Страница 67 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

371. Значения переменных x и y таковы, что $5x^2y^4 = 6$. Найдите значение выражения:

1) $1,5x^2y^4$,

2) $25x^4y^8$,

3) $-25x^6y^{12}$.

1) Чтобы найти значение выражения $1.5x^2y^4$, мы можем преобразовать его, используя данное нам равенство $5x^2y^4 = 6$. Для этого вынесем за скобки множитель $x^2y^4$ и представим выражение в виде произведения.
$1.5x^2y^4 = 1.5 \cdot (x^2y^4)$.
Из исходного условия $5x^2y^4 = 6$ выразим $x^2y^4$:
$x^2y^4 = \frac{6}{5} = 1.2$.
Теперь подставим найденное значение в наше выражение:
$1.5 \cdot 1.2 = 1.8$.
Ответ: 1.8

2) Чтобы найти значение выражения $25x^4y^8$, воспользуемся свойствами степеней. Заметим, что $25 = 5^2$, $x^4 = (x^2)^2$ и $y^8 = (y^4)^2$. Преобразуем выражение:
$25x^4y^8 = 5^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^4)^2 = (5x^2y^4)^2$.
По условию задачи $5x^2y^4 = 6$. Подставим это значение в полученное выражение:
$(6)^2 = 36$.
Ответ: 36

3) Чтобы найти значение выражения $-25x^6y^{12}$, снова воспользуемся свойствами степеней: $x^6 = (x^2)^3$ и $y^{12} = (y^4)^3$.
$-25x^6y^{12} = -25 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^4)^3 = -25 \cdot (x^2y^4)^3$.
Как мы нашли в первом пункте, из условия $5x^2y^4 = 6$ следует, что $x^2y^4 = 1.2$.
Подставим это значение в наше выражение:
$-25 \cdot (1.2)^3 = -25 \cdot (1.2 \cdot 1.2 \cdot 1.2) = -25 \cdot 1.728$.
Выполним умножение:
$-25 \cdot 1.728 = -43.2$.
Ответ: -43.2

372. Значения переменных a и b таковы, что $3ab^3 = 4$. Найдите значение выражения:

1) $-1,2ab^3$;

2) $27a^3b^9$;

3) $-\frac{2}{3}a^2b^6$.

По условию задачи дано равенство $3ab^3 = 4$. Мы будем использовать это соотношение для нахождения значений предложенных выражений.

1) $-1,2ab^3$;

Для решения выразим произведение $ab^3$ из данного равенства. Разделив обе части $3ab^3 = 4$ на 3, получим:

$ab^3 = \frac{4}{3}$

Теперь подставим полученное значение в выражение $-1,2ab^3$:

$-1,2ab^3 = -1,2 \cdot (ab^3) = -1,2 \cdot \frac{4}{3}$

Чтобы выполнить вычисление, представим десятичное число $-1,2$ в виде обыкновенной дроби: $-1,2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}$.

Теперь перемножим дроби:

$-\frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 3} = -\frac{24}{15}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$-\frac{24}{15} = -\frac{8}{5} = -1,6$

Ответ: -1,6

2) $27a^3b^9$;

Преобразуем данное выражение, чтобы оно содержало $3ab^3$. Воспользуемся свойствами степеней: $x^n y^n = (xy)^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

$27a^3b^9 = 3^3 \cdot a^3 \cdot b^9 = 3^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3$

Сгруппируем множители под одной степенью:

$(3 \cdot a \cdot b^3)^3 = (3ab^3)^3$

По условию $3ab^3 = 4$. Подставим это значение в полученное выражение:

$(3ab^3)^3 = 4^3 = 64$

Ответ: 64

3) $-\frac{2}{3}a^2b^6$.

Сначала преобразуем степенную часть выражения, $a^2b^6$, чтобы выделить $ab^3$.

