Страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

356. Возведите в квадрат одночлен:

1) $6a;$

2) $3b^2;$

3) $-9a^4b^5;$

4) $-0,2m^8n^9;$

5) $\frac{1}{8}x^3y^6;$

6) $-\frac{5}{7}ab^2c^8.$

1) Чтобы возвести одночлен $6a$ в квадрат, нужно возвести в квадрат его коэффициент 6 и переменную $a$. Показатель степени переменной $a$ равен 1, при возведении в квадрат он умножается на 2.

$(6a)^2 = 6^2 \cdot a^{1 \cdot 2} = 36a^2$

Ответ: $36a^2$

2) Чтобы возвести одночлен $3b^2$ в квадрат, нужно возвести в квадрат коэффициент 3 и переменную $b^2$. Для возведения степени в степень ($b^2$ в квадрат) их показатели перемножаются.

$(3b^2)^2 = 3^2 \cdot (b^2)^2 = 9 \cdot b^{2 \cdot 2} = 9b^4$

Ответ: $9b^4$

3) Чтобы возвести одночлен $-9a^4b^5$ в квадрат, нужно возвести в квадрат коэффициент -9 и каждую из переменных. Квадрат отрицательного числа является положительным. Показатели степеней переменных умножаются на 2.

$(-9a^4b^5)^2 = (-9)^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (b^5)^2 = 81 \cdot a^{4 \cdot 2} \cdot b^{5 \cdot 2} = 81a^8b^{10}$

Ответ: $81a^8b^{10}$

4) Чтобы возвести одночлен $-0,2m^8n^9$ в квадрат, возводим в квадрат коэффициент -0,2 и каждую переменную в своей степени. Показатели степеней у переменных умножаются на 2.

$(-0,2m^8n^9)^2 = (-0,2)^2 \cdot (m^8)^2 \cdot (n^9)^2 = 0,04 \cdot m^{8 \cdot 2} \cdot n^{9 \cdot 2} = 0,04m^{16}n^{18}$

Ответ: $0,04m^{16}n^{18}$

5) Чтобы возвести одночлен $\frac{1}{8}x^3y^6$ в квадрат, нужно возвести в квадрат дробный коэффициент $\frac{1}{8}$ и каждую переменную. При возведении дроби в степень, в эту степень возводится и числитель, и знаменатель.

$(\frac{1}{8}x^3y^6)^2 = (\frac{1}{8})^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^6)^2 = \frac{1^2}{8^2} \cdot x^{3 \cdot 2} \cdot y^{6 \cdot 2} = \frac{1}{64}x^6y^{12}$

Ответ: $\frac{1}{64}x^6y^{12}$

6) Чтобы возвести одночлен $-\frac{5}{7}ab^2c^8$ в квадрат, возводим в квадрат коэффициент $-\frac{5}{7}$ и каждую переменную. Показатели степеней переменных $a$, $b$ и $c$ умножаются на 2 (у переменной $a$ показатель степени равен 1).

$(-\frac{5}{7}ab^2c^8)^2 = (-\frac{5}{7})^2 \cdot a^{1 \cdot 2} \cdot (b^2)^2 \cdot (c^8)^2 = \frac{(-5)^2}{7^2} \cdot a^2 \cdot b^{2 \cdot 2} \cdot c^{8 \cdot 2} = \frac{25}{49}a^2b^4c^{16}$

Ответ: $\frac{25}{49}a^2b^4c^{16}$

357. Возведите в куб одночлен:

1) $2b$;

2) $10c^4$;

3) $\frac{1}{3}x^5$;

4) $-0,1m^7n^{10}$;

5) $-\frac{1}{4}x^3y^2$;

6) $-a^3b^2c$.

1) Чтобы возвести одночлен $2b$ в куб, необходимо каждый его множитель возвести в третью степень. Для этого используется свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$.

Выполним возведение в куб:

$(2b)^3 = 2^3 \cdot b^3 = 8b^3$.

Сначала возводим в куб числовой коэффициент $2$: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Затем возводим в куб переменную $b$: $b^3$.

Объединяем результаты: $8b^3$.

Ответ: $8b^3$.

2) Для возведения одночлена $10c^4$ в куб применяем свойства степеней: $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(10c^4)^3 = 10^3 \cdot (c^4)^3$.

Возводим в куб коэффициент $10$: $10^3 = 1000$.

Возводим в куб переменную часть $c^4$: $(c^4)^3 = c^{4 \cdot 3} = c^{12}$.

