Номер 370, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Одночлены. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 370, страница 66.

Условие.

370. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось верное равенство:

1) $ (*)^2 \cdot (*)^3 = 9a^2b^3c^5 $

2) $ (*)^3 \cdot (*)^4 = 16a^7b^6c^8 $

3) $ (*)^3 \cdot (*)^2 = -72m^8n^{11} $

4) $ (*)^2 \cdot (*)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9 $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи заменим звёздочки на одночлены $A$ и $B$ и будем решать получившиеся уравнения. Будем использовать свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

1) $(*)^2 \cdot (*)^3 = 9a^2b^3c^5$

Пусть первый одночлен $A = k_1 a^{x_1}b^{y_1}c^{z_1}$, а второй $B = k_2 a^{x_2}b^{y_2}c^{z_2}$. Тогда уравнение принимает вид:

$(k_1 a^{x_1}b^{y_1}c^{z_1})^2 \cdot (k_2 a^{x_2}b^{y_2}c^{z_2})^3 = 9a^2b^3c^5$

Раскроем скобки:

$(k_1^2 a^{2x_1}b^{2y_1}c^{2z_1}) \cdot (k_2^3 a^{3x_2}b^{3y_2}c^{3z_2}) = 9a^2b^3c^5$

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$(k_1^2 k_2^3) a^{2x_1+3x_2} b^{2y_1+3y_2} c^{2z_1+3z_2} = 9a^2b^3c^5$

Приравняем коэффициенты и показатели степеней при одинаковых переменных в левой и правой частях равенства:

• $k_1^2 \cdot k_2^3 = 9$
• $2x_1+3x_2 = 2$
• $2y_1+3y_2 = 3$
• $2z_1+3z_2 = 5$

Найдём одно из возможных решений этой системы уравнений в целых неотрицательных числах для показателей. Для коэффициентов: $9 = 3^2 \cdot 1^3$. Пусть $k_1^2 = 9$ и $k_2^3 = 1$, тогда $k_1 = 3$ и $k_2 = 1$. Для переменной $a$: $2x_1+3x_2 = 2$. Если $x_2=0$, то $2x_1=2$, $x_1=1$. Для переменной $b$: $2y_1+3y_2 = 3$. Если $y_2=1$, то $2y_1+3=3$, $2y_1=0$, $y_1=0$. Для переменной $c$: $2z_1+3z_2 = 5$. Если $z_2=1$, то $2z_1+3=5$, $2z_1=2$, $z_1=1$.

Собираем одночлены:

Первый одночлен: $k_1 a^{x_1}b^{y_1}c^{z_1} = 3 a^1 b^0 c^1 = 3ac$.

Второй одночлен: $k_2 a^{x_2}b^{y_2}c^{z_2} = 1 a^0 b^1 c^1 = bc$.

Проверка: $(3ac)^2 \cdot (bc)^3 = (9a^2c^2) \cdot (b^3c^3) = 9a^2b^3c^5$. Равенство верно.

Ответ: Первую звёздочку заменить на $3ac$, вторую — на $bc$.

2) $(*)^3 \cdot (*)^4 = 16a^7b^6c^8$

Пусть искомые одночлены $A$ и $B$. Уравнение: $A^3 \cdot B^4 = 16a^7b^6c^8$. Представим $A$ и $B$ в общем виде и раскроем скобки, как в предыдущем пункте. Получим систему уравнений:

• $k_1^3 \cdot k_2^4 = 16$
• $3x_1+4x_2 = 7$
• $3y_1+4y_2 = 6$
• $3z_1+4z_2 = 8$

Найдём решение системы. Для коэффициентов: $16 = 1^3 \cdot 2^4$. Пусть $k_1^3 = 1$ и $k_2^4 = 16$, тогда $k_1 = 1$ и $k_2 = 2$. Для переменной $a$: $3x_1+4x_2 = 7$. Если $x_2=1$, то $3x_1+4=7$, $3x_1=3$, $x_1=1$. Для переменной $b$: $3y_1+4y_2 = 6$. Если $y_2=0$, то $3y_1=6$, $y_1=2$. Для переменной $c$: $3z_1+4z_2 = 8$. Если $z_2=2$, то $3z_1+8=8$, $3z_1=0$, $z_1=0$.

