Страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

390. Закончите запись членов многочлена в порядке убывания степеней переменной:

1) $8x - 3x^2 + 6x^3 - 4 = 6x^3 - 3x^2 + \ldots$;

2) $x^4 - 5x^6 - 3x^2 + 3x^3 - 7x + 2 = -5x^6 + x^4 + \ldots$;

3) $3 - 10x^5 + x = -10x^5 + \ldots$.

1) Чтобы закончить запись, необходимо расположить все члены исходного многочлена $8x - 3x^2 + 6x^3 - 4$ в порядке убывания степеней переменной $x$.

Сначала определим степень каждого члена многочлена:
- член $6x^3$ имеет наибольшую степень 3;
- член $-3x^2$ имеет степень 2;
- член $8x$ (или $8x^1$) имеет степень 1;
- член $-4$ (свободный член, или $-4x^0$) имеет степень 0.

Теперь запишем эти члены по порядку от большей степени к меньшей: $6x^3 - 3x^2 + 8x - 4$.
Следовательно, недостающие члены в записи это $8x - 4$.

Ответ: $8x - 3x^2 + 6x^3 - 4 = 6x^3 - 3x^2 + 8x - 4$.

2) Рассмотрим многочлен $x^4 - 5x^6 - 3x^2 + 3x^3 - 7x + 2$. Для записи его членов в порядке убывания степеней, найдем степень каждого из них:

- член $-5x^6$ имеет степень 6;
- член $x^4$ имеет степень 4;
- член $3x^3$ имеет степень 3;
- член $-3x^2$ имеет степень 2;
- член $-7x$ имеет степень 1;
- член $2$ имеет степень 0.

Расположим члены в порядке убывания их степеней: $-5x^6 + x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 2$.
Недостающие члены: $3x^3 - 3x^2 - 7x + 2$.

Ответ: $x^4 - 5x^6 - 3x^2 + 3x^3 - 7x + 2 = -5x^6 + x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 2$.

3) Для многочлена $3 - 10x^5 + x$ определим степени его членов:

- член $-10x^5$ имеет степень 5;
- член $x$ имеет степень 1;
- член $3$ имеет степень 0.

Запишем многочлен, расположив его члены в порядке убывания степеней: $-10x^5 + x + 3$.
Пропущенные члены в записи: $x + 3$.

Ответ: $3 - 10x^5 + x = -10x^5 + x + 3$.

391. Расположите члены многочлена в порядке возрастания степеней переменной:

1) $4m^3 - 5m - m^2 + 6;$

2) $9a - 8a^4 + 5a^3 + 7 - a^2;$

3) $8m^4 - 4 + 7m^6 - 10m^3 + m^2.$

1) Чтобы расположить члены многочлена $4m^3 - 5m - m^2 + 6$ в порядке возрастания степеней переменной, необходимо определить степень каждого члена и затем записать их, начиная с наименьшей степени.

Определим степени для каждого члена многочлена относительно переменной $m$:
- Член $6$ — это свободный член, его можно представить как $6m^0$, поэтому его степень равна 0.
- Член $-5m$ можно представить как $-5m^1$, его степень равна 1.
- Член $-m^2$ имеет степень 2.
- Член $4m^3$ имеет степень 3.

Теперь расположим члены в порядке возрастания их степеней: 0, 1, 2, 3. Не забываем сохранять знаки членов.

$6 - 5m - m^2 + 4m^3$.

Ответ: $6 - 5m - m^2 + 4m^3$

2) Рассмотрим многочлен $9a - 8a^4 + 5a^3 + 7 - a^2$. Переменная в данном случае — $a$.

Определим степени для каждого члена многочлена:
- Член $7$ — свободный член, степень равна 0.
- Член $9a$ имеет степень 1.
- Член $-a^2$ имеет степень 2.
- Член $5a^3$ имеет степень 3.
- Член $-8a^4$ имеет степень 4.

Расположим члены в порядке возрастания их степеней: 0, 1, 2, 3, 4.

$7 + 9a - a^2 + 5a^3 - 8a^4$.

Ответ: $7 + 9a - a^2 + 5a^3 - 8a^4$

3) Рассмотрим многочлен $8m^4 - 4 + 7m^6 - 10m^3 + m^2$. Переменная — $m$.

Определим степени для каждого члена многочлена:
- Член $-4$ — свободный член, степень равна 0.
- Член $m^2$ имеет степень 2.
- Член $-10m^3$ имеет степень 3.
- Член $8m^4$ имеет степень 4.
- Член $7m^6$ имеет степень 6.

