Страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие выражения называют одночленами?

Одночленом в алгебре называют выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными (или нулевым) показателями. Важно, что одночлен не содержит операций сложения и вычитания, а также деления на переменную.

Таким образом, одночленами являются:

• Числа: например, $15$, $-7$, $0.25$.
• Переменные: например, $x$, $a$, $b$.
• Степени переменных: например, $y^2$, $c^5$.
• Произведения чисел, переменных и их степеней: например, $5x$, $-3a^2b$, $\frac{1}{2}m^3n^4$.

Примеры выражений, которые являются одночленами:

• $9xy^2$
• $-a^3b^6c$
• $14$
• $m$

Примеры выражений, которые НЕ являются одночленами:

• $a+b$ (содержит сложение)
• $x^2-y^2$ (содержит вычитание)
• $\frac{8}{x}$ (содержит деление на переменную)
• $k+1$ (содержит сложение)

Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Это такая форма записи, в которой на первом месте стоит единственный числовой множитель (коэффициент), а за ним следуют переменные в алфавитном порядке, каждая из которых встречается только один раз в соответствующей степени.

Например, одночлен $5a^2b \cdot (-2)ab^3$ в нестандартном виде. Приведем его к стандартному виду:
$5a^2b \cdot (-2)ab^3 = (5 \cdot (-2)) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^3) = -10a^{2+1}b^{1+3} = -10a^3b^4$.
Здесь $-10$ — это коэффициент одночлена.

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Для одночлена $-10a^3b^4$ степень равна $3+4=7$. Степень одночлена, который является числом, отличным от нуля, равна нулю.

Ответ: Одночленом называют алгебраическое выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.

2. Объясните, какой вид одночлена называют его стандартным видом.

Стандартным видом одночлена называют его запись в виде произведения числового множителя, который стоит на первом месте, и степеней различных переменных. Любой одночлен можно привести к стандартному виду.

Одночлен записан в стандартном виде, если:

1. Он содержит только один числовой множитель, называемый коэффициентом. Этот коэффициент записан на первом месте.
2. Каждая переменная в записи одночлена встречается только один раз. Если в исходном выражении переменная встречалась несколько раз, то их степени складываются, и в стандартном виде записывается переменная с итоговым показателем степени.
3. Переменные (буквенные множители) обычно записываются в алфавитном порядке.

Например, приведем одночлен $2b^3 \cdot a \cdot (-5) \cdot a^2 \cdot c \cdot b$ к стандартному виду.

1. Сначала перемножим все числовые множители, чтобы найти коэффициент: $2 \cdot (-5) = -10$.

2. Теперь перемножим степени с одинаковыми основаниями. Для этого сложим их показатели:

• Для переменной $a$: $a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$.
• Для переменной $b$: $b^3 \cdot b = b^{3+1} = b^4$.
• Переменная $c$ встречается один раз, поэтому она остается без изменений: $c$.

3. Запишем итоговый одночлен, поставив на первое место коэффициент, а затем переменные в алфавитном порядке: $-10a^3b^4c$.

Выражение $-10a^3b^4c$ является стандартным видом исходного одночлена.

Ответ: Стандартным видом одночлена называют его представление в виде произведения числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.

3. Что называют коэффициентом одночлена?

Для того чтобы дать определение коэффициенту одночлена, необходимо сначала привести одночлен к стандартному виду. Одночлен — это алгебраическое выражение, состоящее из произведения чисел, переменных и их степеней. Стандартный вид одночлена предполагает, что:

1. Он содержит только один числовой множитель.
2. Этот числовой множитель стоит на первом месте.
3. Каждая переменная в его записи встречается только один раз.

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель в записи одночлена, приведенного к стандартному виду.

