Страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

380. Является ли многочленом выражение:

1) $x^2 + 1;$

2) $4x^2y \cdot 3y;$

3) $\frac{1}{x^2 + 1};$

4) $9;$

5) $xy(x^3 - 3y);$

6) $2x^2 - 2x + 2;$

7) $(m + 1)(m - 4);$

8) $(x + 3y)^2?$

1) Выражение $x^2 + 1$ является суммой двух одночленов: $x^2$ и $1$. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их неотрицательных целых степеней. Сумма одночленов по определению является многочленом.
Ответ: да.

2) Выражение $4x^2y \cdot 3y$ можно упростить, перемножив одночлены: $4x^2y \cdot 3y = 12x^2y^2$. Полученное выражение $12x^2y^2$ является одночленом. Любой одночлен также является многочленом, состоящим из одного члена.
Ответ: да.

3) Выражение $\frac{1}{x^2 + 1}$ содержит деление на выражение с переменной ($x^2 + 1$). Многочлены по определению не могут содержать операцию деления на переменную. Следовательно, это выражение не является многочленом.
Ответ: нет.

4) Число 9 является одночленом (многочленом нулевой степени, так как его можно представить в виде $9x^0$). Следовательно, это многочлен.
Ответ: да.

5) Чтобы определить, является ли выражение многочленом, раскроем скобки: $xy(x^3 - 3y) = xy \cdot x^3 - xy \cdot 3y = x^4y - 3xy^2$. Полученное выражение является алгебраической суммой двух одночленов ($x^4y$ и $-3xy^2$), что по определению является многочленом.
Ответ: да.

6) Выражение $2x^2 - 2x + 2$ уже представлено в стандартном виде многочлена. Оно является алгебраической суммой трех одночленов: $2x^2$, $-2x$ и $2$.
Ответ: да.

7) Данное выражение представляет собой произведение двух многочленов (двучленов). Произведение многочленов всегда является многочленом. Раскроем скобки, чтобы привести его к стандартному виду: $(m + 1)(m - 4) = m^2 - 4m + m - 4 = m^2 - 3m - 4$. Результат является многочленом.
Ответ: да.

8) Это выражение является квадратом двучлена, который является многочленом. Возведение многочлена в натуральную степень всегда дает в результате многочлен. Приведем выражение к стандартному виду многочлена, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $(x + 3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$. Результат является многочленом.
Ответ: да.

381. Назовите одночлены, суммой которых является данный многочлен:

1) $-5a^4 + 3a^2 - a + 8;$

2) $6x^3 - 10x^2y + 7xy^2 + y^3;$

3) $t^3 + 3t^2 - 4t + 5;$

4) $1,8a^3b - 3,7a^2b^2 + 16ab^3 - b^4.$

Многочлен по определению является алгебраической суммой одночленов. Чтобы назвать одночлены, из которых состоит данный многочлен, необходимо выделить каждое слагаемое, из которого он состоит, рассматривая его вместе со знаком.

1) Многочлен $ -5a^4 + 3a^2 - a + 8 $ можно представить в виде суммы следующих одночленов: $ (-5a^4) + (3a^2) + (-a) + (8) $.
Ответ: одночлены $ -5a^4 $, $ 3a^2 $, $ -a $, $ 8 $.

2) Многочлен $ 6x^3 - 10x^2y + 7xy^2 + y^3 $ можно представить в виде суммы следующих одночленов: $ (6x^3) + (-10x^2y) + (7xy^2) + (y^3) $.
Ответ: одночлены $ 6x^3 $, $ -10x^2y $, $ 7xy^2 $, $ y^3 $.

3) Многочлен $ t^3 + 3t^2 - 4t + 5 $ можно представить в виде суммы следующих одночленов: $ (t^3) + (3t^2) + (-4t) + (5) $.
Ответ: одночлены $ t^3 $, $ 3t^2 $, $ -4t $, $ 5 $.

4) Многочлен $ 1,8a^3b - 3,7a^2b^2 + 16ab^3 - b^4 $ можно представить в виде суммы следующих одночленов: $ (1,8a^3b) + (-3,7a^2b^2) + (16ab^3) + (-b^4) $.
Ответ: одночлены $ 1,8a^3b $, $ -3,7a^2b^2 $, $ 16ab^3 $, $ -b^4 $.

