Страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

403. Найдите сумму многочленов:

1) $-5x^2 - 4$ и $8x^2 - 6$;

2) $2x + 16$ и $-x^2 - 6x - 20$.

1) Чтобы найти сумму многочленов $-5x^2 - 4$ и $8x^2 - 6$, нужно сложить их и привести подобные слагаемые. Запишем сумму в виде выражения:

$(-5x^2 - 4) + (8x^2 - 6)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в ней не меняются:

$-5x^2 - 4 + 8x^2 - 6$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $x^2$ и свободные члены):

$(-5x^2 + 8x^2) + (-4 - 6) = (-5 + 8)x^2 + (-10) = 3x^2 - 10$

Ответ: $3x^2 - 10$.

2) Аналогично найдем сумму многочленов $2x + 16$ и $-x^2 - 6x - 20$. Запишем сумму:

$(2x + 16) + (-x^2 - 6x - 20)$

Раскроем скобки:

$2x + 16 - x^2 - 6x - 20$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Для удобства расположим члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $x$:

$-x^2 + (2x - 6x) + (16 - 20) = -x^2 + (2 - 6)x + (-4) = -x^2 - 4x - 4$

Ответ: $-x^2 - 4x - 4$.

404. Найдите разность многочленов:

1) $x^2 + 8x$ и $4 - 3x;

2) $2x^2 + 5x$ и $4x^2 - 2x;

3) $4x^2 - 7x + 3$ и $x^2 - 8x + 11;

4) $9m^2 - 5m + 4$ и $-10m + m^3 + 5.$

1) Чтобы найти разность многочленов $x^2 + 8x$ и $4 - 3x$, необходимо из первого многочлена вычесть второй. Запишем это действие в виде выражения:

$(x^2 + 8x) - (4 - 3x)$

Далее раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$x^2 + 8x - 4 + 3x$

Теперь приведем подобные слагаемые, то есть сгруппируем и сложим члены с одинаковой переменной в одинаковой степени:

$x^2 + (8x + 3x) - 4$

Выполним сложение:

$x^2 + 11x - 4$

Ответ: $x^2 + 11x - 4$

2) Найдем разность многочленов $2x^2 + 5x$ и $4x^2 - 2x$. Для этого составим выражение:

$(2x^2 + 5x) - (4x^2 - 2x)$

Раскроем скобки, изменив знаки у членов второго многочлена на противоположные:

$2x^2 + 5x - 4x^2 + 2x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 4x^2) + (5x + 2x)$

Выполним вычисления:

$-2x^2 + 7x$

Ответ: $-2x^2 + 7x$

3) Вычислим разность многочленов $4x^2 - 7x + 3$ и $x^2 - 8x + 11$:

$(4x^2 - 7x + 3) - (x^2 - 8x + 11)$

Раскрываем скобки. Знаки во втором многочлене меняются на противоположные:

$4x^2 - 7x + 3 - x^2 + 8x - 11$

Группируем подобные слагаемые:

$(4x^2 - x^2) + (-7x + 8x) + (3 - 11)$

Выполняем действия с коэффициентами:

$3x^2 + x - 8$

Ответ: $3x^2 + x - 8$

4) Найдем разность многочленов $9m^2 - 5m + 4$ и $-10m + m^3 + 5$. Для удобства запишем второй многочлен в стандартном виде, расположив его члены по убыванию степеней: $m^3 - 10m + 5$.

Теперь запишем разность:

$(9m^2 - 5m + 4) - (m^3 - 10m + 5)$

Раскроем скобки, не забывая поменять знаки у вычитаемого многочлена:

$9m^2 - 5m + 4 - m^3 + 10m - 5$

Сгруппируем подобные слагаемые и расположим их в порядке убывания степеней переменной $m$:

$-m^3 + 9m^2 + (-5m + 10m) + (4 - 5)$

Выполним вычисления:

$-m^3 + 9m^2 + 5m - 1$

Ответ: $-m^3 + 9m^2 + 5m - 1$

405. Найдите разность многочленов:

1) $-5.4m + n^2$ и $n^2 + 3.9m$;

2) $a^2 - b^2$ и $-b^2 + a^2 - c^2$;

3) $3x^2 - 6x + 2$ и $x^2 - 7x + 15.$

Чтобы найти разность двух многочленов, нужно из первого многочлена вычесть второй. Для этого нужно записать разность, заключив многочлены в скобки, затем раскрыть скобки (при этом знаки всех членов второго многочлена меняются на противоположные) и привести подобные слагаемые.

