что у него было до последней покупки, и того, что он купил. Составляем уравнение:

$(2x + 1) + 3(2x + 1) = 100$

Это уравнение можно упростить. Левая часть представляет собой сумму числа и утроенного этого же числа, что равно учетверенному числу:

$4(2x + 1) = 100$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

Разделим обе части уравнения на 4:

$2x + 1 = \frac{100}{4}$

$2x + 1 = 25$

Вычтем 1 из обеих частей:

$2x = 25 - 1$

$2x = 24$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{24}{2}$

$x = 12$

Таким образом, мы нашли, что у кума Степана изначально было 12 уток.

Давайте выполним проверку, подставив найденное значение в условия задачи:

1. Изначально у Степана было 12 уток.

2. Они высидели ему еще 12 утят. Всего птиц стало: $12 + 12 = 24$.

3. Он купил еще одну утку. Всего птиц стало: $24 + 1 = 25$.

4. Затем он купил в три раза больше птиц, чем у него было: $3 \times 25 = 75$.

5. Общее количество птиц стало: $25$ (которые были) $+ 75$ (которые купил) $= 100$.

Результат совпал с условием задачи.

Ответ: Изначально у кума Степана было 12 уток.