Рассмотрим несколько примеров:

• В одночлене $7x^3y^5$ числовой множитель равен 7. Этот одночлен уже записан в стандартном виде. Следовательно, его коэффициент равен 7.
• Рассмотрим одночлен $2a \cdot (-5b) \cdot a^2$. Сначала приведем его к стандартному виду. Для этого перемножим числовые множители и сгруппируем переменные:
  $2 \cdot (-5) \cdot (a \cdot a^2) \cdot b = -10a^{1+2}b = -10a^3b$.
  В полученном одночлене стандартного вида $-10a^3b$ числовой множитель равен -12. Это и есть его коэффициент.
• В одночлене $c^4d$ на первый взгляд нет числового множителя. Однако его можно представить как $1 \cdot c^4d$. Поэтому коэффициент такого одночлена равен 1.
• В одночлене $-m^2n$ коэффициент равен -1, так как выражение можно записать в виде $-1 \cdot m^2n$.

Таким образом, коэффициент — это число, которое стоит "перед" буквенной частью одночлена в его стандартной форме.

Ответ: Коэффициентом одночлена называют его числовой множитель, полученный после приведения одночлена к стандартному виду.

4. Какие одночлены называют подобными?

В алгебре подобными одночленами (или просто подобными членами) называют одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть. Это означает, что они либо полностью совпадают, либо отличаются только своими числовыми коэффициентами.

Чтобы правильно определить, являются ли одночлены подобными, их необходимо сначала привести к стандартному виду. Одночлен в стандартном виде представляет собой произведение числового множителя (коэффициента), который стоит на первом месте, и степеней различных переменных.

Ключевым моментом является идентичность буквенной части. Буквенная часть — это произведение всех переменных с их показателями степеней.

Примеры подобных одночленов:

• Одночлены $5a$ и $-3a$. У них одинаковая буквенная часть `$a$`, а коэффициенты разные ($5$ и $-3$).
• Одночлены $12x^2y$ и $x^2y$. Буквенная часть `$x^2y$` у них совпадает. Коэффициенты равны $12$ и $1$ (когда коэффициент явно не указан, он считается равным 1).
• Одночлены $2ab \cdot 3c$ и $-4cba$. Сначала приведем их к стандартному виду:
  • $2ab \cdot 3c = (2 \cdot 3)abc = 6abc$
  • $-4cba = -4abc$
  После приведения мы видим, что буквенные части `$abc$` одинаковы, значит, одночлены подобны.
• Числа, например, $10$ и $-25$, также являются подобными одночленами, так как у них нет буквенной части (или можно считать, что она равна любой переменной в нулевой степени, например, `$x^0=1$`).

Примеры НЕподобных одночленов:

• $7x$ и $7y$. Переменные в буквенной части разные.
• $4m^2$ и $4m^3$. Переменная одна и та же, но ее показатели степени различны.
• $9p^2q$ и $9pq^2$. Состав переменных одинаков, но их степени не совпадают.

Понятие подобных членов очень важно для упрощения алгебраических выражений в процессе, который называется приведением подобных слагаемых. При этом складываются или вычитаются только коэффициенты, а общая буквенная часть остается неизменной.

Например, $8xy^2 + 5xy^2 - 2xy^2 = (8+5-2)xy^2 = 11xy^2$.

Ответ: Подобными называют одночлены, которые после приведения к стандартному виду имеют одинаковую буквенную часть и могут отличаться только коэффициентами.

5. Что называют степенью одночлена?

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен является числом (константой), отличным от нуля, то его степень считается равной нулю. Степень нулевого одночлена (числа 0) не определена.

Чтобы найти степень одночлена, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Привести одночлен к стандартному виду, если он не представлен в нем изначально. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.
2. Сложить показатели степеней всех переменных, которые входят в состав одночлена.

