Номер 367, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Одночлены. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 367, страница 66.

Условие.

367. Представьте одночлен $81m^4n^{16}$ в виде:

1) произведения двух одночленов, один из которых равен $-\frac{1}{3}mn^{14}$;

2) квадрата одночлена стандартного вида;

3) четвёртой степени одночлена стандартного вида.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) произведения двух одночленов, один из которых равен $-\frac{1}{3}mn^{14}$

Обозначим искомый одночлен через $X$. По условию, произведение $X$ на заданный одночлен должно быть равно $81m^4n^{16}$. Составим уравнение:

$X \cdot \left(-\frac{1}{3}mn^{14}\right) = 81m^4n^{16}$

Чтобы найти $X$, разделим исходный одночлен на заданный:

$X = \frac{81m^4n^{16}}{-\frac{1}{3}mn^{14}}$

Выполним деление, работая отдельно с коэффициентами и переменными.

Деление коэффициентов: $81 \div \left(-\frac{1}{3}\right) = 81 \cdot (-3) = -243$.

Деление переменных (используя правило $a^p \div a^q = a^{p-q}$):

$m^4 \div m^1 = m^{4-1} = m^3$

$n^{16} \div n^{14} = n^{16-14} = n^2$

Таким образом, второй одночлен равен $-243m^3n^2$. Представление исходного одночлена в виде произведения имеет вид:

Ответ: $\left(-\frac{1}{3}mn^{14}\right) \cdot \left(-243m^3n^2\right)$.

2) квадрата одночлена стандартного вида

Требуется найти такой одночлен $Y$ стандартного вида, что $Y^2 = 81m^4n^{16}$. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из выражения $81m^4n^{16}$.

$Y = \sqrt{81m^4n^{16}} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{m^4} \cdot \sqrt{n^{16}}$

Вычислим корень из каждого множителя:

$\sqrt{81} = 9$

$\sqrt{m^4} = m^{4/2} = m^2$

$\sqrt{n^{16}} = n^{16/2} = n^8$

Следовательно, искомый одночлен $Y = 9m^2n^8$. Тогда представление исходного одночлена в виде квадрата:

Ответ: $(9m^2n^8)^2$.

3) четвёртой степени одночлена стандартного вида

Требуется найти такой одночлен $Z$ стандартного вида, что $Z^4 = 81m^4n^{16}$. Для этого необходимо извлечь корень четвёртой степени из выражения $81m^4n^{16}$.

$Z = \sqrt[4]{81m^4n^{16}} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{m^4} \cdot \sqrt[4]{n^{16}}$

Вычислим корень четвёртой степени из каждого множителя:

$\sqrt[4]{81} = 3$, поскольку $3^4 = 81$.

$\sqrt[4]{m^4} = m^{4/4} = m$.

$\sqrt[4]{n^{16}} = n^{16/4} = n^4$.

Следовательно, искомый одночлен $Z = 3mn^4$. Тогда представление исходного одночлена в виде четвёртой степени:

Ответ: $(3mn^4)^4$.