382. Запишите многочлен, состоящий из одночленов:

1) $3a$ и $2b$;

2) $6c$ и $-5p$;

3) $x^3$, $2x^2$ и $-3x$;

4) $x^2$, $-xy$ и $y^2$.

Многочлен представляет собой алгебраическую сумму одночленов. Чтобы записать многочлен, состоящий из данных одночленов, необходимо их сложить. При этом сложение с отрицательным одночленом заменяется вычитанием.

1) Даны одночлены $3a$ и $2b$.

Чтобы составить из них многочлен, мы их складываем:

$3a + 2b$

Ответ: $3a + 2b$.

2) Даны одночлены $6c$ и $-5p$.

Складываем их, чтобы получить многочлен:

$6c + (-5p) = 6c - 5p$

Ответ: $6c - 5p$.

3) Даны одночлены $x^3$, $2x^2$ и $-3x$.

Складываем все три одночлена:

$x^3 + 2x^2 + (-3x) = x^3 + 2x^2 - 3x$

Ответ: $x^3 + 2x^2 - 3x$.

4) Даны одночлены $x^2$, $-xy$ и $y^2$.

Складываем их для получения многочлена:

$x^2 + (-xy) + y^2 = x^2 - xy + y^2$

Ответ: $x^2 - xy + y^2$.

383. Запишите многочлен, состоящий из одночленов:

1) $ -4a $ и $ 5b $;

2) $ p^2 $ и $ -5p $;

3) $ a^2 $, $ 2ab $ и $ b^2 $;

4) $ x^4 $, $ -x^3y $, $ x^2y^2 $ и $ -xy^3 $.

1) Чтобы записать многочлен, состоящий из данных одночленов, необходимо найти их алгебраическую сумму. Одночлены в задании: $-4a$ и $5b$.
Их сумма представляет собой выражение: $(-4a) + (5b)$.
При раскрытии скобок, так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри не меняются. Получаем многочлен: $-4a + 5b$.
Ответ: $-4a + 5b$.

2) Даны одночлены: $p^2$ и $-5p$.
Их алгебраическая сумма равна: $(p^2) + (-5p)$.
Упрощая выражение (сложение с отрицательным числом эквивалентно вычитанию), получаем многочлен: $p^2 - 5p$.
Ответ: $p^2 - 5p$.

3) Даны одночлены: $a^2$, $2ab$ и $b^2$.
Чтобы составить из них многочлен, необходимо сложить все три одночлена: $a^2 + 2ab + b^2$.
Этот многочлен является известной формулой сокращенного умножения — квадратом суммы двух выражений: $(a+b)^2$.
Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$.

4) Даны одночлены: $x^4$, $-x^3y$, $x^2y^2$ и $-xy^3$.
Находим их алгебраическую сумму, последовательно складывая все одночлены: $(x^4) + (-x^3y) + (x^2y^2) + (-xy^3)$.
После раскрытия скобок получаем искомый многочлен: $x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3$.
Ответ: $x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3$.

384. Найдите значение многочлена:

1) $2x^2 + x - 3$ при $x = 0,5$;

2) $x^3 + 5xy$ при $x = 3, y = -2$;

3) $a^2 - 2ab + b^2$ при $a = -4, b = 6$;

4) $y^4 + 7y^3 - 2y^2 - y + 10$ при $y = -1$.

1) Чтобы найти значение многочлена $2x^2 + x - 3$ при $x = 0,5$, необходимо подставить значение $x$ в выражение:

$2 \cdot (0,5)^2 + 0,5 - 3$

Сначала выполняем возведение в степень:

$(0,5)^2 = 0,25$

Затем умножение:

$2 \cdot 0,25 = 0,5$

Теперь выполняем сложение и вычитание:

$0,5 + 0,5 - 3 = 1 - 3 = -2$

Ответ: -2.

2) Чтобы найти значение многочлена $x^3 + 5xy$ при $x = 3$ и $y = -2$, подставим значения переменных в выражение:

$3^3 + 5 \cdot 3 \cdot (-2)$

Вычисляем степень:

$3^3 = 27$

Вычисляем произведение:

$5 \cdot 3 \cdot (-2) = 15 \cdot (-2) = -30$

Складываем полученные результаты:

$27 + (-30) = 27 - 30 = -3$

Ответ: -3.