Рассмотрим несколько примеров:

• Одночлен $7x^3y^5z$.
  Этот одночлен уже записан в стандартном виде. Переменные в нем: $x$ в степени 3, $y$ в степени 5, и $z$ в степени 1 (когда показатель степени у переменной не указан, он считается равным 1).
  Степень одночлена равна сумме показателей: $3 + 5 + 1 = 9$.
• Одночлен $-2a^2b$.
  Переменная $a$ имеет показатель 2, переменная $b$ — показатель 1.
  Степень одночлена: $2 + 1 = 3$.
• Одночлен $5x^2 \cdot 3x^4$.
  Сначала приведем его к стандартному виду: $5 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot x^4 = 15x^{2+4} = 15x^6$.
  В стандартном виде одночлен $15x^6$ имеет одну переменную $x$ с показателем 6.
  Степень одночлена равна 6.
• Одночлен $14$.
  Это число (константа), не равное нулю. Его можно представить как $14x^0$.
  Степень этого одночлена равна 0.

Ответ: Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в его состав, после приведения одночлена к стандартному виду. Степень константы (числа, отличного от нуля) равна нулю.

345. Является ли одночленом выражение:

1) $5xy$;

2) $-\frac{1}{3}a^2b^3c$;

3) $m+n$;

4) $8$;

5) $0$;

6) $\frac{4}{7}pk^4$;

7) $\frac{6m^2k^3}{11a^5}$;

8) $b^9$;

9) $m^4m$;

10) $3(a^2-b^2)$;

11) $-2\frac{4}{9}aa^2b^3b^6$;

12) $\left(-1\frac{1}{8}\right)^2 x^5 x^3 yz^{10}$?

Для определения, является ли выражение одночленом, необходимо проверить, соответствует ли оно определению. Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с неотрицательными целыми показателями. Одночлен не должен содержать операций сложения, вычитания или деления на переменную.

1) $5xy$

Выражение является произведением числа $5$ и переменных $x$ и $y$ в первой степени. Оно полностью соответствует определению одночлена.

Ответ: да.

2) $-\frac{1}{3}a^2b^3c$

Выражение является произведением числа $-\frac{1}{3}$ и переменных $a$, $b$, $c$ в степенях $2$, $3$ и $1$. Все показатели степеней — неотрицательные целые числа. Это одночлен.

Ответ: да.

3) $m + n$

Выражение содержит операцию сложения двух переменных. Сумма или разность двух и более одночленов является многочленом, но не одночленом.

Ответ: нет.

4) $8$

Любое число является одночленом. Его можно рассматривать как одночлен, в котором переменные находятся в нулевой степени (например, $8x^0$).

Ответ: да.

5) $0$

Число ноль, как и любое другое число, является одночленом. Это особый случай одночлена.

Ответ: да.

6) $\frac{4}{7}pk^4$

Выражение является произведением числового коэффициента $\frac{4}{7}$ и переменных $p$ и $k$ с натуральными показателями степеней ($1$ и $4$). Это одночлен.

Ответ: да.

7) $\frac{6m^2k^3}{11a^5}$

Это выражение содержит деление на переменную $a$. Деление на переменную $a^5$ эквивалентно умножению на $a^{-5}$. Поскольку показатель степени ($-5$) является отрицательным, данное выражение не является одночленом.

Ответ: нет.

8) $b^9$

Выражение является переменной, возведенной в натуральную степень $9$. Это одночлен (можно представить как $1 \cdot b^9$).

Ответ: да.

9) $m^4m$

Данное выражение можно упростить, используя свойство степеней: $m^4m = m^{4+1} = m^5$. Результат $m^5$ является одночленом.

Ответ: да.

10) $3(a^2 - b^2)$

Выражение содержит операцию вычитания внутри скобок. После раскрытия скобок получается $3a^2 - 3b^2$, что является многочленом (двучленом), а не одночленом.

Ответ: нет.

11) $-2\frac{4}{9}aa^2b^3b^6$

Приведем выражение к стандартному виду. Коэффициент: $-2\frac{4}{9} = -\frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = -\frac{22}{9}$. Переменные: $aa^2b^3b^6 = a^{1+2}b^{3+6} = a^3b^9$. Выражение принимает вид $-\frac{22}{9}a^3b^9$. Это произведение числа и переменных в натуральных степенях, то есть одночлен.

Ответ: да.

