Страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

350. Заполните таблицу.

Одночлен

Стандартный вид одночлена

Коэффициент одночлена

Степень одночлена

$6bb^2$

$0,7m^2n^3 \cdot 4m^5n^2$

$\frac{2}{7}a^2 \cdot 3,5b$

$-5x^2 \cdot 0,2xy$

$-1,6x^3y^6 \cdot 0,5x^2y^5$

$-0,8a^4 \cdot 4b^3 \cdot (-2t^7)$

$6bb^2$
Чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо перемножить числовые множители и сгруппировать переменные, перемножив степени с одинаковыми основаниями.
1. Числовой множитель (коэффициент) равен 6.
2. Произведение переменных: $b \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$.
Таким образом, стандартный вид одночлена: $6b^3$.
Коэффициент одночлена — это числовой множитель в его стандартном виде. В данном случае он равен 6.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его стандартный вид. Здесь это степень переменной $b$, равная 3.
Ответ: стандартный вид: $6b^3$; коэффициент: 6; степень: 3.

$0,7m^2n^3 \cdot 4m^5n^2$
Приводим одночлен к стандартному виду:
1. Перемножаем числовые коэффициенты: $0,7 \cdot 4 = 2,8$.
2. Перемножаем степени с основанием $m$: $m^2 \cdot m^5 = m^{2+5} = m^7$.
3. Перемножаем степени с основанием $n$: $n^3 \cdot n^2 = n^{3+2} = n^5$.
Собираем все вместе, получая стандартный вид: $2,8m^7n^5$.
Коэффициент одночлена: 2,8.
Степень одночлена — это сумма степеней всех переменных: $7 + 5 = 12$.
Ответ: стандартный вид: $2,8m^7n^5$; коэффициент: 2,8; степень: 12.

$\frac{2}{7}a^2 \cdot 3,5b$
Приводим одночлен к стандартному виду:
1. Перемножаем коэффициенты. Для удобства представим десятичную дробь 3,5 в виде обыкновенной: $3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.
$\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} = 1$.
2. Переменные $a^2$ и $b$ имеют разные основания, поэтому просто записываем их произведение $a^2b$.
Стандартный вид одночлена: $1 \cdot a^2b = a^2b$.
Коэффициент одночлена равен 1 (обычно в записи он опускается).
Степень одночлена: $2 + 1 = 3$ (степень $a$ равна 2, степень $b$ равна 1).
Ответ: стандартный вид: $a^2b$; коэффициент: 1; степень: 3.

$-5x^2 \cdot 0,2xy$
Приводим одночлен к стандартному виду:
1. Перемножаем коэффициенты: $-5 \cdot 0,2 = -1$.
2. Перемножаем степени с основанием $x$: $x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$.
3. Переменная $y$ остается без изменений, так как множитель с $y$ один.
Стандартный вид одночлена: $-1 \cdot x^3y = -x^3y$.
Коэффициент одночлена: -1.
Степень одночлена: $3 + 1 = 4$ (степень $x$ равна 3, степень $y$ равна 1).
Ответ: стандартный вид: $-x^3y$; коэффициент: -1; степень: 4.

$-1,6x^3y^6 \cdot 0,5x^2y^5$
Приводим одночлен к стандартному виду:
1. Перемножаем коэффициенты: $-1,6 \cdot 0,5 = -0,8$.
2. Перемножаем степени с основанием $x$: $x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$.
3. Перемножаем степени с основанием $y$: $y^6 \cdot y^5 = y^{6+5} = y^{11}$.
Стандартный вид одночлена: $-0,8x^5y^{11}$.
Коэффициент одночлена: -0,8.
Степень одночлена: $5 + 11 = 16$.
Ответ: стандартный вид: $-0,8x^5y^{11}$; коэффициент: -0,8; степень: 16.

$-0,8a^4 \cdot 4b^3 \cdot (-2t^7)$
Приводим одночлен к стандартному виду:
1. Перемножаем коэффициенты: $-0,8 \cdot 4 \cdot (-2) = -3,2 \cdot (-2) = 6,4$.
2. Переменные $a^4$, $b^3$ и $t^7$ имеют разные основания, поэтому просто записываем их произведение.
Стандартный вид одночлена: $6,4a^4b^3t^7$.
Коэффициент одночлена: 6,4.
Степень одночлена — это сумма степеней всех переменных: $4 + 3 + 7 = 14$.
Ответ: стандартный вид: $6,4a^4b^3t^7$; коэффициент: 6,4; степень: 14.

351. Найдите значение одночлена:

1) $5x^2$, если $x = -4$;

2) $-4.8a^4b^3$, если $a = -1, b = \frac{1}{2}$;

3) $\frac{4}{9}m^3n^2p^3$, если $m = -3, n = 5, p = -1$.

