Номер 3, страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 9. Многочлены. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 3, страница 69.

Условие.

3. Какой многочлен называют многочленом стандартного вида?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

3. Какой многочлен называют многочленом стандартного вида?

Многочленом стандартного вида называют такой многочлен, который удовлетворяет двум ключевым условиям:

1. Каждый его член (одночлен) записан в стандартном виде.
2. В нем отсутствуют подобные слагаемые (подобные члены).

Рассмотрим эти два условия более детально.

1. Стандартный вид одночлена

Одночлен приведен к стандартному виду, если он представлен в виде произведения числового коэффициента, который стоит на первом месте, и степеней различных переменных. Важно, что каждая переменная в записи встречается только один раз.

• Пример стандартного вида: $7x^3y^5$. Коэффициент здесь $7$, буквенная часть $x^3y^5$.
• Пример нестандартного вида: $2y \cdot 4x \cdot y^2 \cdot x^2$. Чтобы привести его к стандартному виду, необходимо выполнить умножение: $(2 \cdot 4) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y \cdot y^2) = 8x^3y^3$.

2. Отсутствие подобных слагаемых

Подобные слагаемые — это члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть. Процесс их сложения или вычитания называется приведением подобных слагаемых. В многочлене стандартного вида все подобные слагаемые уже должны быть приведены.

• Пример: В многочлене $5ab^2 + 2a^2 - 3ab^2$ члены $5ab^2$ и $-3ab^2$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $ab^2$.

Общий пример приведения многочлена к стандартному виду

Возьмем многочлен: $P = 3a \cdot 2b^2 - 5ab + 4b^2a + 2ab - 10$.

Шаг 1: Привести все члены к стандартному виду.

• $3a \cdot 2b^2 \rightarrow 6ab^2$
• $-5ab$ (уже в стандартном виде)
• $4b^2a \rightarrow 4ab^2$ (принято записывать переменные в алфавитном порядке)
• $2ab$ (уже в стандартном виде)
• $-10$ (уже в стандартном виде)

После первого шага многочлен выглядит так: $P = 6ab^2 - 5ab + 4ab^2 + 2ab - 10$.

Шаг 2: Привести подобные слагаемые.

Находим группы подобных членов:

• Первая группа: $6ab^2$ и $4ab^2$. Складываем их коэффициенты: $6+4=10$. Получаем $10ab^2$.
• Вторая группа: $-5ab$ и $2ab$. Складываем их коэффициенты: $-5+2=-3$. Получаем $-3ab$.

Свободный член $-10$ не имеет подобных.

Результат:

Собрав все вместе, получаем многочлен в стандартном виде: $P = 10ab^2 - 3ab - 10$.

Часто для удобства члены многочлена стандартного вида записывают в порядке убывания степеней их одночленов. В нашем примере степень члена $10ab^2$ равна $1+2=3$, степень члена $-3ab$ равна $1+1=2$, а степень свободного члена $-10$ равна $0$. Таким образом, члены уже упорядочены по убыванию степеней.

Ответ: Многочленом стандартного вида называется многочлен, в котором все его члены-одночлены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.