Страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое из данных равенств не является тождеством?

А) $-3(a - b) = -3a + 3b$

Б) $9a - 8a + a = 2a$

В) $8a - (4a + 1) = 4a - 1$

Г) $-(x + 3y) + (2x - y) = 3x + 2y$

Чтобы определить, какое из предложенных равенств не является тождеством, необходимо проверить каждое из них, упростив левую часть и сравнив ее с правой. Тождество — это равенство, которое выполняется при любых значениях входящих в него переменных.

А) $-3(a - b) = -3a + 3b$

Упростим левую часть равенства, применив распределительный закон умножения (раскроем скобки):

$-3(a - b) = (-3) \cdot a + (-3) \cdot (-b) = -3a + 3b$.

Левая часть равенства после упрощения стала $-3a + 3b$, что полностью совпадает с правой частью. Следовательно, это равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

Б) $9a - 8a + a = 2a$

Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$9a - 8a + a = (9 - 8 + 1)a = 2a$.

Левая часть равна $2a$, что совпадает с правой частью. Следовательно, это равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

В) $8a - (4a + 1) = 4a - 1$

Упростим левую часть. Раскроем скобки, перед которыми стоит знак "минус". При этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$8a - (4a + 1) = 8a - 4a - 1$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$8a - 4a - 1 = (8 - 4)a - 1 = 4a - 1$.

Левая часть равна $4a - 1$, что совпадает с правой частью. Следовательно, это равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

Г) $-(x + 3y) + (2x - y) = 3x + 2y$

Упростим левую часть, раскрыв обе скобки:

$-(x + 3y) + (2x - y) = -x - 3y + 2x - y$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для $x$ и для $y$:

$(-x + 2x) + (-3y - y) = x - 4y$.

Сравним полученное выражение $x - 4y$ с правой частью $3x + 2y$. Очевидно, что $x - 4y \neq 3x + 2y$. Равенство не выполняется для произвольных значений переменных (например, при $x=1, y=1$ левая часть равна $-3$, а правая $5$).

Ответ: не является тождеством.

2. Найдите значение выражения $(-2.4 + 0.4)^4$.

А) -8

Б) 8

В) 16

Г) -16

Для того чтобы найти значение выражения $(-2,4 + 0,4)^4$, необходимо сначала выполнить действие в скобках, а затем возвести результат в степень.

1. Выполним сложение в скобках:

$-2,4 + 0,4 = -2$

2. Теперь возведем полученное число $-2$ в четвертую степень:

$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$

При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае степень равна 4) результат всегда будет положительным.

$(-2)^4 = 16$

Ответ: 16.

3. Упростите выражение $(-a^6)^3 \cdot (-a^7)^4$.

А) $a^{20}$

Б) $-a^{20}$

В) $a^{46}$

Г) $-a^{46}$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия со степенями для каждого множителя по отдельности, а затем перемножить результаты.

Исходное выражение: $ (-a^6)^3 \cdot (-a^7)^4 $.

Упрощение первого множителя $ (-a^6)^3 $

При возведении отрицательного основания в нечетную степень (в данном случае степень равна 3), результат будет отрицательным. Далее воспользуемся свойством возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:

$ (-a^6)^3 = (-1)^3 \cdot (a^6)^3 = -1 \cdot a^{6 \cdot 3} = -a^{18} $

Упрощение второго множителя $ (-a^7)^4 $

При возведении отрицательного основания в четную степень (в данном случае степень равна 4), результат будет положительным. Снова применяем свойство возведения степени в степень:

$ (-a^7)^4 = (-1)^4 \cdot (a^7)^4 = 1 \cdot a^{7 \cdot 4} = a^{28} $

Перемножение результатов

Теперь умножим полученные выражения. Для этого используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:

$ (-a^{18}) \cdot (a^{28}) = -(a^{18} \cdot a^{28}) = -a^{18+28} = -a^{46} $

Итоговый результат $ -a^{46} $ соответствует варианту Г.

Ответ: Г) $ -a^{46} $

4. Выполните возведение в степень: $(0,3a^4)^2$

А) $0,9a^6$

Б) $0,9a^8$

В) $0,09a^6$

Г) $0,09a^8$

Для того чтобы возвести одночлен в степень, необходимо применить правило возведения произведения в степень: $(ab)^n = a^n b^n$. Согласно этому правилу, каждый множитель, находящийся в скобках, возводится в указанную степень.