1) Для нахождения значения одночлена $5x^2$ при $x = -4$, необходимо подставить значение $x$ в выражение.
$5 \cdot (-4)^2$
Сначала выполняем возведение в степень. Квадрат отрицательного числа является положительным числом:
$(-4)^2 = 16$
Теперь выполняем умножение:
$5 \cdot 16 = 80$
Ответ: 80

2) Для нахождения значения одночлена $-4,8a^4b^3$ при $a = -1$ и $b = \frac{1}{2}$, подставим данные значения в выражение.
$-4,8 \cdot (-1)^4 \cdot (\frac{1}{2})^3$
Вычислим значения степеней:
$(-1)^4 = 1$ (любое число в четной степени положительно).
$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$
Подставим полученные результаты обратно в выражение и выполним умножение:
$-4,8 \cdot 1 \cdot \frac{1}{8} = - \frac{4,8}{8}$
$-4,8 : 8 = -0,6$
Ответ: -0,6

3) Для нахождения значения одночлена $\frac{4}{9}m^3n^2p^3$ при $m = -3$, $n = 5$ и $p = -1$, подставим значения переменных в выражение.
$\frac{4}{9} \cdot (-3)^3 \cdot 5^2 \cdot (-1)^3$
Вычислим значения каждой степени:
$(-3)^3 = -27$ (нечетная степень отрицательного числа отрицательна).
$5^2 = 25$
$(-1)^3 = -1$ (нечетная степень отрицательного числа отрицательна).
Теперь перемножим все полученные значения:
$\frac{4}{9} \cdot (-27) \cdot 25 \cdot (-1)$
Произведение двух отрицательных чисел ($-27$ и $-1$) дает положительное число, поэтому выражение становится:
$\frac{4}{9} \cdot 27 \cdot 25$
Сократим дробь, разделив 27 на 9:
$4 \cdot \frac{27}{9} \cdot 25 = 4 \cdot 3 \cdot 25$
Выполним умножение:
$12 \cdot 25 = 300$
Ответ: 300

352. Найдите значение одночлена:

1) $ \frac{7}{16} a^2b^4 $, если $ a = -\frac{1}{7} $, $ b = 2; $

2) $ 0,8m^2n^2k $, если $ m = 0,3 $, $ n = \frac{1}{2} $, $ k = 2000. $

1) Найдем значение одночлена $\frac{7}{16}a^2b^4$, если $a = -\frac{1}{7}$, $b = 2$.

Подставим значения переменных в выражение:

$\frac{7}{16}a^2b^4 = \frac{7}{16} \cdot (-\frac{1}{7})^2 \cdot 2^4$

Сначала возведем числа в степень:

$(-\frac{1}{7})^2 = (-\frac{1}{7}) \cdot (-\frac{1}{7}) = \frac{1}{49}$

$2^4 = 16$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение и вычислим произведение:

$\frac{7}{16} \cdot \frac{1}{49} \cdot 16 = \frac{7 \cdot 1 \cdot 16}{16 \cdot 49}$

Сократим множитель 16 в числителе и знаменателе:

$\frac{7}{49}$

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{7 \div 7}{49 \div 7} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

2) Найдем значение одночлена $0,8m^2n^2k$, если $m = 0,3$, $n = \frac{1}{2}$, $k = 2000$.

Подставим значения переменных в выражение:

$0,8m^2n^2k = 0,8 \cdot (0,3)^2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot 2000$

Сначала вычислим значения степеней. Для удобства представим дробь $\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби $0,5$.

$(0,3)^2 = 0,09$

$(\frac{1}{2})^2 = (0,5)^2 = 0,25$

Подставим полученные значения в выражение:

$0,8 \cdot 0,09 \cdot 0,25 \cdot 2000$

Чтобы упростить вычисления, сгруппируем множители удобным образом:

$(0,8 \cdot 0,25) \cdot (0,09 \cdot 2000)$

Вычислим значение в каждой из скобок:

$0,8 \cdot 0,25 = 0,2$

$0,09 \cdot 2000 = 180$

Теперь перемножим полученные результаты:

$0,2 \cdot 180 = 36$

Ответ: $36$

353. Найдите произведение одночленов:

1) $2a$ и $5b$;

2) $-m$ и $4n$;

3) $6x$ и $-8y^2$;

4) $-\frac{1}{7}x^3$ и $-7x^2$.

1) $2a$ и $5b$;

Чтобы найти произведение одночленов $2a$ и $5b$, нужно перемножить их числовые коэффициенты и их буквенные части отдельно.

Произведение коэффициентов: $2 \cdot 5 = 10$.

Произведение буквенных частей: $a \cdot b = ab$.

Результат умножения: $(2a) \cdot (5b) = (2 \cdot 5) \cdot (a \cdot b) = 10ab$.

Ответ: $10ab$.

