Номер 377, страница 67 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Одночлены. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 377, страница 67.

Условие.

377. Замените звёздочки такими цифрами, чтобы:

1) число $\ast 5 \ast$ делилось нацело на 3 и на 10;

2) число $13\ast 2\ast$ делилось нацело на 9 и на 5;

3) число $58\ast$ делилось нацело на 2 и на 3.

Найдите все возможные решения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы число вида *5* делилось нацело на 10, его последняя цифра должна быть 0. Таким образом, число имеет вид *50. Обозначим первую неизвестную цифру, которая по правилам записи чисел не может быть нулём, за $x$. Чтобы число $x50$ делилось нацело на 3, сумма его цифр $x + 5 + 0 = x + 5$ должна быть кратна 3. Переберём возможные значения для $x$ от 1 до 9:
- Если $x=1$, сумма цифр $1+5=6$. Число $6$ делится на 3. Получаем число 150.
- Если $x=2$, сумма цифр $2+5=7$. Число $7$ не делится на 3.
- Если $x=3$, сумма цифр $3+5=8$. Число $8$ не делится на 3.
- Если $x=4$, сумма цифр $4+5=9$. Число $9$ делится на 3. Получаем число 450.
- Если $x=5$, сумма цифр $5+5=10$. Число $10$ не делится на 3.
- Если $x=6$, сумма цифр $6+5=11$. Число $11$ не делится на 3.
- Если $x=7$, сумма цифр $7+5=12$. Число $12$ делится на 3. Получаем число 750.
- Если $x=8$, сумма цифр $8+5=13$. Число $13$ не делится на 3.
- Если $x=9$, сумма цифр $9+5=14$. Число $14$ не делится на 3.
Таким образом, мы нашли все возможные решения.
Ответ: 150, 450, 750.

2) Для того чтобы число вида 13*2* делилось нацело на 5, его последняя цифра (вторая звёздочка) должна быть 0 или 5. Обозначим первую звёздочку за $x$, а вторую за $y$. Число имеет вид $13x2y$. Чтобы это число делилось нацело на 9, сумма его цифр $1+3+x+2+y = 6+x+y$ должна быть кратна 9.
Рассмотрим два возможных случая для последней цифры $y$:
- Случай 1: $y=0$. Тогда сумма цифр равна $6+x+0 = 6+x$. Эта сумма должна делиться на 9. Поскольку $x$ — это цифра от 0 до 9, то $6+x$ может быть равно 9 (при $x=3$) или 18 (при $x=12$, что невозможно, так как $x$ — это одна цифра). Следовательно, единственное подходящее значение $x=3$. Получаем число 13320.
- Случай 2: $y=5$. Тогда сумма цифр равна $6+x+5 = 11+x$. Эта сумма должна делиться на 9. $11+x$ может быть равно 18 (при $x=7$) или 27 (при $x=16$, что невозможно). Следовательно, единственное подходящее значение $x=7$. Получаем число 13725.
Таким образом, мы нашли все возможные решения.
Ответ: 13320, 13725.

3) Для того чтобы число вида 58* делилось нацело на 2, его последняя цифра (звёздочка) должна быть чётной: 0, 2, 4, 6 или 8. Обозначим неизвестную цифру за $x$. Число имеет вид $58x$. Чтобы это число делилось нацело на 3, сумма его цифр $5+8+x = 13+x$ должна быть кратна 3.
Проверим все возможные чётные значения для $x$:
- Если $x=0$, сумма цифр $13+0=13$. Не делится на 3.
- Если $x=2$, сумма цифр $13+2=15$. Число $15$ делится на 3. Получаем число 582.
- Если $x=4$, сумма цифр $13+4=17$. Не делится на 3.
- Если $x=6$, сумма цифр $13+6=19$. Не делится на 3.
- Если $x=8$, сумма цифр $13+8=21$. Число $21$ делится на 3. Получаем число 588.
Таким образом, мы нашли все возможные решения.
Ответ: 582, 588.