Страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют многочленом?

1. Что называют многочленом?

Многочленом в алгебре называют выражение, которое представляет собой алгебраическую сумму нескольких одночленов. Сами одночлены, из которых он состоит, называются членами многочлена.

Для полного понимания необходимо сначала определить, что такое одночлен. Одночлен — это произведение числового множителя (коэффициента) и переменных в натуральных степенях. Например, следующие выражения являются одночленами: $5$, $x$, $-7a^2b$, $\frac{1}{3}x^5y^2$.

Соответственно, многочлен — это объединение таких одночленов знаками сложения или вычитания.
Например, выражение $3x^4 - 8x^2 + x - 5$ является многочленом. Его члены — это одночлены $3x^4$, $-8x^2$, $x$ и $-5$.
Другой пример многочлена: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Важно отметить, что любой одночлен также считается многочленом, состоящим из одного члена. Многочлены, состоящие из двух членов, называют двучленами (например, $a-b$), а из трех — трехчленами (например, $x^2+2x+1$).

Ответ: Многочленом называют сумму одночленов.

2. Какой многочлен называют двучленом? трёхчленом?

Для ответа на этот вопрос сперва нужно дать определение многочлена. Многочлен — это алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлен, в свою очередь, — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.

Двучлен

Двучленом (или биномом) называют многочлен, который состоит из двух членов (одночленов), соединенных знаками «плюс» или «минус».

Примеры двучленов:

• $a + b$
• $3x^2 - 5y$
• $7c^4d + 2$

Ответ: Двучленом называют многочлен, который состоит из двух членов.

Трёхчлен

Трёхчленом (или триномом) называют многочлен, который состоит из трёх членов (одночленов), соединенных знаками «плюс» или «минус».

Примеры трёхчленов:

• $a + b + c$
• $x^2 - 2xy + y^2$ (этот трёхчлен также является формулой квадрата разности $(x-y)^2$)
• $4m^3 - n^2 - 8k$

Ответ: Трёхчленом называют многочлен, который состоит из трёх членов.

3. Какой многочлен называют многочленом стандартного вида?

Многочленом стандартного вида называют такой многочлен, который удовлетворяет двум ключевым условиям:

1. Каждый его член (одночлен) записан в стандартном виде.
2. В нем отсутствуют подобные слагаемые (подобные члены).

Рассмотрим эти два условия более детально.

1. Стандартный вид одночлена

Одночлен приведен к стандартному виду, если он представлен в виде произведения числового коэффициента, который стоит на первом месте, и степеней различных переменных. Важно, что каждая переменная в записи встречается только один раз.

• Пример стандартного вида: $7x^3y^5$. Коэффициент здесь $7$, буквенная часть $x^3y^5$.
• Пример нестандартного вида: $2y \cdot 4x \cdot y^2 \cdot x^2$. Чтобы привести его к стандартному виду, необходимо выполнить умножение: $(2 \cdot 4) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y \cdot y^2) = 8x^3y^3$.

2. Отсутствие подобных слагаемых

Подобные слагаемые — это члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть. Процесс их сложения или вычитания называется приведением подобных слагаемых. В многочлене стандартного вида все подобные слагаемые уже должны быть приведены.

• Пример: В многочлене $5ab^2 + 2a^2 - 3ab^2$ члены $5ab^2$ и $-3ab^2$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $ab^2$.

Общий пример приведения многочлена к стандартному виду

Возьмем многочлен: $P = 3a \cdot 2b^2 - 5ab + 4b^2a + 2ab - 10$.

Шаг 1: Привести все члены к стандартному виду.

• $3a \cdot 2b^2 \rightarrow 6ab^2$
• $-5ab$ (уже в стандартном виде)
• $4b^2a \rightarrow 4ab^2$ (принято записывать переменные в алфавитном порядке)
• $2ab$ (уже в стандартном виде)
• $-10$ (уже в стандартном виде)

После первого шага многочлен выглядит так: $P = 6ab^2 - 5ab + 4ab^2 + 2ab - 10$.

Шаг 2: Привести подобные слагаемые.

Находим группы подобных членов:

• Первая группа: $6ab^2$ и $4ab^2$. Складываем их коэффициенты: $6+4=10$. Получаем $10ab^2$.
• Вторая группа: $-5ab$ и $2ab$. Складываем их коэффициенты: $-5+2=-3$. Получаем $-3ab$.

Свободный член $-10$ не имеет подобных.

Результат:

Собрав все вместе, получаем многочлен в стандартном виде: $P = 10ab^2 - 3ab - 10$.

Часто для удобства члены многочлена стандартного вида записывают в порядке убывания степеней их одночленов. В нашем примере степень члена $10ab^2$ равна $1+2=3$, степень члена $-3ab$ равна $1+1=2$, а степень свободного члена $-10$ равна $0$. Таким образом, члены уже упорядочены по убыванию степеней.

Ответ: Многочленом стандартного вида называется многочлен, в котором все его члены-одночлены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.

4. Что называют степенью многочлена стандартного вида?

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых он состоит.

Чтобы найти степень многочлена, необходимо выполнить следующие действия:

1. Убедиться, что многочлен приведен к стандартному виду. Это означает, что все его члены (одночлены) записаны в стандартном виде (числовой коэффициент, за ним переменные в определенном порядке), и все подобные слагаемые приведены (сложены или вычтены).
2. Определить степень каждого одночлена. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех переменных, которые в него входят. Степень свободного члена (числа без переменных) равна нулю.
3. Выбрать наибольшую из полученных степеней. Это число и будет являться степенью всего многочлена.

Пример 1: Найдем степень многочлена $P(x, y) = 5x^4y^3 - 2x^2y^5 + 8x - 1$.

Этот многочлен уже записан в стандартном виде. Найдем степени его членов:

• Степень одночлена $5x^4y^3$ равна сумме показателей степеней $x$ и $y$: $4 + 3 = 7$.
• Степень одночлена $-2x^2y^5$ равна $2 + 5 = 7$.
• Степень одночлена $8x$ (или $8x^1$) равна $1$.
• Степень свободного члена $-1$ равна $0$.

Сравниваем полученные степени: $7, 7, 1, 0$. Наибольшая из них — $7$. Следовательно, степень данного многочлена равна $7$.

Пример 2: Найдем степень многочлена $Q(a) = 9a^3 - a^8 + 4$.

Степени его членов равны $3$, $8$ и $0$. Наибольшая из них — $8$. Следовательно, степень многочлена $Q(a)$ равна $8$.

Ответ: Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.