Номер 360, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Одночлены. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 360, страница 65.

Условие.

360. Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):

1) одночлен $6x^2$ при любом значении $x$ принимает положительные значения;

2) одночлен $0.4a^4b^6$ при любых значениях $a$ и $b$ принимает неотрицательные значения;

3) одночлен $-\frac{1}{3}a^3$ при любом значении $a$ принимает отрицательные значения;

4) одночлен $-5b^2$ при любом значении $b$ принимает отрицательные значения?

Решение 1.

Решение 5.

1) одночлен $6x^2$ при любом значении $x$ принимает положительные значения;

Данное утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы одно значение переменной $x$, при котором одночлен $6x^2$ не будет положительным.
Рассмотрим случай, когда $x = 0$.
Подставим это значение в одночлен: $6 \cdot 0^2 = 6 \cdot 0 = 0$.
Число 0 не является положительным. Следовательно, утверждение, что одночлен принимает положительные значения при любом значении $x$, является ложным.

Ответ: неверно.

2) одночлен $0,4a^4b^6$ при любых значениях $a$ и $b$ принимает неотрицательные значения;

Данное утверждение верно. Проанализируем одночлен $0,4a^4b^6$.
1. Коэффициент $0,4$ — положительное число.
2. Переменная $a$ возводится в четную степень 4. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $a^4 \ge 0$.
3. Переменная $b$ возводится в четную степень 6. Аналогично, $b^6 \ge 0$.
Произведение положительного числа ($0,4$) и двух неотрицательных чисел ($a^4$ и $b^6$) всегда будет неотрицательным числом. Таким образом, $0,4a^4b^6 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.

Ответ: верно.

3) одночлен $-\frac{1}{3}a^3$ при любом значении $a$ принимает отрицательные значения;

Данное утверждение неверно. Проверим его, подставив различные значения $a$.
- Если $a$ — положительное число, например $a=2$, то $a^3 = 2^3 = 8$. Значение одночлена: $-\frac{1}{3} \cdot 8 = -\frac{8}{3}$. Это отрицательное число, что соответствует утверждению.
- Однако, если $a$ — отрицательное число, например $a=-1$, то $a^3 = (-1)^3 = -1$. Значение одночлена: $-\frac{1}{3} \cdot (-1) = \frac{1}{3}$. Это положительное число, что противоречит утверждению.
- Если $a=0$, то $a^3=0$. Значение одночлена: $-\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$. Число 0 не является отрицательным.
Поскольку существуют значения $a$ (любое $a \le 0$), при которых одночлен не принимает отрицательные значения, утверждение ложно.

Ответ: неверно.

4) одночлен $-5b^2$ при любом значении $b$ принимает отрицательные значения?

Данное утверждение неверно. Рассмотрим одночлен $-5b^2$.
Коэффициент $-5$ — отрицательное число.
Множитель $b^2$ является квадратом числа, поэтому он всегда неотрицателен ($b^2 \ge 0$) при любом значении $b$.
- Если $b \neq 0$, то $b^2 > 0$, и произведение отрицательного числа $(-5)$ на положительное ($b^2$) будет отрицательным.
- Однако, если $b = 0$, то $b^2 = 0$. Значение одночлена будет: $-5 \cdot 0^2 = -5 \cdot 0 = 0$.
Число 0 не является отрицательным. Так как существует значение $b$ ($b=0$), при котором одночлен не принимает отрицательное значение, утверждение является ложным.

Ответ: неверно.