В выражении $(0,3a^4)^2$ два множителя: $0,3$ и $a^4$. Возведем каждый из них во вторую степень:

$(0,3a^4)^2 = (0,3)^2 \cdot (a^4)^2$

Теперь вычислим значение каждого сомножителя:

1. Возводим в квадрат числовой коэффициент:
$(0,3)^2 = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$

2. Для возведения в степень переменной $(a^4)^2$ используем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Основание степени остается прежним, а показатели перемножаются:
$(a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8$

3. Перемножаем полученные результаты:
$0,09 \cdot a^8 = 0,09a^8$

Таким образом, результат возведения в степень равен $0,09a^8$. Этот результат соответствует варианту Г.

Ответ: Г) $0,09a^8$

5. Какое из данных выражений является одночленом?

А) $0,4x + y$

В) $0,4xy$

Б) $0,4x - y$

Г) нет ни одного

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вспомнить определение одночлена и проанализировать каждое из предложенных выражений.

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней. Одночлен не содержит операций сложения и вычитания.

Проанализируем каждый вариант:

А) $0,4x + y$. Данное выражение является суммой двух одночленов: $0,4x$ и $y$. Поскольку в нем присутствует знак сложения (+), оно не является одночленом, а является многочленом (двучленом).

Б) $0,4x - y$. Это выражение является разностью двух одночленов: $0,4x$ и $y$. Наличие знака вычитания (−) означает, что это также многочлен (двучлен), а не одночлен.

В) $0,4xy$. Это выражение представляет собой произведение числового коэффициента $0,4$ и переменных $x$ и $y$. В нем нет операций сложения или вычитания. Следовательно, это выражение является одночленом.

Г) нет ни одного. Этот вариант неверен, так как мы уже определили, что выражение в пункте В является одночленом.

Таким образом, единственное выражение, которое соответствует определению одночлена, находится под буквой В.

Ответ: В

6. Какому из одночленов равно выражение $0,7a^3b^2 \cdot \frac{1}{7}a^2b^4$?

А) $7a^5b^6$

Б) $7a^6b^8$

В) $0,1a^5b^6$

Г) $0,1a^6b^8$

Чтобы найти, какому из одночленов равно заданное выражение, необходимо его упростить. Исходное выражение: $0,7a^3b^2 \cdot \frac{1}{7}a^2b^4$.

Для упрощения перемножим отдельно числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Для этого сгруппируем множители: $(0,7 \cdot \frac{1}{7}) \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b^4)$.

1. Вычислим произведение числовых коэффициентов. Представим десятичную дробь $0,7$ в виде обыкновенной дроби $ \frac{7}{10} $:
$0,7 \cdot \frac{1}{7} = \frac{7}{10} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{10} = 0,1$.

2. Упростим произведение степеней с основанием a, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$.

3. Упростим произведение степеней с основанием b по тому же свойству:
$b^2 \cdot b^4 = b^{2+4} = b^6$.

4. Объединим все полученные части в один одночлен:
$0,1 \cdot a^5 \cdot b^6 = 0,1a^5b^6$.

Таким образом, исходное выражение равно $0,1a^5b^6$. Сравнив этот результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту В).

Ответ: В) $0,1a^5b^6$

7. Квадратом какого из данных одночленов является выражение $ \frac{1}{4}b^{64}c^{100} $?

А) $ -\frac{1}{2}b^8c^{10} $

Б) $ \frac{1}{2}b^{32}c^{50} $

В) $ \frac{1}{2}b^8c^{10} $

Г) $ -\frac{1}{2}b^{32}c^{10} $

Задача состоит в том, чтобы определить, квадратом какого из предложенных одночленов является выражение $\frac{1}{4}b^{64}c^{100}$. Это означает, что нам нужно найти такой одночлен $X$, для которого выполняется равенство $X^2 = \frac{1}{4}b^{64}c^{100}$. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из данного выражения.

При возведении одночлена, состоящего из коэффициента и переменных в степенях, в квадрат, необходимо каждый множитель возвести в квадрат. Общее правило выглядит так: $(k \cdot a^m \cdot c^n)^2 = k^2 \cdot (a^m)^2 \cdot (c^n)^2 = k^2 \cdot a^{2m} \cdot c^{2n}$.