3) Чтобы найти значение многочлена $a^2 - 2ab + b^2$ при $a = -4$ и $b = 6$, можно использовать формулу сокращенного умножения (квадрат разности): $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу:

$(-4 - 6)^2 = (-10)^2 = 100$

Можно также решить задачу прямой подстановкой значений в исходный многочлен:

$(-4)^2 - 2 \cdot (-4) \cdot 6 + 6^2 = 16 - (-48) + 36 = 16 + 48 + 36 = 64 + 36 = 100$

Ответ: 100.

4) Чтобы найти значение многочлена $y^4 + 7y^3 - 2y^2 - y + 10$ при $y = -1$, подставим значение $y$ в выражение:

$(-1)^4 + 7 \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - (-1) + 10$

Вычислим степени числа -1:

$(-1)^4 = 1$ (отрицательное число в четной степени положительно)

$(-1)^3 = -1$ (отрицательное число в нечетной степени отрицательно)

$(-1)^2 = 1$

Подставим эти значения в выражение:

$1 + 7 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 - (-1) + 10 = 1 - 7 - 2 + 1 + 10$

Сгруппируем и сложим положительные и отрицательные числа:

$(1 + 1 + 10) + (-7 - 2) = 12 - 9 = 3$

Ответ: 3.

385. Найдите значение многочлена $2y^3 - 3y^2 + 4y - 6$ при:

1) $y = 1$;

2) $y = 0$;

3) $y = -5$.

Для того чтобы найти значение многочлена $2y^3 - 3y^2 + 4y - 6$ при заданных значениях переменной $y$, необходимо подставить эти значения в выражение и выполнить вычисления.

1) y = 1;
Подставим значение $y = 1$ в многочлен:
$2 \cdot (1)^3 - 3 \cdot (1)^2 + 4 \cdot 1 - 6 = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 4 - 6 = 2 - 3 + 4 - 6$
Сгруппируем слагаемые: $(2 + 4) - (3 + 6) = 6 - 9 = -3$.
Ответ: -3.

2) y = 0;
Подставим значение $y = 0$ в многочлен:
$2 \cdot (0)^3 - 3 \cdot (0)^2 + 4 \cdot 0 - 6 = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 0 - 6 = 0 - 0 + 0 - 6 = -6$.
Ответ: -6.

3) y = -5.
Подставим значение $y = -5$ в многочлен:
$2 \cdot (-5)^3 - 3 \cdot (-5)^2 + 4 \cdot (-5) - 6$
Вычислим степени: $(-5)^3 = -125$ и $(-5)^2 = 25$.
$2 \cdot (-125) - 3 \cdot 25 + 4 \cdot (-5) - 6 = -250 - 75 - 20 - 6$
Сложим все отрицательные числа: $-250 - 75 = -325$; $-325 - 20 = -345$; $-345 - 6 = -351$.
Ответ: -351.

386. Является ли данный многочлен многочленом третьей степени:

1) $3a^2 + 3a + 3;$

2) $a^3 - 1;$

3) $a^2 + 2a - 6;$

4) $a^2b + b^2 - 1;$

5) $a^3 + a^2b^2 + b^3;$

6) $a^3 + a + 1?$

Чтобы определить, является ли многочлен многочленом третьей степени, необходимо найти его степень. Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов (членов). Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Если наибольшая степень равна 3, то многочлен является многочленом третьей степени.

1) В многочлене $3a^2 + 3a + 3$ члены имеют следующие степени: $3a^2$ — степень 2, $3a$ — степень 1, $3$ — степень 0. Наибольшая степень равна 2. Следовательно, это многочлен второй степени.
Ответ: Нет.

2) В многочлене $a^3 - 1$ члены имеют следующие степени: $a^3$ — степень 3, $-1$ — степень 0. Наибольшая степень равна 3. Следовательно, это многочлен третьей степени.
Ответ: Да.

3) В многочлене $a^2 + 2a - 6$ члены имеют следующие степени: $a^2$ — степень 2, $2a$ — степень 1, $-6$ — степень 0. Наибольшая степень равна 2. Следовательно, это многочлен второй степени.
Ответ: Нет.

