Номер 365, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Одночлены. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 365, страница 66.

Условие.

365. Представьте в виде куба одночлена стандартного вида выражение:

1) $8x^6$.

2) $-27x^3y^9$,

3) $0,001x^{12}y^{18}$,

4) $-\frac{125}{216}x^{15}y^{21}z^{24}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы представить выражение в виде куба одночлена стандартного вида, нужно найти такой одночлен, который при возведении в третью степень (в куб) даст исходное выражение. Это означает, что для каждого множителя в исходном выражении (коэффициента и каждой переменной в степени) нужно найти кубический корень.

1) $8x^6$

Найдем одночлен, куб которого равен $8x^6$. Для этого извлечем кубический корень из коэффициента и из переменной части.
Кубический корень из коэффициента $8$ равен $2$, так как $2^3 = 8$.
Для переменной $x^6$ используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно найти такую степень $k$, чтобы $(x^k)^3 = x^{3k} = x^6$. Отсюда $3k = 6$, и $k = 2$. Таким образом, $\sqrt[3]{x^6} = x^2$.
Собираем одночлен: $2x^2$.
Проверка: $(2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8x^{2 \cdot 3} = 8x^6$.
Ответ: $(2x^2)^3$.

2) $-27x^3y^9$

Найдем одночлен, куб которого равен $-27x^3y^9$.
Кубический корень из коэффициента $-27$ равен $-3$, так как $(-3)^3 = -27$.
Кубический корень из $x^3$ равен $x$, так как $(x^1)^3 = x^3$.
Кубический корень из $y^9$ равен $y^3$, так как $(y^3)^3 = y^{3 \cdot 3} = y^9$.
Собираем одночлен: $-3xy^3$.
Проверка: $(-3xy^3)^3 = (-3)^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = -27x^3y^9$.
Ответ: $(-3xy^3)^3$.

3) $0.001x^{12}y^{18}$

Найдем одночлен, куб которого равен $0.001x^{12}y^{18}$.
Кубический корень из коэффициента $0.001$ равен $0.1$, так как $(0.1)^3 = 0.001$.
Кубический корень из $x^{12}$ равен $x^4$, так как $(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}$.
Кубический корень из $y^{18}$ равен $y^6$, так как $(y^6)^3 = y^{6 \cdot 3} = y^{18}$.
Собираем одночлен: $0.1x^4y^6$.
Проверка: $(0.1x^4y^6)^3 = (0.1)^3 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^6)^3 = 0.001x^{12}y^{18}$.
Ответ: $(0.1x^4y^6)^3$.

4) $-\frac{125}{216}x^{15}y^{21}z^{24}$

Найдем одночлен, куб которого равен $-\frac{125}{216}x^{15}y^{21}z^{24}$.
Кубический корень из коэффициента $-\frac{125}{216}$ равен $-\frac{5}{6}$, так как $(-\frac{5}{6})^3 = -\frac{5^3}{6^3} = -\frac{125}{216}$.
Кубический корень из $x^{15}$ равен $x^5$, так как $(x^5)^3 = x^{5 \cdot 3} = x^{15}$.
Кубический корень из $y^{21}$ равен $y^7$, так как $(y^7)^3 = y^{7 \cdot 3} = y^{21}$.
Кубический корень из $z^{24}$ равен $z^8$, так как $(z^8)^3 = z^{8 \cdot 3} = z^{24}$.
Собираем одночлен: $-\frac{5}{6}x^5y^7z^8$.
Проверка: $(-\frac{5}{6}x^5y^7z^8)^3 = (-\frac{5}{6})^3 \cdot (x^5)^3 \cdot (y^7)^3 \cdot (z^8)^3 = -\frac{125}{216}x^{15}y^{21}z^{24}$.
Ответ: $(-\frac{5}{6}x^5y^7z^8)^3$.