Чтобы выполнить обратную операцию, то есть найти квадратный корень, нужно:

• Извлечь квадратный корень из числового коэффициента: $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
• Разделить показатель степени переменной $b$ на 2: $\frac{64}{2} = 32$.
• Разделить показатель степени переменной $c$ на 2: $\frac{100}{2} = 50$.

Таким образом, мы получаем одночлен $\frac{1}{2}b^{32}c^{50}$. Также следует помнить, что квадрат отрицательного числа является положительным, поэтому и одночлен $-\frac{1}{2}b^{32}c^{50}$ при возведении в квадрат даст тот же результат.

Теперь проверим предложенные варианты, возводя каждый из них в квадрат:

А) $(-\frac{1}{2}b^{8}c^{10})^2 = (-\frac{1}{2})^2 \cdot (b^8)^2 \cdot (c^{10})^2 = \frac{1}{4}b^{16}c^{20}$. Этот вариант не подходит.

Б) $(\frac{1}{2}b^{32}c^{50})^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (b^{32})^2 \cdot (c^{50})^2 = \frac{1}{4}b^{64}c^{100}$. Этот вариант является правильным.

В) $(\frac{1}{2}b^{8}c^{10})^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (b^8)^2 \cdot (c^{10})^2 = \frac{1}{4}b^{16}c^{20}$. Этот вариант не подходит.

Г) $(-\frac{1}{2}b^{32}c^{10})^2 = (-\frac{1}{2})^2 \cdot (b^{32})^2 \cdot (c^{10})^2 = \frac{1}{4}b^{64}c^{20}$. Этот вариант не подходит.

Следовательно, правильный одночлен представлен в варианте Б.

Ответ: Б

8. Известно, что $m < 0$ и $n < 0$. Сравните с нулём значение выражения $m^5n^6$.

А) $m^5n^6 = 0$
Б) $m^5n^6 > 0$
В) $m^5n^6 < 0$
Г) невозможно сравнить

Чтобы сравнить значение выражения $m^5n^6$ с нулём, необходимо определить знак этого выражения, зная, что $m < 0$ и $n < 0$.

Для этого определим знак каждого множителя в выражении:

1. Знак множителя $m^5$. По условию $m$ — отрицательное число. Возведение отрицательного числа в нечётную степень (в данном случае степень равна 5) даёт в результате отрицательное число. Например, если $m = -2$, то $m^5 = (-2)^5 = -32$. Следовательно, $m^5 < 0$.

2. Знак множителя $n^6$. По условию $n$ — отрицательное число. Возведение отрицательного числа в чётную степень (в данном случае степень равна 6) даёт в результате положительное число. Например, если $n = -2$, то $n^6 = (-2)^6 = 64$. Следовательно, $n^6 > 0$.

Теперь найдём знак всего выражения $m^5n^6$. Оно является произведением отрицательного числа ($m^5$) и положительного числа ($n^6$). Произведение чисел с разными знаками всегда является отрицательным числом.

$(\text{отрицательное число}) \cdot (\text{положительное число}) = (\text{отрицательное число})$

Таким образом, $m^5n^6 < 0$.

Сравнив наш вывод с предложенными вариантами, мы видим, что правильным является вариант В.

Ответ: В) $m^5n^6 < 0$

9. Приведите подобные члены многочлена $2x^2 + 6xy - 5x^2 - 9xy + 3y^2$.

А) $-3xy$

Б) $-3x^2 - 3xy + 3y^2$

В) $3x^2y^2$

Г) $3x^2 + 3xy + 3y^2$

Чтобы привести подобные члены многочлена, необходимо сгруппировать и сложить или вычесть слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть (то есть одинаковые переменные в одинаковых степенях).

Исходный многочлен: $2x^2 + 6xy - 5x^2 - 9xy + 3y^2$.

Сначала сгруппируем подобные члены. Для этого найдем все слагаемые с одинаковой переменной частью.

1. Члены с переменной частью $x^2$: это $2x^2$ и $-5x^2$.

2. Члены с переменной частью $xy$: это $6xy$ и $-9xy$.

3. Член с переменной частью $y^2$: это $3y^2$. У него нет подобных в данном выражении.