Собираем одночлены:

Первый одночлен: $k_1 a^{x_1}b^{y_1}c^{z_1} = 1 a^1 b^2 c^0 = ab^2$.

Второй одночлен: $k_2 a^{x_2}b^{y_2}c^{z_2} = 2 a^1 b^0 c^2 = 2ac^2$.

Проверка: $(ab^2)^3 \cdot (2ac^2)^4 = (a^3b^6) \cdot (16a^4c^8) = 16a^7b^6c^8$. Равенство верно.

Ответ: Первую звёздочку заменить на $ab^2$, вторую — на $2ac^2$.

3) $(*)^3 \cdot (*)^2 = -72m^8n^{11}$

Пусть искомые одночлены $A$ и $B$. Уравнение: $A^3 \cdot B^2 = -72m^8n^{11}$. Получаем систему уравнений:

• $k_1^3 \cdot k_2^2 = -72$
• $3x_1+2x_2 = 8$
• $3y_1+2y_2 = 11$

Найдём решение системы. Для коэффициентов: $-72 = -8 \cdot 9 = (-2)^3 \cdot 3^2$. Так как $k_2^2$ должно быть положительным, то $k_1^3$ должно быть отрицательным. Пусть $k_1^3 = -8$ и $k_2^2 = 9$, тогда $k_1 = -2$ и $k_2 = 3$. Для переменной $m$: $3x_1+2x_2 = 8$. Если $x_1=2$, то $3 \cdot 2+2x_2=8$, $6+2x_2=8$, $2x_2=2$, $x_2=1$. Для переменной $n$: $3y_1+2y_2 = 11$. Если $y_1=3$, то $3 \cdot 3+2y_2=11$, $9+2y_2=11$, $2y_2=2$, $y_2=1$.

Собираем одночлены:

Первый одночлен: $k_1 m^{x_1}n^{y_1} = -2 m^2 n^3$.

Второй одночлен: $k_2 m^{x_2}n^{y_2} = 3 m^1 n^1 = 3mn$.

Проверка: $(-2m^2n^3)^3 \cdot (3mn)^2 = (-8m^6n^9) \cdot (9m^2n^2) = -72m^8n^{11}$. Равенство верно.

Ответ: Первую звёздочку заменить на $-2m^2n^3$, вторую — на $3mn$.

4) $(*)^2 \cdot (*)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9$

Пусть искомые одночлены $A$ и $B$. Уравнение: $A^2 \cdot B^5 = 32x^{29}y^{21}z^9$. Получаем систему уравнений:

• $k_1^2 \cdot k_2^5 = 32$
• $2a_1+5a_2 = 29$
• $2b_1+5b_2 = 21$
• $2c_1+5c_2 = 9$

Найдём решение системы. Для коэффициентов: $32 = 1 \cdot 32 = 1^2 \cdot 2^5$. Пусть $k_1^2 = 1$ и $k_2^5 = 32$, тогда $k_1 = 1$ и $k_2 = 2$. Для переменной $x$: $2a_1+5a_2 = 29$. Если $a_2=5$, то $2a_1+25=29$, $2a_1=4$, $a_1=2$. Для переменной $y$: $2b_1+5b_2 = 21$. Если $b_2=3$, то $2b_1+15=21$, $2b_1=6$, $b_1=3$. Для переменной $z$: $2c_1+5c_2 = 9$. Если $c_2=1$, то $2c_1+5=9$, $2c_1=4$, $c_1=2$.

Собираем одночлены:

Первый одночлен: $k_1 x^{a_1}y^{b_1}z^{c_1} = 1 x^2 y^3 z^2 = x^2y^3z^2$.

Второй одночлен: $k_2 x^{a_2}y^{b_2}z^{c_2} = 2 x^5 y^3 z^1 = 2x^5y^3z$.

Проверка: $(x^2y^3z^2)^2 \cdot (2x^5y^3z)^5 = (x^4y^6z^4) \cdot (32x^{25}y^{15}z^5) = 32x^{29}y^{21}z^9$. Равенство верно.

Ответ: Первую звёздочку заменить на $x^2y^3z^2$, вторую — на $2x^5y^3z$.