$a^2b^6 = a^2 \cdot (b^3)^2 = (ab^3)^2$

Теперь все выражение можно записать в виде:

$-\frac{2}{3}a^2b^6 = -\frac{2}{3}(ab^3)^2$

Из исходного равенства $3ab^3 = 4$ найдем значение $ab^3 = \frac{4}{3}$. Подставим его в наше выражение:

$-\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 = -\frac{2}{3} \cdot \frac{4^2}{3^2} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$

Выполним умножение дробей:

$-\frac{2 \cdot 16}{3 \cdot 9} = -\frac{32}{27}$

Ответ: $-\frac{32}{27}$

373. Значения переменных $a$, $b$ и $c$ таковы, что $2a^2b = 7$, $a^3c^2 = 2$. Найдите значение выражения:

1) $6a^5bc^2$

2) $a^7b^2c^2$

3) $2\frac{1}{7}a^8bc^4$

1) Чтобы найти значение выражения $6a^5bc^2$, мы можем использовать данные нам равенства $2a^2b = 7$ и $a^3c^2 = 2$.
Заметим, что произведение левых частей этих равенств дает нам часть искомого выражения. Сгруппируем множители в искомом выражении таким образом, чтобы использовать известные нам комбинации:
$6a^5bc^2 = 3 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot b \cdot c^2 = 3 \cdot (2a^2b) \cdot (a^3c^2)$
Теперь мы можем подставить числовые значения из условий задачи:
$3 \cdot (7) \cdot (2) = 42$
Ответ: 42

2) Чтобы найти значение выражения $a^7b^2c^2$, воспользуемся теми же исходными данными: $2a^2b = 7$ и $a^3c^2 = 2$.
Для того чтобы получить $b^2$ в выражении, возведем первое равенство в квадрат:
$(2a^2b)^2 = 7^2$
$4a^4b^2 = 49$
Из этого следует, что $a^4b^2 = \frac{49}{4}$.
Теперь представим искомое выражение $a^7b^2c^2$ в виде произведения известных нам частей. Заметим, что $a^7 = a^4 \cdot a^3$.
$a^7b^2c^2 = a^{4+3}b^2c^2 = (a^4b^2) \cdot (a^3c^2)$
Подставим полученные и данные значения:
$a^7b^2c^2 = \frac{49}{4} \cdot 2 = \frac{49}{2} = 24,5$
Ответ: 24,5

3) Чтобы найти значение выражения $2\frac{1}{7}a^8bc^4$, сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$. Таким образом, выражение равно $\frac{15}{7}a^8bc^4$.
Нам дано: $2a^2b = 7$ и $a^3c^2 = 2$.
Из первого равенства выразим $a^2b$: $a^2b = \frac{7}{2}$.
Из второго равенства получим выражение для $c^4$, возведя его в квадрат:
$(a^3c^2)^2 = 2^2$
$a^6c^4 = 4$.
Теперь представим искомое выражение $\frac{15}{7}a^8bc^4$ через полученные части. Заметим, что $a^8 = a^2 \cdot a^6$.
$\frac{15}{7}a^8bc^4 = \frac{15}{7} \cdot a^{2+6} \cdot b \cdot c^4 = \frac{15}{7} \cdot (a^2b) \cdot (a^6c^4)$
Подставим числовые значения:
$\frac{15}{7} \cdot (\frac{7}{2}) \cdot (4) = \frac{15 \cdot 7 \cdot 4}{7 \cdot 2}$
Сокращаем дроби:
$15 \cdot \frac{4}{2} = 15 \cdot 2 = 30$
Ответ: 30

374. Значения переменных m, n и p таковы, что $m^3n^2 = 3$, $\frac{1}{3}n^3p^2 = 5$. Найдите значение выражения:

1) $m^3n^5p^2$;

2) $2m^3n^8p^4$;

3) $-0,4m^{12}n^{11}p^2$.

Для решения задачи нам даны два равенства:

1) $m^3n^2 = 3$

2) $\frac{1}{3}n^3p^2 = 5$

Из второго равенства можно выразить $n^3p^2$. Для этого умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot \frac{1}{3}n^3p^2 = 5 \cdot 3$

$n^3p^2 = 15$

Теперь у нас есть два основных выражения, которые мы будем использовать для решения:

$m^3n^2 = 3$

$n^3p^2 = 15$

Теперь найдем значения для каждого из предложенных выражений.