4) В многочлене $a^2b + b^2 - 1$ члены имеют следующие степени: $a^2b$ — степень $2+1=3$, $b^2$ — степень 2, $-1$ — степень 0. Наибольшая степень равна 3. Следовательно, это многочлен третьей степени.
Ответ: Да.

5) В многочлене $a^3 + a^2b^2 + b^3$ члены имеют следующие степени: $a^3$ — степень 3, $a^2b^2$ — степень $2+2=4$, $b^3$ — степень 3. Наибольшая степень равна 4. Следовательно, это многочлен четвертой степени.
Ответ: Нет.

6) В многочлене $a^3 + a + 1$ члены имеют следующие степени: $a^3$ — степень 3, $a$ — степень 1, $1$ — степень 0. Наибольшая степень равна 3. Следовательно, это многочлен третьей степени.
Ответ: Да.

387. Является ли данный многочлен многочленом четвёртой степени:

1) $a^4 + 2a^2 - 1;$

2) $aa^3 - 5a + 6;$

3) $a^4 + a^2b^2 - a^4;$

4) $a^3b - 2ab^3 + b^5?$

Чтобы определить, является ли многочлен многочленом четвертой степени, нужно найти степень каждого его члена и определить наибольшую из них. Степень многочлена — это наибольшая из степеней его членов. Степень члена (одночлена) — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

1) $a^4 + 2a^2 - 1$
Рассмотрим степени каждого члена многочлена:

• Степень члена $a^4$ равна 4.
• Степень члена $2a^2$ равна 2.
• Степень члена $-1$ (свободного члена) равна 0.

Наибольшая степень среди всех членов равна 4. Следовательно, этот многочлен является многочленом четвертой степени.
Ответ: да.

2) $aa^3 - 5a + 6$
Сначала приведем многочлен к стандартному виду. Член $aa^3$ равен $a^{1+3} = a^4$.
Многочлен в стандартном виде: $a^4 - 5a + 6$.
Рассмотрим степени каждого члена:

• Степень члена $a^4$ равна 4.
• Степень члена $-5a$ равна 1.
• Степень члена $6$ равна 0.

Наибольшая степень равна 4. Следовательно, этот многочлен является многочленом четвертой степени.
Ответ: да.

3) $a^4 + a^2b^2 - a^4$
Приведем подобные члены: $a^4 - a^4 = 0$.
После упрощения многочлен принимает вид $a^2b^2$.
Найдем степень этого члена, сложив показатели степеней переменных: $2 + 2 = 4$.
Степень многочлена равна 4. Следовательно, этот многочлен является многочленом четвертой степени.
Ответ: да.

4) $a^3b - 2ab^3 + b^5$
Рассмотрим степени каждого члена многочлена:

• Степень члена $a^3b$ (т.е. $a^3b^1$) равна $3 + 1 = 4$.
• Степень члена $-2ab^3$ (т.е. $-2a^1b^3$) равна $1 + 3 = 4$.
• Степень члена $b^5$ равна 5.

Наибольшая степень среди всех членов равна 5. Следовательно, этот многочлен является многочленом пятой степени, а не четвертой.
Ответ: нет.

388. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида. Укажите его степень:

1) $4b^2 + a^2 + 9ab - 18b^2 - 9ab$;

2) $8m^3 - 13mn - 9n^2 - 8m^3 - 2mn$;

3) $2a^2b - 7ab^2 - 3a^2b + 2ab^2$;

4) $0,9c^4 + 1,1c^2 + c^4 - 0,6c^2$;

5) $3x^2 + 6x - 5 - x^2 - 10x + 3$;

6) $b^3 - 3bc + 3b^3 + 8bc - 4b^3.$

1) Чтобы преобразовать выражение $4b^2 + a^2 + 9ab - 18b^2 - 9ab$ в многочлен стандартного вида, нужно найти и сложить подобные члены (одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть).
Подобными являются $4b^2$ и $-18b^2$, а также $9ab$ и $-9ab$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(4b^2 - 18b^2) + a^2 + (9ab - 9ab) = -14b^2 + a^2 + 0 = a^2 - 14b^2$.
Получили многочлен $a^2 - 14b^2$. Его члены уже имеют стандартный вид и расположены в порядке убывания степеней переменной $a$ (или в алфавитном порядке).
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степень одночлена $a^2$ равна 2. Степень одночлена $-14b^2$ равна 2. Наибольшая степень равна 2, значит, степень многочлена равна 2.
Ответ: $a^2 - 14b^2$; степень 2.