1)

Найдем разность многочленов $-5,4m + n^2$ и $n^2 + 3,9m$.

Запишем их разность:

$(-5,4m + n^2) - (n^2 + 3,9m)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$-5,4m + n^2 - n^2 - 3,9m$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-5,4m - 3,9m) + (n^2 - n^2) = -9,3m + 0 = -9,3m$

Ответ: $-9,3m$.

2)

Найдем разность многочленов $a^2 - b^2$ и $-b^2 + a^2 - c^2$.

Запишем их разность:

$(a^2 - b^2) - (-b^2 + a^2 - c^2)$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых во втором многочлене на противоположные:

$a^2 - b^2 + b^2 - a^2 + c^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + c^2 = 0 + 0 + c^2 = c^2$

Ответ: $c^2$.

3)

Найдем разность многочленов $3x^2 - 6x + 2$ и $x^2 - 7x + 15$.

Запишем их разность:

$(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 7x + 15)$

Раскроем скобки, не забывая изменить знаки во втором многочлене:

$3x^2 - 6x + 2 - x^2 + 7x - 15$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые по степеням переменной $x$:

$(3x^2 - x^2) + (-6x + 7x) + (2 - 15) = 2x^2 + x - 13$

Ответ: $2x^2 + x - 13$.

406. Найдите сумму и разность двучленов:

1) $a+b$ и $a-b$;

2) $a-b$ и $b-a$;

3) $b-a$ и $a-b$;

4) $b-a$ и $-a-b$.

1) a + b и a - b;

Найдем сумму двучленов. Для этого сложим их, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(a+b) + (a-b) = a + b + a - b = (a+a) + (b-b) = 2a$.

Найдем разность двучленов. Для этого из первого двучлена вычтем второй:
$(a+b) - (a-b) = a + b - a + b = (a-a) + (b+b) = 2b$.

Ответ: сумма равна $2a$, разность равна $2b$.

2) a - b и b - a;

Сумма:
$(a-b) + (b-a) = a - b + b - a = (a-a) + (-b+b) = 0$.

Разность:
$(a-b) - (b-a) = a - b - b + a = (a+a) + (-b-b) = 2a - 2b$.

Ответ: сумма равна $0$, разность равна $2a - 2b$.

3) b - a и a - b;

Сумма:
$(b-a) + (a-b) = b - a + a - b = (b-b) + (-a+a) = 0$.

Разность:
$(b-a) - (a-b) = b - a - a + b = (b+b) + (-a-a) = 2b - 2a$.

Ответ: сумма равна $0$, разность равна $2b - 2a$.

4) b - a и -a - b.

Сумма:
$(b-a) + (-a-b) = b - a - a - b = (b-b) + (-a-a) = -2a$.

Разность:
$(b-a) - (-a-b) = b - a - (-a) - (-b) = b - a + a + b = (b+b) + (-a+a) = 2b$.

Ответ: сумма равна $-2a$, разность равна $2b$.

407. Найдите сумму и разность двучленов:

1) $2a - b$ и $3a + b$;

2) $b - 2a$ и $b - 3a$;

3) $2a + b$ и $3a - b$;

4) $b - 2a$ и $3a - b$.