1) m³n⁵p²; Чтобы найти значение этого выражения, представим его в виде произведения известных нам величин. Разложим степень $n^5$ на множители $n^2$ и $n^3$, а затем сгруппируем переменные: $m^3n^5p^2 = m^3 \cdot (n^2 \cdot n^3) \cdot p^2 = (m^3n^2) \cdot (n^3p^2)$. Теперь подставим известные значения в полученное выражение: $(m^3n^2) \cdot (n^3p^2) = 3 \cdot 15 = 45$. Ответ: 45

2) 2m³n⁸p⁴; Преобразуем данное выражение, чтобы использовать известные нам равенства. Выделим множитель $m^3n^2$: $2m^3n^8p^4 = 2 \cdot (m^3n^2) \cdot n^6p^4$. Подставим значение $m^3n^2 = 3$: $2 \cdot 3 \cdot n^6p^4 = 6n^6p^4$. Теперь преобразуем оставшуюся часть $n^6p^4$. Заметим, что $n^6 = (n^3)^2$ и $p^4 = (p^2)^2$. Таким образом: $n^6p^4 = (n^3)^2(p^2)^2 = (n^3p^2)^2$. Подставим значение $n^3p^2 = 15$: $6 \cdot (n^3p^2)^2 = 6 \cdot (15)^2 = 6 \cdot 225 = 1350$. Ответ: 1350

3) -0,4m¹²n¹¹p²; Преобразуем это выражение, используя ту же логику. Сначала представим степени переменных в виде произведений, которые позволят нам выделить известные группы. $m^{12} = (m^3)^4$. $n^{11} = n^8 \cdot n^3 = (n^2)^4 \cdot n^3$. Сгруппируем выражение следующим образом: $-0,4m^{12}n^{11}p^2 = -0,4 \cdot (m^3)^4 \cdot ((n^2)^4 \cdot n^3) \cdot p^2 = -0,4 \cdot ((m^3)^4(n^2)^4) \cdot (n^3p^2)$. Теперь объединим степени с одинаковым показателем: $-0,4 \cdot (m^3n^2)^4 \cdot (n^3p^2)$. Подставим известные значения $m^3n^2 = 3$ и $n^3p^2 = 15$: $-0,4 \cdot (3)^4 \cdot 15$. Вычислим значение: $-0,4 \cdot 81 \cdot 15 = (-0,4 \cdot 15) \cdot 81 = -6 \cdot 81 = -486$. Ответ: -486

375. Некоторое число сначала уменьшили на 10%, а потом результат увеличили на 20%. После этого получили число, которое на 48 больше данного. Найдите данное число.

Для решения задачи введем переменную. Пусть искомое (данное) число равно $x$.

Первым действием число уменьшили на 10%. Уменьшить число на 10% — это то же самое, что найти 90% от этого числа. В виде десятичной дроби это составляет 0,9.
Результат после первого действия: $x \times (1 - \frac{10}{100}) = x \times (1 - 0,1) = 0,9x$.

Вторым действием полученный результат ($0,9x$) увеличили на 20%. Увеличить число на 20% — это то же самое, что найти 120% от этого числа. В виде десятичной дроби это составляет 1,2.
Результат после второго действия: $(0,9x) \times (1 + \frac{20}{100}) = (0,9x) \times 1,2 = 1,08x$.

Согласно условию, итоговое число ($1,08x$) на 48 больше, чем данное число ($x$). Составим уравнение на основе этого условия:
$1,08x = x + 48$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем $x$ в левую часть уравнения:
$1,08x - x = 48$
$0,08x = 48$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0,08:
$x = \frac{48}{0,08}$
Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{48 \times 100}{0,08 \times 100} = \frac{4800}{8}$
$x = 600$

Таким образом, данное число равно 600.

Ответ: 600

376. (Задача из русского фольклора)

Летели стая гусей, а навстречу ей летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!». «Нас не сто гусей, — отвечает ему вожак стаи, — если бы нас было столько, сколько сейчас, да ещё столько, да полстолько, да четверть столько, да ещё ты, гусь, тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стае гусей?

Для решения этой задачи давайте обозначим искомое количество гусей в стае переменной $x$.

Из условия задачи мы можем составить уравнение. Вожак стаи перечисляет следующие слагаемые, которые в сумме должны дать 100:

«если бы нас было столько, сколько сейчас» — это $x$;
«да еще столько» — это еще $x$;
«да полстолько» — это $\frac{1}{2}x$;
«да четверть столько» — это $\frac{1}{4}x$;
«да еще ты, гусь» — это $1$.