2) Преобразуем выражение $8m^3 - 13mn - 9n^2 - 8m^3 - 2mn$.
Подобные члены: $8m^3$ и $-8m^3$, а также $-13mn$ и $-2mn$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(8m^3 - 8m^3) + (-13mn - 2mn) - 9n^2 = 0 - 15mn - 9n^2 = -9n^2 - 15mn$.
Получили многочлен $-9n^2 - 15mn$. Запишем его в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степени переменной $n$.
Степень одночлена $-9n^2$ равна 2. Степень одночлена $-15mn$ равна $1+1=2$. Наибольшая степень равна 2, значит, степень многочлена равна 2.
Ответ: $-9n^2 - 15mn$; степень 2.

3) Преобразуем выражение $2a^2b - 7ab^2 - 3a^2b + 2ab^2$.
Подобные члены: $2a^2b$ и $-3a^2b$, а также $-7ab^2$ и $2ab^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2a^2b - 3a^2b) + (-7ab^2 + 2ab^2) = -a^2b - 5ab^2$.
Получили многочлен $-a^2b - 5ab^2$. Он уже в стандартном виде.
Степень одночлена $-a^2b$ равна $2+1=3$. Степень одночлена $-5ab^2$ равна $1+2=3$. Наибольшая степень равна 3, значит, степень многочлена равна 3.
Ответ: $-a^2b - 5ab^2$; степень 3.

4) Преобразуем выражение $0,9c^4 + 1,1c^2 + c^4 - 0,6c^2$.
Подобные члены: $0,9c^4$ и $c^4$, а также $1,1c^2$ и $-0,6c^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(0,9c^4 + c^4) + (1,1c^2 - 0,6c^2) = (0,9+1)c^4 + (1,1-0,6)c^2 = 1,9c^4 + 0,5c^2$.
Получили многочлен $1,9c^4 + 0,5c^2$. Его члены расположены по убыванию степеней, значит, это стандартный вид.
Наибольшая степень переменной $c$ равна 4, значит, степень многочлена равна 4.
Ответ: $1,9c^4 + 0,5c^2$; степень 4.

5) Преобразуем выражение $3x^2 + 6x - 5 - x^2 - 10x + 3$.
Подобные члены: $3x^2$ и $-x^2$; $6x$ и $-10x$; $-5$ и $3$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 - x^2) + (6x - 10x) + (-5 + 3) = 2x^2 - 4x - 2$.
Получили многочлен $2x^2 - 4x - 2$. Он записан в стандартном виде.
Наибольшая степень переменной $x$ равна 2, значит, степень многочлена равна 2.
Ответ: $2x^2 - 4x - 2$; степень 2.

6) Преобразуем выражение $b^3 - 3bc + 3b^3 + 8bc - 4b^3$.
Подобные члены: $b^3$, $3b^3$ и $-4b^3$, а также $-3bc$ и $8bc$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(b^3 + 3b^3 - 4b^3) + (-3bc + 8bc) = (1+3-4)b^3 + (-3+8)bc = 0 \cdot b^3 + 5bc = 5bc$.
Получили одночлен $5bc$, который является многочленом в стандартном виде.
Степень одночлена $5bc$ равна $1+1=2$. Значит, степень многочлена равна 2.
Ответ: $5bc$; степень 2.

389. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида. Укажите его степень:

1) $5x^2 - 10x + 9 - 2x^2 + 14x - 20;$

2) $-m^5 + 2m^4 - 6m^5 + 12m^3 - 18m^3;$

3) $0,2a^3 + 1,4a^2 - 2,2 - 0,9a^3 + 1,8a^2 + 3;$

4) $6x^2y - xy^2 - 8x^2y + 2xy^2 - xy + 7.$

1) Чтобы преобразовать данное выражение в многочлен стандартного вида, нужно