Расположим члены в порядке возрастания их степеней: 0, 2, 3, 4, 6.

$-4 + m^2 - 10m^3 + 8m^4 + 7m^6$.

Ответ: $-4 + m^2 - 10m^3 + 8m^4 + 7m^6$

392. Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных:

1) $-3a^5 + 4a^3 + 7a^5 - 10a^3 + 12a$, если $a = -2$;

2) $x^3y - 3xy^2 - 4x^3y + 8xy^2$, если $x = -1, y = -3$;

3) $0,8x^2 - 0,3x - x^2 + 1,6 + 1,1x - 0,6$, если $x = 5$;

4) $\frac{1}{3}a^2c + \frac{3}{4}ac^2 + \frac{1}{6}a^2c + 1,25ac^2$, если $a = -4, c = 3$.

1) Сначала приведем подобные члены в многочлене $-3a^5 + 4a^3 + 7a^5 - 10a^3 + 12a$.
Группируем члены с одинаковыми степенями переменной $a$:
$(-3a^5 + 7a^5) + (4a^3 - 10a^3) + 12a = (-3+7)a^5 + (4-10)a^3 + 12a = 4a^5 - 6a^3 + 12a$.

Теперь подставим значение $a = -2$ в упрощенное выражение:
$4a^5 - 6a^3 + 12a = 4(-2)^5 - 6(-2)^3 + 12(-2) = 4(-32) - 6(-8) - 24 = -128 + 48 - 24 = -80 - 24 = -104$.

Ответ: -104.

2) Упростим выражение $x^3y - 3xy^2 - 4x^3y + 8xy^2$ путем приведения подобных членов.
Группируем подобные члены:
$(x^3y - 4x^3y) + (-3xy^2 + 8xy^2) = (1-4)x^3y + (-3+8)xy^2 = -3x^3y + 5xy^2$.

Подставим значения $x = -1$ и $y = -3$ в полученное выражение:
$-3x^3y + 5xy^2 = -3(-1)^3(-3) + 5(-1)(-3)^2 = -3(-1)(-3) + 5(-1)(9) = -9 - 45 = -54$.

Ответ: -54.

3) Приведем подобные члены в многочлене $0,8x^2 - 0,3x - x^2 + 1,6 + 1,1x - 0,6$.
Группируем члены с $x^2$, с $x$ и свободные члены:
$(0,8x^2 - x^2) + (-0,3x + 1,1x) + (1,6 - 0,6) = (0,8-1)x^2 + (-0,3+1,1)x + (1,6-0,6) = -0,2x^2 + 0,8x + 1$.

Подставим значение $x = 5$ в упрощенный многочлен:
$-0,2x^2 + 0,8x + 1 = -0,2(5)^2 + 0,8(5) + 1 = -0,2(25) + 4 + 1 = -5 + 4 + 1 = 0$.

Ответ: 0.

4) Упростим выражение $\frac{1}{3}a^2c + \frac{3}{4}ac^2 + \frac{1}{6}a^2c + 1,25ac^2$.
Сначала представим десятичную дробь $1,25$ в виде обыкновенной: $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.
Выражение примет вид: $\frac{1}{3}a^2c + \frac{3}{4}ac^2 + \frac{1}{6}a^2c + \frac{5}{4}ac^2$.
Группируем подобные члены:
$(\frac{1}{3}a^2c + \frac{1}{6}a^2c) + (\frac{3}{4}ac^2 + \frac{5}{4}ac^2) = (\frac{2}{6} + \frac{1}{6})a^2c + (\frac{3+5}{4})ac^2 = \frac{3}{6}a^2c + \frac{8}{4}ac^2 = \frac{1}{2}a^2c + 2ac^2$.

Подставим значения $a = -4$ и $c = 3$ в результат:
$\frac{1}{2}a^2c + 2ac^2 = \frac{1}{2}(-4)^2(3) + 2(-4)(3)^2 = \frac{1}{2}(16)(3) + 2(-4)(9) = 8 \cdot 3 - 8 \cdot 9 = 24 - 72 = -48$.

Ответ: -48.

393. Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных:

1) $2a^3 + 3ab - b^2 - 6a^3 - 7ab + 2b^2$, если $a=2, b=-6;$

2) $mn - 6mn^2 - 8mn - 6mn^2$, если $m = 0,5, n = -2;$

3) $10xy^2 - 12x^2y + 9x^2y - 9xy^2$, если $x = \frac{1}{3}, y = 9.$

1) Сначала приведем подобные члены в многочлене $2a^3 + 3ab - b^2 - 6a^3 - 7ab + 2b^2$. Для этого сгруппируем и сложим члены с одинаковой буквенной частью.