Сложив все эти части, мы получим 100. Таким образом, можно составить следующее уравнение:

$x + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Теперь приступим к решению этого уравнения.

Сначала сложим слагаемые с $x$ и перенесем свободный член (1) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$2x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = 100 - 1$

$2x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = 99$

Для того чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который в данном случае равен 4. Для этого $2x$ представим как $\frac{8x}{4}$, а $\frac{1}{2}x$ как $\frac{2x}{4}$:

$\frac{8x}{4} + \frac{2x}{4} + \frac{x}{4} = 99$

Теперь можно сложить числители дробей в левой части уравнения:

$\frac{8x + 2x + x}{4} = 99$

$\frac{11x}{4} = 99$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4, а затем разделим на 11:

$11x = 99 \cdot 4$

$11x = 396$

$x = \frac{396}{11}$

$x = 36$

Таким образом, мы нашли, что в стае было 36 гусей.

Чтобы убедиться в правильности решения, сделаем проверку. Подставим найденное значение в исходное условие: $36$ (гусей в стае) + $36$ (еще столько) + $\frac{36}{2}$ (полстолько) + $\frac{36}{4}$ (четверть столько) + $1$ (встречный гусь) = $36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100$. Условие задачи выполняется.

Ответ: в стае было 36 гусей.

377. Замените звёздочки такими цифрами, чтобы:

1) число $\ast 5 \ast$ делилось нацело на 3 и на 10;

2) число $13\ast 2\ast$ делилось нацело на 9 и на 5;

3) число $58\ast$ делилось нацело на 2 и на 3.

Найдите все возможные решения.

1) Для того чтобы число вида *5* делилось нацело на 10, его последняя цифра должна быть 0. Таким образом, число имеет вид *50. Обозначим первую неизвестную цифру, которая по правилам записи чисел не может быть нулём, за $x$. Чтобы число $x50$ делилось нацело на 3, сумма его цифр $x + 5 + 0 = x + 5$ должна быть кратна 3. Переберём возможные значения для $x$ от 1 до 9:
- Если $x=1$, сумма цифр $1+5=6$. Число $6$ делится на 3. Получаем число 150.
- Если $x=2$, сумма цифр $2+5=7$. Число $7$ не делится на 3.
- Если $x=3$, сумма цифр $3+5=8$. Число $8$ не делится на 3.
- Если $x=4$, сумма цифр $4+5=9$. Число $9$ делится на 3. Получаем число 450.
- Если $x=5$, сумма цифр $5+5=10$. Число $10$ не делится на 3.
- Если $x=6$, сумма цифр $6+5=11$. Число $11$ не делится на 3.
- Если $x=7$, сумма цифр $7+5=12$. Число $12$ делится на 3. Получаем число 750.
- Если $x=8$, сумма цифр $8+5=13$. Число $13$ не делится на 3.
- Если $x=9$, сумма цифр $9+5=14$. Число $14$ не делится на 3.
Таким образом, мы нашли все возможные решения.
Ответ: 150, 450, 750.

2) Для того чтобы число вида 13*2* делилось нацело на 5, его последняя цифра (вторая звёздочка) должна быть 0 или 5. Обозначим первую звёздочку за $x$, а вторую за $y$. Число имеет вид $13x2y$. Чтобы это число делилось нацело на 9, сумма его цифр $1+3+x+2+y = 6+x+y$ должна быть кратна 9.
Рассмотрим два возможных случая для последней цифры $y$:
- Случай 1: $y=0$. Тогда сумма цифр равна $6+x+0 = 6+x$. Эта сумма должна делиться на 9. Поскольку $x$ — это цифра от 0 до 9, то $6+x$ может быть равно 9 (при $x=3$) или 18 (при $x=12$, что невозможно, так как $x$ — это одна цифра). Следовательно, единственное подходящее значение $x=3$. Получаем число 13320.
- Случай 2: $y=5$. Тогда сумма цифр равна $6+x+5 = 11+x$. Эта сумма должна делиться на 9. $11+x$ может быть равно 18 (при $x=7$) или 27 (при $x=16$, что невозможно). Следовательно, единственное подходящее значение $x=7$. Получаем число 13725.
Таким образом, мы нашли все возможные решения.
Ответ: 13320, 13725.