12) $(-1\frac{1}{8})^2 x^5x^3yz^{10}$

Приведем выражение к стандартному виду. Коэффициент: $(-1\frac{1}{8})^2 = (-\frac{9}{8})^2 = \frac{81}{64}$. Переменные: $x^5x^3yz^{10} = x^{5+3}yz^{10} = x^8yz^{10}$. Выражение принимает вид $\frac{81}{64}x^8yz^{10}$. Это одночлен.

Ответ: да.

346. Укажите, какие из одночленов записаны в стандартном виде:

1) $5mnm^2$;

2) $1,4ab^7c^3$;

3) $-7t^3 \cdot 4t^5$;

4) $-abc$;

5) $\frac{6}{13}x^8y^9$;

6) $m^6n^4 \cdot 10$.

Одночлен считается записанным в стандартном виде, если он представляет собой произведение числового множителя (коэффициента), который стоит на первом месте, и степеней различных переменных. Каждая переменная в записи одночлена стандартного вида встречается только один раз.

1) $5mnm^2$
Этот одночлен не в стандартном виде, так как переменная $m$ встречается дважды ($m$ и $m^2$). Чтобы привести его к стандартному виду, необходимо перемножить степени с одинаковым основанием: $m \cdot m^2 = m^{1+2} = m^3$. Стандартный вид данного одночлена — $5m^3n$.
Ответ: не в стандартном виде.

2) $1,4ab^7c^3$
Этот одночлен записан в стандартном виде. Коэффициент $1,4$ стоит на первом месте, и каждая из переменных $a$, $b$, $c$ встречается только один раз.
Ответ: в стандартном виде.

3) $-7t^3 \cdot 4t^5$
Этот одночлен не в стандартном виде, так как он является произведением двух одночленов, и переменная $t$ встречается дважды. Для приведения к стандартному виду нужно выполнить умножение: $(-7 \cdot 4) \cdot (t^3 \cdot t^5) = -28t^{3+5} = -28t^8$.
Ответ: не в стандартном виде.

4) $-abc$
Этот одночлен записан в стандартном виде. Его коэффициент равен $-1$ (который подразумевается и стоит на первом месте), и каждая переменная $a$, $b$, $c$ встречается только один раз.
Ответ: в стандартном виде.

5) $\frac{6}{13}x^8y^9$
Этот одночлен записан в стандартном виде. Коэффициент $\frac{6}{13}$ стоит на первом месте, и каждая из переменных $x$, $y$ встречается только один раз.
Ответ: в стандартном виде.

6) $m^6n^4 \cdot 10$
Этот одночлен не в стандартном виде, так как числовой коэффициент $10$ стоит не на первом месте. Стандартный вид этого одночлена — $10m^6n^4$.
Ответ: не в стандартном виде.

Таким образом, одночлены, записанные в стандартном виде, это 2), 4) и 5).

347. Являются ли подобными одночлены:

1) $5a$ и $7a$;

2) $3a^2b^3c$ и $6a^2b^3c$;

3) $8x^2y^4$ и $8x^2y^5$;

4) $3y^2$ и $2y^3$;

5) $-\frac{1}{2}m^7n^8$ и $\frac{1}{2}m^8n^7$;

6) $-0,1a^9b^{10}$ и $0,1a^9b^{10}$?

Подобными одночленами называются одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть. Это означает, что переменные и их степени в этих одночленах должны полностью совпадать. Коэффициенты при этом могут быть разными.

1) $5a$ и $7a$

Сравним буквенные части данных одночленов. В первом одночлене ($5a$) буквенная часть – $a$. Во втором одночлене ($7a$) буквенная часть – также $a$. Так как буквенные части одинаковы, одночлены являются подобными.

Ответ: да, являются.

2) $3a^2b^3c$ и $6a^2b^3c$

Буквенная часть первого одночлена – $a^2b^3c$. Буквенная часть второго одночлена – $a^2b^3c$. Буквенные части совпадают, следовательно, одночлены являются подобными.

Ответ: да, являются.