1) Для двучленов $2a - b$ и $3a + b$.
Сумма: $(2a - b) + (3a + b) = 2a - b + 3a + b$. После приведения подобных слагаемых: $(2a + 3a) + (-b + b) = 5a$.
Разность: $(2a - b) - (3a + b) = 2a - b - 3a - b$. После приведения подобных слагаемых: $(2a - 3a) + (-b - b) = -a - 2b$.
Ответ: сумма $5a$, разность $-a - 2b$.

2) Для двучленов $b - 2a$ и $b - 3a$.
Сумма: $(b - 2a) + (b - 3a) = b - 2a + b - 3a$. После приведения подобных слагаемых: $(b + b) + (-2a - 3a) = 2b - 5a$.
Разность: $(b - 2a) - (b - 3a) = b - 2a - b + 3a$. После приведения подобных слагаемых: $(b - b) + (-2a + 3a) = a$.
Ответ: сумма $2b - 5a$, разность $a$.

3) Для двучленов $2a + b$ и $3a - b$.
Сумма: $(2a + b) + (3a - b) = 2a + b + 3a - b$. После приведения подобных слагаемых: $(2a + 3a) + (b - b) = 5a$.
Разность: $(2a + b) - (3a - b) = 2a + b - 3a + b$. После приведения подобных слагаемых: $(2a - 3a) + (b + b) = -a + 2b$.
Ответ: сумма $5a$, разность $-a + 2b$.

4) Для двучленов $b - 2a$ и $3a - b$.
Сумма: $(b - 2a) + (3a - b) = b - 2a + 3a - b$. После приведения подобных слагаемых: $(-2a + 3a) + (b - b) = a$.
Разность: $(b - 2a) - (3a - b) = b - 2a - 3a + b$. После приведения подобных слагаемых: $(b + b) + (-2a - 3a) = 2b - 5a$.
Ответ: сумма $a$, разность $2b - 5a$.

408. Упростите выражение:

1) $(5a^4 + 3a^2b - b^3) - (3a^4 - 4a^2b - b^2);$

2) $(12xy - 10x^2 + 9y^2) - (-14x^2 + 9xy - 14y^2);$

3) $(7ab^2 - 8ab + 4a^2b) + (10ab - 7a^2b);$

4) $(2c^2 + 3c) + (-c^2 + c) - (c^2 + 4c - 1).$

1) Чтобы упростить выражение $(5a^4 + 3a^2b - b^3) - (3a^4 - 4a^2b - b^2)$, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых в ней меняются на противоположные.

$(5a^4 + 3a^2b - b^3) - (3a^4 - 4a^2b - b^2) = 5a^4 + 3a^2b - b^3 - 3a^4 + 4a^2b + b^2$

Теперь сгруппируем и сложим подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью):

$(5a^4 - 3a^4) + (3a^2b + 4a^2b) + b^2 - b^3 = 2a^4 + 7a^2b + b^2 - b^3$

Ответ: $2a^4 + 7a^2b + b^2 - b^3$

2) Упростим выражение $(12xy - 10x^2 + 9y^2) - (-14x^2 + 9xy - 14y^2)$. Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные, так как перед ней стоит знак минус.

$(12xy - 10x^2 + 9y^2) - (-14x^2 + 9xy - 14y^2) = 12xy - 10x^2 + 9y^2 + 14x^2 - 9xy + 14y^2$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$(-10x^2 + 14x^2) + (12xy - 9xy) + (9y^2 + 14y^2) = 4x^2 + 3xy + 23y^2$

Ответ: $4x^2 + 3xy + 23y^2$

3) Упростим выражение $(7ab^2 - 8ab + 4a^2b) + (10ab - 7a^2b)$. Так как между скобками стоит знак плюс, скобки можно просто опустить, сохранив знаки слагаемых.

$(7ab^2 - 8ab + 4a^2b) + (10ab - 7a^2b) = 7ab^2 - 8ab + 4a^2b + 10ab - 7a^2b$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$(4a^2b - 7a^2b) + 7ab^2 + (-8ab + 10ab) = -3a^2b + 7ab^2 + 2ab$

Ответ: $-3a^2b + 7ab^2 + 2ab$

4) Упростим выражение $(2c^2 + 3c) + (-c^2 + c) - (c^2 + 4c - 1)$. Раскроем все скобки. Перед первой и второй скобками стоит знак плюс (первая по умолчанию), поэтому знаки слагаемых в них не меняются. Перед третьей скобкой стоит минус, поэтому знаки всех слагаемых в ней меняются на противоположные.