3) Для того чтобы число вида 58* делилось нацело на 2, его последняя цифра (звёздочка) должна быть чётной: 0, 2, 4, 6 или 8. Обозначим неизвестную цифру за $x$. Число имеет вид $58x$. Чтобы это число делилось нацело на 3, сумма его цифр $5+8+x = 13+x$ должна быть кратна 3.
Проверим все возможные чётные значения для $x$:
- Если $x=0$, сумма цифр $13+0=13$. Не делится на 3.
- Если $x=2$, сумма цифр $13+2=15$. Число $15$ делится на 3. Получаем число 582.
- Если $x=4$, сумма цифр $13+4=17$. Не делится на 3.
- Если $x=6$, сумма цифр $13+6=19$. Не делится на 3.
- Если $x=8$, сумма цифр $13+8=21$. Число $21$ делится на 3. Получаем число 588.
Таким образом, мы нашли все возможные решения.
Ответ: 582, 588.

378. Упростите выражение:

1) $6x - 12x + 15x - 9x;$

2) $7a - 9b - 12a + 14b;$

3) $-0,8k + 0,9 - 1,7k + 0,5k + 1,4;$

4) $-\frac{1}{6}a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{9}a - \frac{3}{4}b.$

1) Чтобы упростить выражение $6x - 12x + 15x - 9x$, необходимо привести подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае все члены выражения являются подобными.

Сложим коэффициенты при переменной $x$:

$6x - 12x + 15x - 9x = (6 - 12 + 15 - 9)x$

Выполним вычисления в скобках:

$6 - 12 = -6$

$-6 + 15 = 9$

$9 - 9 = 0$

В результате получаем:

$0 \cdot x = 0$

Ответ: $0$

2) Чтобы упростить выражение $7a - 9b - 12a + 14b$, сгруппируем подобные слагаемые. У нас есть две группы подобных слагаемых: с переменной $a$ и с переменной $b$.

Сгруппируем слагаемые:

$(7a - 12a) + (-9b + 14b)$

Теперь выполним действия в каждой группе:

Для слагаемых с $a$: $7a - 12a = (7 - 12)a = -5a$

Для слагаемых с $b$: $-9b + 14b = (-9 + 14)b = 5b$

Сложим полученные результаты:

$-5a + 5b$

Ответ: $-5a + 5b$

3) Чтобы упростить выражение $-0,8k + 0,9 - 1,7k + 0,5k + 1,4$, сгруппируем подобные слагаемые: члены, содержащие переменную $k$, и свободные члены (числа).

Сгруппируем слагаемые:

$(-0,8k - 1,7k + 0,5k) + (0,9 + 1,4)$

Выполним действия в каждой группе:

Для слагаемых с $k$: $-0,8k - 1,7k + 0,5k = (-0,8 - 1,7 + 0,5)k = (-2,5 + 0,5)k = -2k$

Для свободных членов: $0,9 + 1,4 = 2,3$

Сложим полученные результаты:

$-2k + 2,3$

Ответ: $-2k + 2,3$

4) Чтобы упростить выражение $-\frac{1}{6}a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{9}a - \frac{3}{4}b$, сгруппируем подобные слагаемые с переменными $a$ и $b$.

Сгруппируем слагаемые:

$(-\frac{1}{6}a + \frac{1}{9}a) + (\frac{1}{2}b - \frac{3}{4}b)$

Приведем дроби в каждой группе к общему знаменателю и выполним действия.

Для слагаемых с $a$: $-\frac{1}{6} + \frac{1}{9}$. Общий знаменатель для 6 и 9 равен 18.

$(-\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2})a = (-\frac{3}{18} + \frac{2}{18})a = -\frac{1}{18}a$

Для слагаемых с $b$: $\frac{1}{2} - \frac{3}{4}$. Общий знаменатель для 2 и 4 равен 4.

$(\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3}{4})b = (\frac{2}{4} - \frac{3}{4})b = -\frac{1}{4}b$

Сложим полученные результаты:

$-\frac{1}{18}a - \frac{1}{4}b$

Ответ: $-\frac{1}{18}a - \frac{1}{4}b$