Номер 369, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Одночлены. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 369, страница 66.

Условие.

369. Упростите выражение:

1) $20a^8 \cdot (9a)^2$;

2) $(-b^5)^4 \cdot 12b^6$;

3) $(3m^6n^3)^4 \cdot \left(-\frac{1}{81}m^9n\right)$;

4) $(0,2x^7y^8)^3 \cdot 6x^2y^2$;

5) $\left(-\frac{1}{2}ab^4\right)^3 \cdot (4a^6)^2$;

6) $\left(-\frac{2}{3}x^2y\right)^5 \cdot \left(-\frac{3}{4}xy^2\right)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для упрощения выражения $20a^8 \cdot (9a)^2$ сначала возведем в степень второй множитель, используя свойство степени произведения $(xy)^n=x^ny^n$:
$(9a)^2 = 9^2 \cdot a^2 = 81a^2$.
Теперь умножим одночлены, перемножив их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями (используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$20a^8 \cdot 81a^2 = (20 \cdot 81) \cdot (a^8 \cdot a^2) = 1620a^{8+2} = 1620a^{10}$.

Ответ: $1620a^{10}$

2) Для упрощения выражения $(-b^5)^4 \cdot 12b^6$ сначала возведем в степень первый множитель. Так как степень четная (4), знак минус исчезает. Используем свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(-b^5)^4 = (b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$.
Теперь выполним умножение:
$b^{20} \cdot 12b^6 = 12 \cdot (b^{20} \cdot b^6) = 12b^{20+6} = 12b^{26}$.

Ответ: $12b^{26}$

3) Упростим выражение $(3m^6n^3)^4 \cdot (-\frac{1}{81}m^9n)$. Возведем первый множитель в четвертую степень:
$(3m^6n^3)^4 = 3^4 \cdot (m^6)^4 \cdot (n^3)^4 = 81m^{6 \cdot 4}n^{3 \cdot 4} = 81m^{24}n^{12}$.
Теперь перемножим полученный одночлен со вторым множителем:
$81m^{24}n^{12} \cdot (-\frac{1}{81}m^9n) = (81 \cdot (-\frac{1}{81})) \cdot (m^{24} \cdot m^9) \cdot (n^{12} \cdot n) = -1 \cdot m^{24+9} \cdot n^{12+1} = -m^{33}n^{13}$.

Ответ: $-m^{33}n^{13}$

4) Упростим выражение $(0,2x^7y^8)^3 \cdot 6x^2y^2$. Сначала возведем в куб первый множитель:
$(0,2x^7y^8)^3 = (0,2)^3 \cdot (x^7)^3 \cdot (y^8)^3 = 0,008x^{7 \cdot 3}y^{8 \cdot 3} = 0,008x^{21}y^{24}$.
Теперь выполним умножение:
$0,008x^{21}y^{24} \cdot 6x^2y^2 = (0,008 \cdot 6) \cdot (x^{21} \cdot x^2) \cdot (y^{24} \cdot y^2) = 0,048x^{21+2}y^{24+2} = 0,048x^{23}y^{26}$.

Ответ: $0,048x^{23}y^{26}$

5) Упростим выражение $(-\frac{1}{2}ab^4)^3 \cdot (4a^6)^2$. Возведем каждый из множителей в соответствующую степень.
Первый множитель: $(-\frac{1}{2}ab^4)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot a^3 \cdot (b^4)^3 = -\frac{1}{8}a^3b^{12}$.
Второй множитель: $(4a^6)^2 = 4^2 \cdot (a^6)^2 = 16a^{12}$.
Перемножим результаты:
$(-\frac{1}{8}a^3b^{12}) \cdot (16a^{12}) = (-\frac{1}{8} \cdot 16) \cdot (a^3 \cdot a^{12}) \cdot b^{12} = -2a^{3+12}b^{12} = -2a^{15}b^{12}$.

Ответ: $-2a^{15}b^{12}$

6) Упростим выражение $(-\frac{2}{3}x^2y)^5 \cdot (-\frac{3}{4}xy^2)^2$. Возведем каждый множитель в степень.
Первый множитель (степень нечетная, знак сохраняется):
$(-\frac{2}{3}x^2y)^5 = (-\frac{2}{3})^5 \cdot (x^2)^5 \cdot y^5 = -\frac{2^5}{3^5}x^{10}y^5 = -\frac{32}{243}x^{10}y^5$.
Второй множитель (степень четная, результат положительный):
$(-\frac{3}{4}xy^2)^2 = (-\frac{3}{4})^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 = \frac{3^2}{4^2}x^2y^4 = \frac{9}{16}x^2y^4$.
Перемножим результаты, сокращая дроби:
$(-\frac{32}{243}x^{10}y^5) \cdot (\frac{9}{16}x^2y^4) = (-\frac{32}{243} \cdot \frac{9}{16}) \cdot (x^{10}x^2) \cdot (y^5y^4) = (-\frac{32 \cdot 9}{243 \cdot 16})x^{10+2}y^{5+4} = (-\frac{2 \cdot 1}{27 \cdot 1})x^{12}y^9 = -\frac{2}{27}x^{12}y^9$.

Ответ: $-\frac{2}{27}x^{12}y^9$