$(2c^2 + 3c) + (-c^2 + c) - (c^2 + 4c - 1) = 2c^2 + 3c - c^2 + c - c^2 - 4c + 1$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$(2c^2 - c^2 - c^2) + (3c + c - 4c) + 1 = (2-1-1)c^2 + (3+1-4)c + 1 = 0 \cdot c^2 + 0 \cdot c + 1 = 1$

Ответ: $1$

409. Упростите выражение:

1) $(3x^2 - 2x) + (-x^2 + 3x);$

2) $(4c^2 - 2cd) - (10c^2 + 8cd);$

3) $(12m^2 - 7n - 3mn) - (6mn - 10n + 14m^2);$

4) $(3n^3 - 2mn + 4m^3) - (2mn + 3n^3).$

1) Чтобы упростить выражение $(3x^2 - 2x) + (-x^2 + 3x)$, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Поскольку перед второй скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых в ней сохраняются: $3x^2 - 2x - x^2 + 3x$.
Сгруппируем подобные члены (слагаемые с одинаковой переменной в одинаковой степени): $(3x^2 - x^2) + (-2x + 3x)$.
Выполнив действия в скобках, получаем: $2x^2 + x$.
Ответ: $2x^2 + x$.

2) Для упрощения выражения $(4c^2 - 2cd) - (10c^2 + 8cd)$, раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «-», все знаки слагаемых внутри этой скобки меняются на противоположные: $4c^2 - 2cd - 10c^2 - 8cd$.
Сгруппируем подобные слагаемые: $(4c^2 - 10c^2) + (-2cd - 8cd)$.
Приведем подобные слагаемые: $-6c^2 - 10cd$.
Ответ: $-6c^2 - 10cd$.

3) Упростим выражение $(12m^2 - 7n - 3mn) - (6mn - 10n + 14m^2)$. Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых в ней меняются на противоположные: $12m^2 - 7n - 3mn - 6mn + 10n - 14m^2$.
Сгруппируем подобные слагаемые по переменным: $(12m^2 - 14m^2) + (-7n + 10n) + (-3mn - 6mn)$.
Выполним вычисления в каждой группе: $-2m^2 + 3n - 9mn$.
Ответ: $-2m^2 + 3n - 9mn$.

4) Упростим выражение $(3n^3 - 2mn + 4m^3) - (2mn + 3n^3)$. Раскрываем скобки, меняя знаки во второй скобке: $3n^3 - 2mn + 4m^3 - 2mn - 3n^3$.
Группируем и приводим подобные слагаемые: $(3n^3 - 3n^3) + 4m^3 + (-2mn - 2mn)$.
Выполняем действия: $0 + 4m^3 - 4mn$. Слагаемое $3n^3$ взаимно уничтожается.
В результате получаем: $4m^3 - 4mn$.
Ответ: $4m^3 - 4mn$.

410. Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену, чтобы их сумма была тождественно равна нулю:

1) $a + b$;

2) $a - b$;

3) $-a - b$?

1) $a + b;$

Чтобы сумма двух выражений была тождественно равна нулю, эти выражения должны быть противоположными. То есть, если у нас есть выражение $X$, то нужно прибавить к нему выражение $-X$, чтобы получить ноль: $X + (-X) = 0$.

Для данного двучлена $a+b$ найдем противоположное ему выражение. Обозначим искомый двучлен как $Y$. Тогда должно выполняться тождество:

$(a+b) + Y = 0$

Чтобы найти $Y$, перенесем двучлен $(a+b)$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$Y = -(a+b)$

Теперь раскроем скобки, поменяв знак каждого слагаемого внутри них:

$Y = -a - b$

Проверим, действительно ли сумма равна нулю:

$(a+b) + (-a-b) = a+b-a-b = (a-a) + (b-b) = 0+0 = 0$.