$(2a^3 - 6a^3) + (3ab - 7ab) + (-b^2 + 2b^2) = -4a^3 - 4ab + b^2$

Теперь, когда многочлен упрощен, подставим в него указанные значения переменных $a=2$ и $b=-6$:

$-4a^3 - 4ab + b^2 = -4(2)^3 - 4(2)(-6) + (-6)^2$

Выполним вычисления:

$-4 \cdot 8 - 8(-6) + 36 = -32 + 48 + 36 = 16 + 36 = 52$

Ответ: $52$

2) Упростим многочлен $mn - 6mn^2 - 8mn - 6mn^2$ путем приведения подобных членов.

Группируем и складываем подобные члены:

$(mn - 8mn) + (-6mn^2 - 6mn^2) = -7mn - 12mn^2$

Подставим значения $m=0,5$ и $n=-2$ в полученное выражение:

$-7mn - 12mn^2 = -7(0,5)(-2) - 12(0,5)(-2)^2$

Выполним вычисления:

$-7(-1) - 12(0,5)(4) = 7 - 12(2) = 7 - 24 = -17$

Ответ: $-17$

3) Приведем подобные члены в многочлене $10xy^2 - 12x^2y + 9x^2y - 9xy^2$.

Сгруппируем и сложим члены с одинаковыми буквенными частями:

$(10xy^2 - 9xy^2) + (-12x^2y + 9x^2y) = xy^2 - 3x^2y$

Теперь подставим значения $x=\frac{1}{3}$ и $y=9$ в упрощенное выражение:

$xy^2 - 3x^2y = (\frac{1}{3})(9)^2 - 3(\frac{1}{3})^2(9)$

Выполним вычисления:

$\frac{1}{3} \cdot 81 - 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot 9 = \frac{81}{3} - \frac{27}{9} = 27 - 3 = 24$

Ответ: $24$

394. Из одночленов $4a$, $-3ab$, $7a^2$, $-8a^2$, $9ab$, $5a$ выберите несколько и составьте из них:

1) многочлен стандартного вида;

2) многочлен, содержащий подобные члены;

3) два многочлена стандартного вида, использовав при этом все данные одночлены.

Даны одночлены: $4a$, $-3ab$, $7a^2$, $-8a^2$, $9ab$, $5a$.

1) многочлен стандартного вида;

Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором отсутствуют подобные члены (слагаемые с одинаковой буквенной частью). Чтобы составить такой многочлен, нужно выбрать из предложенного списка несколько одночленов с разными буквенными частями.

Например, выберем одночлены $4a$, $7a^2$ и $9ab$. Их буквенные части ($a$, $a^2$ и $ab$ соответственно) различны.

Составим из них многочлен, который будет их алгебраической суммой:

$4a + 7a^2 + 9ab$

Этот многочлен является многочленом стандартного вида, так как не содержит подобных членов. Порядок слагаемых может быть любым, например, $7a^2 - 3ab + 5a$ также является верным примером.

Ответ: $4a + 7a^2 + 9ab$ (возможны и другие варианты).

2) многочлен, содержащий подобные члены;

Многочлен содержит подобные члены, если в нем есть как минимум два одночлена с одинаковой буквенной частью. Для составления такого многочлена нужно выбрать из списка хотя бы два подобных одночлена.

В данном наборе есть три пары подобных членов:

• $4a$ и $5a$ (одинаковая буквенная часть $a$)
• $-3ab$ и $9ab$ (одинаковая буквенная часть $ab$)
• $7a^2$ и $-8a^2$ (одинаковая буквенная часть $a^2$)

Возьмем, к примеру, одночлены $7a^2$ и $-8a^2$ и составим из них многочлен:

$7a^2 - 8a^2$

Этот многочлен содержит подобные члены. Можно составить и более сложный многочлен, например, добавив одночлен с другой буквенной частью: $4a - 3ab + 9ab$. В этом многочлене члены $-3ab$ и $9ab$ являются подобными.

Ответ: $7a^2 - 8a^2$ (возможны и другие варианты, например, $4a + 5a - 3ab$).

3) два многочлена стандартного вида, использовав при этом все данные одночлены.

Нужно использовать все шесть данных одночленов ($4a, 5a, -3ab, 9ab, 7a^2, -8a^2$) для составления двух многочленов стандартного вида. Это означает, что ни в одном из получившихся многочленов не должно быть подобных членов.