Итоговый результат: $1000c^{12}$.

Ответ: $1000c^{12}$.

3) Возведем в куб одночлен $\frac{1}{3}x^5$.

$(\frac{1}{3}x^5)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (x^5)^3$.

Возводим в куб дробный коэффициент $\frac{1}{3}$: $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Возводим в куб переменную часть $x^5$: $(x^5)^3 = x^{5 \cdot 3} = x^{15}$.

Результат: $\frac{1}{27}x^{15}$.

Ответ: $\frac{1}{27}x^{15}$.

4) Возведем в куб одночлен $-0,1m^7n^{10}$.

$(-0,1m^7n^{10})^3 = (-0,1)^3 \cdot (m^7)^3 \cdot (n^{10})^3$.

Возводим в куб коэффициент $-0,1$: $(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = -0,001$.

Возводим в куб переменную $m^7$: $(m^7)^3 = m^{7 \cdot 3} = m^{21}$.

Возводим в куб переменную $n^{10}$: $(n^{10})^3 = n^{10 \cdot 3} = n^{30}$.

Соединяем все части: $-0,001m^{21}n^{30}$.

Ответ: $-0,001m^{21}n^{30}$.

5) Возведем в куб одночлен $-\frac{1}{4}x^3y^2$.

$(-\frac{1}{4}x^3y^2)^3 = (-\frac{1}{4})^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^2)^3$.

Возводим в куб коэффициент $-\frac{1}{4}$: $(-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1^3}{4^3} = -\frac{1}{64}$.

Возводим в куб $x^3$: $(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$.

Возводим в куб $y^2$: $(y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6$.

Получаем: $-\frac{1}{64}x^9y^6$.

Ответ: $-\frac{1}{64}x^9y^6$.

6) Возведем в куб одночлен $-a^3b^2c$. Коэффициент этого одночлена равен $-1$.

$(-a^3b^2c)^3 = (-1 \cdot a^3b^2c)^3 = (-1)^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^2)^3 \cdot c^3$.

Возводим в куб коэффициент $-1$: $(-1)^3 = -1$.

Возводим в куб $a^3$: $(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$.

Возводим в куб $b^2$: $(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$.

Возводим в куб $c$ (у которого степень 1): $(c^1)^3 = c^{1 \cdot 3} = c^3$.

Итоговый результат: $-1 \cdot a^9b^6c^3 = -a^9b^6c^3$.

Ответ: $-a^9b^6c^3$.

358. Преобразуйте в одночлен стандартного вида выражение:

1) $ (3a^2b)^2 $;

2) $ (16x^6y^7z^8)^2 $;

3) $ (-\frac{1}{5} c^6d)^4 $.

1)

Чтобы преобразовать выражение $(3a^2b)^2$ в одночлен стандартного вида, необходимо возвести в степень каждый множитель, находящийся в скобках. Для этого воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и свойством возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(3a^2b)^2 = 3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2$

Теперь вычислим значение каждого множителя:

• $3^2 = 9$
• $(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$
• $b^2$ остается без изменений.

Соединив полученные части, получаем одночлен стандартного вида:

$9a^4b^2$

Ответ: $9a^4b^2$

2)

Для преобразования выражения $(16x^6y^7z^8)^2$ используем те же правила. Возводим в квадрат числовой коэффициент и каждую переменную в своей степени.

$(16x^6y^7z^8)^2 = 16^2 \cdot (x^6)^2 \cdot (y^7)^2 \cdot (z^8)^2$

Вычислим каждый множитель по отдельности:

• $16^2 = 256$
• $(x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12}$
• $(y^7)^2 = y^{7 \cdot 2} = y^{14}$
• $(z^8)^2 = z^{8 \cdot 2} = z^{16}$

Объединим результаты:

$256x^{12}y^{14}z^{16}$

Ответ: $256x^{12}y^{14}z^{16}$

3)

Рассмотрим выражение $(-\frac{1}{5}c^6d)^4$. Возводим в четвертую степень каждый множитель в скобках.

$(-\frac{1}{5}c^6d)^4 = (-\frac{1}{5})^4 \cdot (c^6)^4 \cdot d^4$

Выполним вычисления для каждого множителя:

• $(-\frac{1}{5})^4$: так как показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным. $(\frac{1}{5})^4 = \frac{1^4}{5^4} = \frac{1}{625}$
• $(c^6)^4 = c^{6 \cdot 4} = c^{24}$
• $d^4$ остается без изменений.