Ответ: $-a-b$.

2) $a - b;$

Аналогично первому пункту, найдем выражение, противоположное для двучлена $a-b$. Обозначим искомый двучлен как $Y$.

$(a-b) + Y = 0$

Выразим $Y$:

$Y = -(a-b)$

Раскроем скобки:

$Y = -a + b$

Этот двучлен также можно записать как $b-a$.

Проверим: $(a-b) + (-a+b) = a-b-a+b = (a-a) + (-b+b) = 0+0 = 0$.

Ответ: $-a+b$.

3) $-a - b?$

Найдем выражение, противоположное для двучлена $-a-b$. Обозначим искомый двучлен как $Y$.

$(-a-b) + Y = 0$

Выразим $Y$:

$Y = -(-a-b)$

Раскроем скобки. Знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых в скобках на противоположные:

$Y = a+b$

Проверим: $(-a-b) + (a+b) = -a-b+a+b = (-a+a) + (-b+b) = 0+0 = 0$.

Ответ: $a+b$.

411. Решите уравнение:

1) $10 - (7 - 4x - x^2) = x^2 + 8x - 9;$

2) $(5x^2 - 3) - (2x + 5) = 5x^2;$

3) $6 + x^3 - (2x - 9 + x^3) = 5;$

4) $12 - (6 - 9x - x^2) = x^2 + 5x - 14.$

1) $10 - (7 - 4x - x^2) = x^2 + 8x - 9$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$10 - 7 + 4x + x^2 = x^2 + 8x - 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3 + 4x + x^2 = x^2 + 8x - 9$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду. Перенесем все из правой части в левую:

$(3 + 4x + x^2) - (x^2 + 8x - 9) = 0$

$3 + 4x + x^2 - x^2 - 8x + 9 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (4x - 8x) + (3 + 9) = 0$

$0 - 4x + 12 = 0$

$-4x + 12 = 0$

Перенесем 12 в правую часть:

$-4x = -12$

Разделим обе части на -4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-12}{-4}$

$x = 3$

Ответ: 3

2) $(5x^2 - 3) - (2x + 5) = 5x^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$5x^2 - 3 - 2x - 5 = 5x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x^2 - 2x - 8 = 5x^2$

Перенесем $5x^2$ из правой части в левую:

$5x^2 - 2x - 8 - 5x^2 = 0$

Слагаемые $5x^2$ и $-5x^2$ взаимно уничтожаются:

$-2x - 8 = 0$

Перенесем -8 в правую часть:

$-2x = 8$

Разделим обе части на -2:

$x = \frac{8}{-2}$

$x = -4$

Ответ: -4

3) $6 + x^3 - (2x - 9 + x^3) = 5$

Раскроем скобки в левой части:

$6 + x^3 - 2x + 9 - x^3 = 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:

$(x^3 - x^3) - 2x + (6 + 9) = 5$

Слагаемые $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются:

$-2x + 15 = 5$

Перенесем 15 в правую часть:

$-2x = 5 - 15$

$-2x = -10$

Разделим обе части на -2:

$x = \frac{-10}{-2}$

$x = 5$

Ответ: 5

4) $12 - (6 - 9x - x^2) = x^2 + 5x - 14$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$12 - 6 + 9x + x^2 = x^2 + 5x - 14$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$6 + 9x + x^2 = x^2 + 5x - 14$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую:

$(6 + 9x + x^2) - (x^2 + 5x - 14) = 0$

$6 + 9x + x^2 - x^2 - 5x + 14 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (9x - 5x) + (6 + 14) = 0$

Слагаемые $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются:

$4x + 20 = 0$

Перенесем 20 в правую часть:

$4x = -20$

Разделим обе части на 4:

$x = \frac{-20}{4}$

$x = -5$

Ответ: -5