3) $8x^2y^4$ и $8x^2y^5$

Сравним буквенные части. У первого одночлена буквенная часть $x^2y^4$, а у второго – $x^2y^5$. Степени переменной $y$ не совпадают (4 в первом случае и 5 во втором). Следовательно, буквенные части различны, и одночлены не являются подобными.

Ответ: нет, не являются.

4) $3y^2$ и $2y^3$

Буквенная часть первого одночлена – $y^2$. Буквенная часть второго одночлена – $y^3$. Степени переменной $y$ не совпадают (2 и 3). Следовательно, одночлены не являются подобными.

Ответ: нет, не являются.

5) $-\frac{1}{2}m^7n^8$ и $\frac{1}{2}m^8n^7$

Сравним буквенные части. У первого одночлена буквенная часть $m^7n^8$. У второго – $m^8n^7$. В первом одночлене переменная $m$ в 7-й степени, а $n$ в 8-й. Во втором – наоборот, $m$ в 8-й степени, а $n$ в 7-й. Так как степени у соответствующих переменных не совпадают, буквенные части различны. Одночлены не являются подобными.

Ответ: нет, не являются.

6) $-0,1a^9b^{10}$ и $0,1a^9b^{10}$

Буквенная часть первого одночлена – $a^9b^{10}$. Буквенная часть второго одночлена – также $a^9b^{10}$. Буквенные части полностью совпадают, значит одночлены являются подобными (они отличаются только знаками и значениями коэффициентов).

Ответ: да, являются.

348. Запишите одночлен, подобный данному, коэффициент которого в 4 раза больше коэффициента данного одночлена:

1) $1.4x^3y^7;$

2) $c^4d^{10}p^2;$

3) $1\frac{1}{4}a^5b^5c^9.$

По условию задачи, нужно для каждого данного одночлена найти подобный ему одночлен. Подобные одночлены — это одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть, но могут отличаться числовыми коэффициентами. Нам нужно найти такой одночлен, коэффициент которого будет в 4 раза больше коэффициента исходного одночлена.

1) Данный одночлен: $1,4x^3y^7$.

Коэффициент этого одночлена равен $1,4$. Буквенная часть — $x^3y^7$.

Найдем новый коэффициент, умножив данный на 4:

$1,4 \cdot 4 = 5,6$

Искомый одночлен будет иметь новый коэффициент $5,6$ и ту же буквенную часть $x^3y^7$.

Ответ: $5,6x^3y^7$

2) Данный одночлен: $c^4d^{10}p^2$.

В этом одночлене числовой коэффициент не записан явно, что означает, что он равен $1$. Буквенная часть — $c^4d^{10}p^2$.

Найдем новый коэффициент, который в 4 раза больше:

$1 \cdot 4 = 4$

Запишем подобный одночлен с новым коэффициентом и той же буквенной частью.

Ответ: $4c^4d^{10}p^2$

3) Данный одночлен: $1\frac{1}{4}a^5b^5c^9$.

Коэффициент этого одночлена — смешанное число $1\frac{1}{4}$. Буквенная часть — $a^5b^5c^9$.

Чтобы найти новый коэффициент, умножим $1\frac{1}{4}$ на 4. Для удобства вычислений переведем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь умножим на 4:

$\frac{5}{4} \cdot 4 = 5$

Новый коэффициент равен 5. Искомый одночлен имеет вид:

Ответ: $5a^5b^5c^9$

349. Приведите одночлен к стандартному виду, укажите его коэффициент и степень:

1) $9a^4aa^6;$

2) $3x \cdot 0,4y \cdot 6z;$

3) $7a \cdot (-9ac);$

4) $-3\frac{1}{3}m^5 \cdot 9mn^9;$

5) $-5x^2 \cdot 0,1x^2y \cdot (-2y);$

6) $c \cdot (-d) \cdot c^{18}.$

1) Исходный одночлен: $9a^4aa^6$. Чтобы привести его к стандартному виду, необходимо перемножить все числовые множители и степени с одинаковыми буквенными основаниями.
Числовой множитель (коэффициент) в данном случае один — это 9.
Буквенная часть состоит из произведения степеней переменной $a$. Используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получаем: $a^4 \cdot a \cdot a^6 = a^{4+1+6} = a^{11}$.
Таким образом, стандартный вид одночлена: $9a^{11}$.
Его коэффициент равен 9.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. В данном случае степень равна 11.
Ответ: стандартный вид: $9a^{11}$; коэффициент: 9; степень: 11.

