Номер 11, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 11, страница 80.

Условие.

11. Какое из данных выражений принимает только отрицательные значения?

А) $x^6 + 4$

Б) $x^6 - 4$

В) $-x^6 + 4$

Г) $-x^6 - 4$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти выражение, которое принимает только отрицательные значения, необходимо проанализировать область значений каждого из предложенных вариантов.

Основное свойство, которое мы будем использовать, заключается в том, что любое действительное число $x$, возведенное в четную степень (в данном случае 6), является неотрицательным: $x^6 \ge 0$.

А) $x^6 + 4$

Поскольку $x^6 \ge 0$, то наименьшее значение этого выражения равно $0 + 4 = 4$. Таким образом, $x^6 + 4 \ge 4$. Все значения этого выражения являются положительными.

Б) $x^6 - 4$

Данное выражение может принимать значения разных знаков. Например, при $x=0$, выражение равно $0^6 - 4 = -4$ (отрицательное). При $x=2$, выражение равно $2^6 - 4 = 64 - 4 = 60$ (положительное). Следовательно, оно не принимает только отрицательные значения.

В) $-x^6 + 4$

Из $x^6 \ge 0$ следует, что $-x^6 \le 0$. Наибольшее значение слагаемого $-x^6$ равно 0. Тогда наибольшее значение всего выражения равно $0 + 4 = 4$. Хотя выражение может принимать и отрицательные значения (например, при $x=2$ оно равно $-2^6 + 4 = -60$), оно может быть и положительным (например, 4 при $x=0$), поэтому оно не подходит.

Г) $-x^6 - 4$

Мы знаем, что $-x^6 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть 4, результат всегда будет строго отрицательным. Максимальное значение выражения достигается при $x=0$ и равно $0 - 4 = -4$. Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $-x^6 - 4 \le -4$. Все значения этого выражения являются отрицательными.

Ответ: Г