Теперь выполним действия с коэффициентами в каждой группе подобных членов:

Для членов с $x^2$:
$2x^2 - 5x^2 = (2 - 5)x^2 = -3x^2$.

Для членов с $xy$:
$6xy - 9xy = (6 - 9)xy = -3xy$.

Член $3y^2$ остается без изменений.

Соберем все полученные упрощенные члены вместе, чтобы получить итоговый многочлен:

$-3x^2 - 3xy + 3y^2$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту Б.

Ответ: Б) $-3x^2 - 3xy + 3y^2$.

10. Найдите разность многочленов $x^2 - 3x - 4$ и $x - 3x^2 - 2$.

А) $4x^2 - 4x - 2

Б) $-2x^2 - 4x - 2

В) $-2x^2 - 2x - 6

Г) $4x^2 - 4x - 6

Чтобы найти разность многочленов $x^2 - 3x - 4$ и $x - 3x^2 - 2$, необходимо из первого многочлена вычесть второй. Запишем это в виде выражения:

$(x^2 - 3x - 4) - (x - 3x^2 - 2)$

Далее раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «минус», все знаки слагаемых внутри неё меняются на противоположные:

$x^2 - 3x - 4 - x + 3x^2 + 2$

Теперь сгруппируем и приведём подобные слагаемые (члены, содержащие переменную в одинаковой степени):

$(x^2 + 3x^2) + (-3x - x) + (-4 + 2)$

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$4x^2 - 4x - 2$

Полученный результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: $4x^2 - 4x - 2$

11. Какое из данных выражений принимает только отрицательные значения?

А) $x^6 + 4$

Б) $x^6 - 4$

В) $-x^6 + 4$

Г) $-x^6 - 4$

Чтобы найти выражение, которое принимает только отрицательные значения, необходимо проанализировать область значений каждого из предложенных вариантов.

Основное свойство, которое мы будем использовать, заключается в том, что любое действительное число $x$, возведенное в четную степень (в данном случае 6), является неотрицательным: $x^6 \ge 0$.

А) $x^6 + 4$

Поскольку $x^6 \ge 0$, то наименьшее значение этого выражения равно $0 + 4 = 4$. Таким образом, $x^6 + 4 \ge 4$. Все значения этого выражения являются положительными.

Б) $x^6 - 4$

Данное выражение может принимать значения разных знаков. Например, при $x=0$, выражение равно $0^6 - 4 = -4$ (отрицательное). При $x=2$, выражение равно $2^6 - 4 = 64 - 4 = 60$ (положительное). Следовательно, оно не принимает только отрицательные значения.

В) $-x^6 + 4$

Из $x^6 \ge 0$ следует, что $-x^6 \le 0$. Наибольшее значение слагаемого $-x^6$ равно 0. Тогда наибольшее значение всего выражения равно $0 + 4 = 4$. Хотя выражение может принимать и отрицательные значения (например, при $x=2$ оно равно $-2^6 + 4 = -60$), оно может быть и положительным (например, 4 при $x=0$), поэтому оно не подходит.

Г) $-x^6 - 4$

Мы знаем, что $-x^6 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть 4, результат всегда будет строго отрицательным. Максимальное значение выражения достигается при $x=0$ и равно $0 - 4 = -4$. Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $-x^6 - 4 \le -4$. Все значения этого выражения являются отрицательными.

Ответ: Г

12. Какое наименьшее значение может принимать выражение

$(x-7)^2 + 2?$

A) 2

Б) 7

В) 5

Г) 9

Чтобы найти наименьшее значение выражения $(x-7)^2 + 2$, необходимо проанализировать его структуру. Выражение состоит из двух слагаемых: $(x-7)^2$ и $2$.

Слагаемое $(x-7)^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть его значение больше или равно нулю. Математически это записывается как неравенство:

$(x-7)^2 \ge 0$

Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $(x-7)^2$, равно $0$. Это значение достигается в том случае, когда выражение в скобках равно нулю:

$x - 7 = 0$

$x = 7$

Второе слагаемое, $2$, является константой, и его значение не зависит от переменной $x$.

Таким образом, наименьшее значение всего выражения будет равно сумме наименьшего значения первого слагаемого и значения второго слагаемого:

Наименьшее значение = $0 + 2 = 2$.

Это значение соответствует варианту ответа А.

Ответ: 2