2) Исходный одночлен: $3x \cdot 0.4y \cdot 6z$.
Сначала перемножим все числовые множители: $3 \cdot 0.4 \cdot 6 = 1.2 \cdot 6 = 7.2$.
Затем перемножим буквенные множители. Так как переменные $x, y, z$ разные, их произведение записывается как $xyz$.
Стандартный вид одночлена: $7.2xyz$.
Его коэффициент равен 7.2.
Степень одночлена равна сумме степеней всех переменных ($x^1, y^1, z^1$): $1 + 1 + 1 = 3$.
Ответ: стандартный вид: $7.2xyz$; коэффициент: 7.2; степень: 3.

3) Исходный одночлен: $7a \cdot (-9ac)$.
Перемножим числовые множители: $7 \cdot (-9) = -63$.
Перемножим буквенные множители: $a \cdot (ac) = (a \cdot a) \cdot c = a^{1+1} \cdot c = a^2c$.
Стандартный вид одночлена: $-63a^2c$.
Его коэффициент равен -63.
Степень одночлена равна сумме степеней переменных ($a^2, c^1$): $2 + 1 = 3$.
Ответ: стандартный вид: $-63a^2c$; коэффициент: -63; степень: 3.

4) Исходный одночлен: $-3\frac{1}{3}m^5 \cdot 9mn^9$.
Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $-3\frac{1}{3} = -\frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{10}{3}$.
Перемножим числовые множители: $-\frac{10}{3} \cdot 9 = -\frac{10 \cdot 9}{3} = -10 \cdot 3 = -30$.
Перемножим буквенные множители: $m^5 \cdot (mn^9) = (m^5 \cdot m) \cdot n^9 = m^{5+1} \cdot n^9 = m^6n^9$.
Стандартный вид одночлена: $-30m^6n^9$.
Его коэффициент равен -30.
Степень одночлена равна сумме степеней переменных ($m^6, n^9$): $6 + 9 = 15$.
Ответ: стандартный вид: $-30m^6n^9$; коэффициент: -30; степень: 15.

5) Исходный одночлен: $-5x^2 \cdot 0.1x^2y \cdot (-2y)$.
Перемножим числовые множители: $-5 \cdot 0.1 \cdot (-2) = -0.5 \cdot (-2) = 1$.
Перемножим буквенные множители: $(x^2 \cdot x^2) \cdot (y \cdot y) = x^{2+2} \cdot y^{1+1} = x^4y^2$.
Стандартный вид одночлена: $1 \cdot x^4y^2 = x^4y^2$.
Его коэффициент равен 1 (если коэффициент равен 1, его обычно не пишут).
Степень одночлена равна сумме степеней переменных ($x^4, y^2$): $4 + 2 = 6$.
Ответ: стандартный вид: $x^4y^2$; коэффициент: 1; степень: 6.

6) Исходный одночлен: $c \cdot (-d) \cdot c^{18}$.
Перегруппируем множители: $c \cdot (-1) \cdot d \cdot c^{18}$.
Числовой множитель равен -1.
Перемножим буквенные множители: $(c \cdot c^{18}) \cdot d = c^{1+18} \cdot d = c^{19}d$.
Стандартный вид одночлена: $-1 \cdot c^{19}d = -c^{19}d$.
Его коэффициент равен -1 (знак "минус" перед выражением соответствует коэффициенту -1).
Степень одночлена равна сумме степеней переменных ($c^{19}, d^1$): $19 + 1 = 20$.
Ответ: стандартный вид: $-c^{19}d$; коэффициент: -1; степень: 20.