2) $-m$ и $4n$;

Чтобы найти произведение одночленов $-m$ и $4n$, перемножим их коэффициенты и переменные. Коэффициент одночлена $-m$ равен $-1$.

Произведение коэффициентов: $-1 \cdot 4 = -4$.

Произведение переменных: $m \cdot n = mn$.

Результат умножения: $(-m) \cdot (4n) = (-1 \cdot 4) \cdot (m \cdot n) = -4mn$.

Ответ: $-4mn$.

3) $6x$ и $-8y^2$;

Чтобы найти произведение одночленов $6x$ и $-8y^2$, перемножим их коэффициенты и переменные.

Произведение коэффициентов: $6 \cdot (-8) = -48$.

Произведение переменных: $x \cdot y^2 = xy^2$.

Результат умножения: $(6x) \cdot (-8y^2) = (6 \cdot (-8)) \cdot (x \cdot y^2) = -48xy^2$.

Ответ: $-48xy^2$.

4) $-\frac{1}{7}x^3$ и $-7x^2$.

Чтобы найти произведение одночленов $-\frac{1}{7}x^3$ и $-7x^2$, перемножим их коэффициенты и переменные.

Произведение коэффициентов: $(-\frac{1}{7}) \cdot (-7) = 1$.

Произведение переменных. При умножении степеней с одинаковым основанием, их показатели складываются: $x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$.

Результат умножения: $(-\frac{1}{7}x^3) \cdot (-7x^2) = 1 \cdot x^5 = x^5$.

Ответ: $x^5$.

354. Упростите выражение:

1) $-4m^3 \cdot 0.25m^6;$

2) $56x^5y^{14} \cdot \frac{2}{7}x^2y;$

3) $-\frac{1}{3}p^2 \cdot (-27k) \cdot 5pk;$

4) $2\frac{1}{4}b^2c^5d^3 \cdot \left(-3\frac{1}{3}b^3c^4d^7\right).$

1) Чтобы упростить выражение $-4m^3 \cdot 0,25m^6$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями отдельно.
Произведение коэффициентов: $-4 \cdot 0,25 = -1$.
Произведение степеней с основанием $m$: $m^3 \cdot m^6 = m^{3+6} = m^9$.
Объединив результаты, получаем: $-1 \cdot m^9 = -m^9$.
Ответ: $-m^9$.

2) Для упрощения выражения $56x^5y^{14} \cdot \frac{2}{7}x^2y$ сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями.
Умножим коэффициенты: $56 \cdot \frac{2}{7} = \frac{56 \cdot 2}{7} = 8 \cdot 2 = 16$.
Умножим степени с основанием $x$: $x^5 \cdot x^2 = x^{5+2} = x^7$.
Умножим степени с основанием $y$ (помним, что $y$ это $y^1$): $y^{14} \cdot y^1 = y^{14+1} = y^{15}$.
Итоговый результат: $16x^7y^{15}$.
Ответ: $16x^7y^{15}$.

3) Упростим выражение $-\frac{1}{3}p^2 \cdot (-27k) \cdot 5pk$.
Сначала перемножим числовые коэффициенты: $(-\frac{1}{3}) \cdot (-27) \cdot 5 = (\frac{27}{3}) \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.
Затем перемножим переменные, сгруппировав их по основаниям. Для переменной $p$: $p^2 \cdot p = p^{2+1} = p^3$.
Для переменной $k$: $k \cdot k = k^{1+1} = k^2$.
Объединяем все части: $45p^3k^2$.
Ответ: $45p^3k^2$.

4) Чтобы упростить выражение $2\frac{1}{4}b^2c^5d^3 \cdot (-3\frac{1}{3}b^3c^4d^7)$, первым шагом преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
$-3\frac{1}{3} = -(\frac{3 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{10}{3}$.
Теперь выражение имеет вид: $\frac{9}{4}b^2c^5d^3 \cdot (-\frac{10}{3}b^3c^4d^7)$.
Перемножим коэффициенты: $\frac{9}{4} \cdot (-\frac{10}{3}) = -\frac{9 \cdot 10}{4 \cdot 3} = -\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 1} = -\frac{15}{2}$.
Перемножим степени с основанием $b$: $b^2 \cdot b^3 = b^{2+3} = b^5$.
Перемножим степени с основанием $c$: $c^5 \cdot c^4 = c^{5+4} = c^9$.
Перемножим степени с основанием $d$: $d^3 \cdot d^7 = d^{3+7} = d^{10}$.
Соединяем все части: $-\frac{15}{2}b^5c^9d^{10}$. Для финального ответа преобразуем коэффициент обратно в смешанное число: $-\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2}$.
Итоговый результат: $-7\frac{1}{2}b^5c^9d^{10}$.
Ответ: $-7\frac{1}{2}b^5c^9d^{10}$.