Собираем все части вместе:

$\frac{1}{625}c^{24}d^4$

Ответ: $\frac{1}{625}c^{24}d^4$

359. Выполните возведение в степень:

1) $ (-6m^3n^3)^3; $

2) $ (-7x^9y^{10})^2; $

3) $ (-\frac{1}{2}x^8y^9)^5. $

1) Чтобы возвести одночлен в степень, необходимо каждый его множитель возвести в эту степень. В данном случае мы возводим в куб (третью степень) выражение $(-6m^3n^3)$.
Применим правило возведения в степень произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и правило возведения степени в степень $(a^k)^n = a^{k \cdot n}$.
$(-6m^3n^3)^3 = (-6)^3 \cdot (m^3)^3 \cdot (n^3)^3$
Теперь вычислим значение каждого множителя по отдельности:
$(-6)^3 = -216$ (так как степень нечетная, знак "минус" сохраняется)
$(m^3)^3 = m^{3 \cdot 3} = m^9$
$(n^3)^3 = n^{3 \cdot 3} = n^9$
Объединив результаты, получаем:
$(-6m^3n^3)^3 = -216m^9n^9$
Ответ: $-216m^9n^9$

2) Возводим в квадрат (вторую степень) выражение $(-7x^9y^{10})$.
Так как степень четная (2), отрицательное основание станет положительным.
$(-7x^9y^{10})^2 = (-7)^2 \cdot (x^9)^2 \cdot (y^{10})^2$
Вычислим значение каждого множителя:
$(-7)^2 = 49$
$(x^9)^2 = x^{9 \cdot 2} = x^{18}$
$(y^{10})^2 = y^{10 \cdot 2} = y^{20}$
Объединив результаты, получаем:
$(-7x^9y^{10})^2 = 49x^{18}y^{20}$
Ответ: $49x^{18}y^{20}$

3) Возводим в пятую степень выражение $(-\frac{1}{2}x^8y^9)$.
Так как степень нечетная (5), знак "минус" сохранится.
$(-\frac{1}{2}x^8y^9)^5 = (-\frac{1}{2})^5 \cdot (x^8)^5 \cdot (y^9)^5$
Вычислим значение каждого множителя:
$(-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1^5}{2^5} = -\frac{1}{32}$
$(x^8)^5 = x^{8 \cdot 5} = x^{40}$
$(y^9)^5 = y^{9 \cdot 5} = y^{45}$
Объединив результаты, получаем:
$(-\frac{1}{2}x^8y^9)^5 = -\frac{1}{32}x^{40}y^{45}$
Ответ: $-\frac{1}{32}x^{40}y^{45}$

360. Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):

1) одночлен $6x^2$ при любом значении $x$ принимает положительные значения;

2) одночлен $0.4a^4b^6$ при любых значениях $a$ и $b$ принимает неотрицательные значения;

3) одночлен $-\frac{1}{3}a^3$ при любом значении $a$ принимает отрицательные значения;

4) одночлен $-5b^2$ при любом значении $b$ принимает отрицательные значения?

1) одночлен $6x^2$ при любом значении $x$ принимает положительные значения;

Данное утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы одно значение переменной $x$, при котором одночлен $6x^2$ не будет положительным.
Рассмотрим случай, когда $x = 0$.
Подставим это значение в одночлен: $6 \cdot 0^2 = 6 \cdot 0 = 0$.
Число 0 не является положительным. Следовательно, утверждение, что одночлен принимает положительные значения при любом значении $x$, является ложным.

Ответ: неверно.

2) одночлен $0,4a^4b^6$ при любых значениях $a$ и $b$ принимает неотрицательные значения;

Данное утверждение верно. Проанализируем одночлен $0,4a^4b^6$.
1. Коэффициент $0,4$ — положительное число.
2. Переменная $a$ возводится в четную степень 4. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $a^4 \ge 0$.
3. Переменная $b$ возводится в четную степень 6. Аналогично, $b^6 \ge 0$.
Произведение положительного числа ($0,4$) и двух неотрицательных чисел ($a^4$ и $b^6$) всегда будет неотрицательным числом. Таким образом, $0,4a^4b^6 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.

Ответ: верно.

