Номер 380, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Многочлены. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 380, страница 70.

Условие.

380. Является ли многочленом выражение:

1) $x^2 + 1;$

2) $4x^2y \cdot 3y;$

3) $\frac{1}{x^2 + 1};$

4) $9;$

5) $xy(x^3 - 3y);$

6) $2x^2 - 2x + 2;$

7) $(m + 1)(m - 4);$

8) $(x + 3y)^2?$

Решение 1.

Решение 5.

1) Выражение $x^2 + 1$ является суммой двух одночленов: $x^2$ и $1$. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их неотрицательных целых степеней. Сумма одночленов по определению является многочленом.
Ответ: да.

2) Выражение $4x^2y \cdot 3y$ можно упростить, перемножив одночлены: $4x^2y \cdot 3y = 12x^2y^2$. Полученное выражение $12x^2y^2$ является одночленом. Любой одночлен также является многочленом, состоящим из одного члена.
Ответ: да.

3) Выражение $\frac{1}{x^2 + 1}$ содержит деление на выражение с переменной ($x^2 + 1$). Многочлены по определению не могут содержать операцию деления на переменную. Следовательно, это выражение не является многочленом.
Ответ: нет.

4) Число 9 является одночленом (многочленом нулевой степени, так как его можно представить в виде $9x^0$). Следовательно, это многочлен.
Ответ: да.

5) Чтобы определить, является ли выражение многочленом, раскроем скобки: $xy(x^3 - 3y) = xy \cdot x^3 - xy \cdot 3y = x^4y - 3xy^2$. Полученное выражение является алгебраической суммой двух одночленов ($x^4y$ и $-3xy^2$), что по определению является многочленом.
Ответ: да.

6) Выражение $2x^2 - 2x + 2$ уже представлено в стандартном виде многочлена. Оно является алгебраической суммой трех одночленов: $2x^2$, $-2x$ и $2$.
Ответ: да.

7) Данное выражение представляет собой произведение двух многочленов (двучленов). Произведение многочленов всегда является многочленом. Раскроем скобки, чтобы привести его к стандартному виду: $(m + 1)(m - 4) = m^2 - 4m + m - 4 = m^2 - 3m - 4$. Результат является многочленом.
Ответ: да.

8) Это выражение является квадратом двучлена, который является многочленом. Возведение многочлена в натуральную степень всегда дает в результате многочлен. Приведем выражение к стандартному виду многочлена, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $(x + 3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$. Результат является многочленом.
Ответ: да.