355. (Домашняя практическая работа) Расшифруйте фамилию выдающегося русского математика, механика и кораблестроителя, чьи работы о плавучести и устойчивости кораблей спасли жизнь тысячам моряков. Номер примера соответствует месту, на котором стоит буква в слове.

1) $0,6a^4b^3 \cdot 4a^2b$;

2) $-2,8a^2b^5 \cdot 0,5a^4b^6$;

3) $1,6a^2b \cdot (-0,25a^3b^2)$;

4) $-0,7a^6b^9 \cdot (-3ab)$;

5) $\frac{3}{16}a^2b^4 \cdot \frac{8}{15}a^4b^7$;

6) $-2,6a^3b \cdot \frac{2}{13}a^2b^3$.

Найдите в Интернете сведения о жизни и деятельности этого учёного.

Для того чтобы расшифровать фамилию, необходимо решить каждый пример и сопоставить полученный ответ с буквой из таблицы.

1) $0,6a^4b^3 \cdot 4a^2b$

Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые коэффициенты и сложить показатели степеней у одинаковых переменных.

$0,6a^4b^3 \cdot 4a^2b = (0,6 \cdot 4) \cdot (a^4 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^1) = 2,4 \cdot a^{4+2} \cdot b^{3+1} = 2,4a^6b^4$

Этот ответ в таблице соответствует букве К.

Ответ: $2,4a^6b^4$.

2) $-2,8a^2b^5 \cdot 0,5a^4b^6$

$-2,8a^2b^5 \cdot 0,5a^4b^6 = (-2,8 \cdot 0,5) \cdot (a^2 \cdot a^4) \cdot (b^5 \cdot b^6) = -1,4 \cdot a^{2+4} \cdot b^{5+6} = -1,4a^6b^{11}$

Этот ответ в таблице соответствует букве Р.

Ответ: $-1,4a^6b^{11}$.

3) $1,6a^2b \cdot (-0,25a^3b^2)$

$1,6a^2b \cdot (-0,25a^3b^2) = (1,6 \cdot (-0,25)) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (b^1 \cdot b^2) = -0,4 \cdot a^{2+3} \cdot b^{1+2} = -0,4a^5b^3$

Этот ответ в таблице соответствует букве Ы.

Ответ: $-0,4a^5b^3$.

4) $-0,7a^6b^9 \cdot (-3ab)$

$-0,7a^6b^9 \cdot (-3ab) = (-0,7 \cdot (-3)) \cdot (a^6 \cdot a^1) \cdot (b^9 \cdot b^1) = 2,1 \cdot a^{6+1} \cdot b^{9+1} = 2,1a^7b^{10}$

Этот ответ в таблице соответствует букве Л.

Ответ: $2,1a^7b^{10}$.

5) $\frac{3}{16}a^2b^4 \cdot \frac{8}{15}a^4b^7$

$\frac{3}{16}a^2b^4 \cdot \frac{8}{15}a^4b^7 = (\frac{3}{16} \cdot \frac{8}{15}) \cdot (a^2 \cdot a^4) \cdot (b^4 \cdot b^7) = \frac{3 \cdot 8}{16 \cdot 15} \cdot a^{2+4} \cdot b^{4+7} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 5} \cdot a^6 \cdot b^{11} = \frac{1}{10}a^6b^{11} = 0,1a^6b^{11}$

Этот ответ в таблице соответствует букве О.

Ответ: $0,1a^6b^{11}$.

6) $-2,6a^3b \cdot \frac{2}{13}a^2b^3$

Представим десятичную дробь $-2,6$ в виде обыкновенной: $-2,6 = -\frac{26}{10}$.

$-2,6a^3b \cdot \frac{2}{13}a^2b^3 = (-\frac{26}{10} \cdot \frac{2}{13}) \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot (b^1 \cdot b^3) = -\frac{26 \cdot 2}{10 \cdot 13} \cdot a^{3+2} \cdot b^{1+3} = -\frac{2 \cdot 2}{10} \cdot a^5 \cdot b^4 = -\frac{4}{10}a^5b^4 = -0,4a^5b^4$

Этот ответ в таблице соответствует букве В.

Ответ: $-0,4a^5b^4$.

Сопоставив номера примеров с полученными буквами, получаем фамилию: КРЫЛОВ.

Речь идет о Алексее Николаевиче Крылове (1863–1945) — выдающемся русском и советском математике, механике и кораблестроителе.

А. Н. Крылов — автор классических работ по теории остойчивости, качки и вибрации корабля, по строительной механике корабля, теории гироскопов, внешней баллистике, математическому анализу и истории науки. Его теория непотопляемости корабля получила всемирное признание и легла в основу правил и норм для всех флотов мира. Разработанные им "таблицы непотопляемости" позволяли корабельным офицерам быстро выполнять расчеты, необходимые для борьбы за живучесть судна, что спасло жизни тысяч моряков.