Как мы уже определили, в исходном наборе есть три пары подобных членов:

• ($4a$ и $5a$)
• ($-3ab$ и $9ab$)
• ($7a^2$ и $-8a^2$)

Чтобы оба итоговых многочлена были стандартного вида, необходимо каждую пару подобных членов разделить: один одночлен из пары должен войти в первый многочлен, а второй — во второй.

Выполним такое разделение. Пусть первый многочлен будет состоять из следующих одночленов:

• $4a$ (из первой пары)
• $-3ab$ (из второй пары)
• $7a^2$ (из третьей пары)

Тогда второй многочлен будет состоять из оставшихся одночленов:

• $5a$ (из первой пары)
• $9ab$ (из второй пары)
• $-8a^2$ (из третьей пары)

Запишем получившиеся многочлены:

Первый многочлен: $P_1 = 4a - 3ab + 7a^2$. Он находится в стандартном виде, так как все его члены имеют разные буквенные части ($a, ab, a^2$).

Второй многочлен: $P_2 = 5a + 9ab - 8a^2$. Он также в стандартном виде по той же причине.

Таким образом, мы использовали все шесть исходных одночленов и составили из них два многочлена стандартного вида.

Ответ: Первый многочлен: $4a - 3ab + 7a^2$; второй многочлен: $5a + 9ab - 8a^2$. (Это один из возможных вариантов разделения).

395. Конфеты ценой 420 р. за 1 кг смешали с конфетами ценой 570 р. за 1 кг и получили смесь ценой 480 р. за 1 кг. Какая масса конфет каждого вида содержится в 1 кг смеси?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ – масса (в кг) конфет ценой 420 р. за 1 кг, а $y$ – масса (в кг) конфет ценой 570 р. за 1 кг в полученной смеси.

По условию, общая масса смеси составляет 1 кг. Следовательно, сумма масс двух видов конфет равна 1. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 1$

Общая стоимость 1 кг смеси составляет 480 р. Эта стоимость складывается из стоимости $x$ кг конфет по 420 р. и $y$ кг конфет по 570 р. Это дает нам второе уравнение:

$420x + 570y = 480$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 1 \\ 420x + 570y = 480 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 1 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$420x + 570(1 - x) = 480$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$420x + 570 - 570x = 480$

$570 - 480 = 570x - 420x$

$90 = 150x$

$x = \frac{90}{150} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$

Итак, масса конфет ценой 420 р. в смеси составляет 0,6 кг.

Теперь найдем массу второго вида конфет, подставив значение $x$ в выражение $y = 1 - x$:

$y = 1 - 0.6 = 0.4$

Масса конфет ценой 570 р. в смеси составляет 0,4 кг.

Ответ: в 1 кг смеси содержится 0,6 кг конфет ценой 420 р. и 0,4 кг конфет ценой 570 р.

396. Во время распродажи новая цена туфель составила 0,74 старой цены.

На сколько процентов уменьшилась цена туфель?

Примем первоначальную (старую) цену туфель за 100%, что в долях составляет 1.

Согласно условию задачи, новая цена во время распродажи составила 0,74 от старой цены. Чтобы выразить новую цену в процентах от старой, нужно умножить долю на 100: $0,74 \cdot 100\% = 74\%$

Таким образом, новая цена составляет 74% от старой цены.

Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилась цена, необходимо из первоначальной цены в процентах вычесть новую цену в процентах: $100\% - 74\% = 26\%$

Следовательно, цена туфель уменьшилась на 26 процентов.

Ответ: на 26%.

397. Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении $5 : 2$. Общая прибыль предприятия за год после уплаты налогов составила 84 млн р. Сколько рублей из этой прибыли должны пойти на выплату частным акционерам?

Прибыль распределяется между акционерами пропорционально их долям. Согласно условию, акции распределены между государством и частными лицами в отношении 5:2. Это означает, что всю прибыль можно разделить на общее количество частей.

1. Найдем общее количество частей, на которые делится прибыль, сложив доли государства и частных лиц:
$5 + 2 = 7$ (частей).

2. Общая прибыль в 84 млн рублей соответствует этим 7 частям. Найдем, какая сумма приходится на одну часть, разделив общую прибыль на количество частей:
$84\ 000\ 000 \text{ рублей} \div 7 = 12\ 000\ 000 \text{ рублей}$.

3. Частным акционерам принадлежит 2 части. Чтобы найти сумму, которая им причитается, умножим стоимость одной части на количество их частей:
$12\ 000\ 000 \text{ рублей} \times 2 = 24\ 000\ 000 \text{ рублей}$.

Ответ: 24 000 000 рублей.