3) одночлен $-\frac{1}{3}a^3$ при любом значении $a$ принимает отрицательные значения;

Данное утверждение неверно. Проверим его, подставив различные значения $a$.
- Если $a$ — положительное число, например $a=2$, то $a^3 = 2^3 = 8$. Значение одночлена: $-\frac{1}{3} \cdot 8 = -\frac{8}{3}$. Это отрицательное число, что соответствует утверждению.
- Однако, если $a$ — отрицательное число, например $a=-1$, то $a^3 = (-1)^3 = -1$. Значение одночлена: $-\frac{1}{3} \cdot (-1) = \frac{1}{3}$. Это положительное число, что противоречит утверждению.
- Если $a=0$, то $a^3=0$. Значение одночлена: $-\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$. Число 0 не является отрицательным.
Поскольку существуют значения $a$ (любое $a \le 0$), при которых одночлен не принимает отрицательные значения, утверждение ложно.

Ответ: неверно.

4) одночлен $-5b^2$ при любом значении $b$ принимает отрицательные значения?

Данное утверждение неверно. Рассмотрим одночлен $-5b^2$.
Коэффициент $-5$ — отрицательное число.
Множитель $b^2$ является квадратом числа, поэтому он всегда неотрицателен ($b^2 \ge 0$) при любом значении $b$.
- Если $b \neq 0$, то $b^2 > 0$, и произведение отрицательного числа $(-5)$ на положительное ($b^2$) будет отрицательным.
- Однако, если $b = 0$, то $b^2 = 0$. Значение одночлена будет: $-5 \cdot 0^2 = -5 \cdot 0 = 0$.
Число 0 не является отрицательным. Так как существует значение $b$ ($b=0$), при котором одночлен не принимает отрицательное значение, утверждение является ложным.

Ответ: неверно.

361. Представьте данное выражение в виде произведения двух одночленов, один из которых равен $3a^2b^6$:

1) $3a^6b^8$.

2) $-12a^2b^{10}$.

3) $-2.7a^5b^7$.

4) $2\frac{2}{7}a^{20}b^{30}$.

1) Чтобы представить одночлен $3a^6b^8$ в виде произведения, один из множителей которого равен $3a^2b^6$, найдем второй множитель. Для этого разделим исходный одночлен на известный:$ \frac{3a^6b^8}{3a^2b^6} = (\frac{3}{3}) \cdot a^{6-2} \cdot b^{8-2} = 1 \cdot a^4 \cdot b^2 = a^4b^2 $.Таким образом, искомое представление в виде произведения: $(3a^2b^6) \cdot (a^4b^2)$.
Ответ: $3a^6b^8 = (3a^2b^6) \cdot (a^4b^2)$.

2) Чтобы представить одночлен $-12a^2b^{10}$ в виде произведения, один из множителей которого равен $3a^2b^6$, найдем второй множитель, разделив исходный одночлен на известный:$ \frac{-12a^2b^{10}}{3a^2b^6} = (\frac{-12}{3}) \cdot a^{2-2} \cdot b^{10-6} = -4 \cdot a^0 \cdot b^4 = -4b^4 $.Таким образом, искомое представление в виде произведения: $(3a^2b^6) \cdot (-4b^4)$.
Ответ: $-12a^2b^{10} = (3a^2b^6) \cdot (-4b^4)$.

3) Чтобы представить одночлен $-2,7a^5b^7$ в виде произведения, один из множителей которого равен $3a^2b^6$, найдем второй множитель, разделив исходный одночлен на известный:$ \frac{-2,7a^5b^7}{3a^2b^6} = (\frac{-2,7}{3}) \cdot a^{5-2} \cdot b^{7-6} = -0,9 \cdot a^3 \cdot b^1 = -0,9a^3b $.Таким образом, искомое представление в виде произведения: $(3a^2b^6) \cdot (-0,9a^3b)$.
Ответ: $-2,7a^5b^7 = (3a^2b^6) \cdot (-0,9a^3b)$.

4) Сначала представим коэффициент $2\frac{2}{7}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$. Чтобы представить одночлен $\frac{16}{7}a^{20}b^{30}$ в виде произведения, один из множителей которого равен $3a^2b^6$, найдем второй множитель, разделив исходный одночлен на известный:$ \frac{\frac{16}{7}a^{20}b^{30}}{3a^2b^6} = (\frac{16/7}{3}) \cdot a^{20-2} \cdot b^{30-6} = \frac{16}{7 \cdot 3} \cdot a^{18} \cdot b^{24} = \frac{16}{21}a^{18}b^{24} $.Таким образом, искомое представление в виде произведения: $(3a^2b^6) \cdot (\frac{16}{21}a^{18}b^{24})$.
Ответ: $2\frac{2}{7}a^{20}b^{30} = (3a^2b^6) \cdot (\frac{16}{21}a^{18}b^{24})$.