Номер 460, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 460, страница 82.

Условие.

460. Преобразуйте в многочлен произведение:

1) $3x(2x + 5);$

2) $4x(x^2 - 8x - 2);$

3) $-2a(a^2 + a - 3);$

4) $5b^2(3b^2 - 7b + 10);$

5) $mn(m^2n - n^3);$

6) $2ab(a^3 - 3a^2b + b^2);$

7) $(4y^3 - 6y + 7) \cdot (-1.2y^3);$

8) $(2.3a^3b - 1.7b^4 - 3.5b) \cdot (-10a^2b);$

9) $-4pk^3(3p^2k - p + 4k - 2);$

10) $\frac{2}{3}mn^2(6m - 1.8n + 9).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы преобразовать произведение $3x(2x + 5)$ в многочлен, нужно умножить одночлен $3x$ на каждый член многочлена $(2x + 5)$, используя распределительное свойство умножения $a(b+c) = ab+ac$.

Первый член: $3x \cdot 2x = (3 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) = 6x^2$.

Второй член: $3x \cdot 5 = (3 \cdot 5)x = 15x$.

Складываем полученные произведения: $6x^2 + 15x$.

Ответ: $6x^2 + 15x$.

2) Умножим одночлен $4x$ на многочлен $(x^2 - 8x - 2)$, применяя распределительное свойство.

$4x(x^2 - 8x - 2) = 4x \cdot x^2 + 4x \cdot (-8x) + 4x \cdot (-2)$.

Выполняем умножение для каждого члена:

$4x \cdot x^2 = 4x^{1+2} = 4x^3$.

$4x \cdot (-8x) = (4 \cdot -8) \cdot (x \cdot x) = -32x^2$.

$4x \cdot (-2) = (4 \cdot -2)x = -8x$.

Результат: $4x^3 - 32x^2 - 8x$.

Ответ: $4x^3 - 32x^2 - 8x$.

3) Умножим одночлен $-2a$ на многочлен $(a^2 + a - 3)$.

$-2a(a^2 + a - 3) = (-2a) \cdot a^2 + (-2a) \cdot a + (-2a) \cdot (-3)$.

Вычисляем произведения:

$(-2a) \cdot a^2 = -2a^{1+2} = -2a^3$.

$(-2a) \cdot a = -2a^{1+1} = -2a^2$.

$(-2a) \cdot (-3) = (-2 \cdot -3)a = 6a$.

Результат: $-2a^3 - 2a^2 + 6a$.

Ответ: $-2a^3 - 2a^2 + 6a$.

4) Умножим $5b^2$ на $(3b^2 - 7b + 10)$.

$5b^2(3b^2 - 7b + 10) = 5b^2 \cdot 3b^2 + 5b^2 \cdot (-7b) + 5b^2 \cdot 10$.

Вычисляем произведения:

$5b^2 \cdot 3b^2 = (5 \cdot 3) \cdot (b^2 \cdot b^2) = 15b^{2+2} = 15b^4$.

$5b^2 \cdot (-7b) = (5 \cdot -7) \cdot (b^2 \cdot b) = -35b^{2+1} = -35b^3$.

$5b^2 \cdot 10 = (5 \cdot 10)b^2 = 50b^2$.

Результат: $15b^4 - 35b^3 + 50b^2$.

Ответ: $15b^4 - 35b^3 + 50b^2$.

5) Умножим $mn$ на $(m^2n - n^3)$.

$mn(m^2n - n^3) = mn \cdot m^2n + mn \cdot (-n^3)$.

Вычисляем произведения:

$mn \cdot m^2n = (m \cdot m^2) \cdot (n \cdot n) = m^{1+2}n^{1+1} = m^3n^2$.

$mn \cdot (-n^3) = -m \cdot (n \cdot n^3) = -mn^{1+3} = -mn^4$.

Результат: $m^3n^2 - mn^4$.

Ответ: $m^3n^2 - mn^4$.

6) Умножим $2ab$ на $(a^3 - 3a^2b + b^2)$.

$2ab(a^3 - 3a^2b + b^2) = 2ab \cdot a^3 + 2ab \cdot (-3a^2b) + 2ab \cdot b^2$.

Вычисляем произведения:

$2ab \cdot a^3 = 2(a \cdot a^3)b = 2a^{1+3}b = 2a^4b$.

$2ab \cdot (-3a^2b) = (2 \cdot -3)(a \cdot a^2)(b \cdot b) = -6a^{1+2}b^{1+1} = -6a^3b^2$.

$2ab \cdot b^2 = 2a(b \cdot b^2) = 2ab^{1+2} = 2ab^3$.

Результат: $2a^4b - 6a^3b^2 + 2ab^3$.

Ответ: $2a^4b - 6a^3b^2 + 2ab^3$.

7) Умножим многочлен $(4y^3 - 6y + 7)$ на одночлен $(-1,2y^3)$.

$(4y^3 - 6y + 7) \cdot (-1,2y^3) = 4y^3 \cdot (-1,2y^3) + (-6y) \cdot (-1,2y^3) + 7 \cdot (-1,2y^3)$.

Вычисляем произведения:

$4y^3 \cdot (-1,2y^3) = (4 \cdot -1,2) \cdot (y^3 \cdot y^3) = -4,8y^{3+3} = -4,8y^6$.

$(-6y) \cdot (-1,2y^3) = (-6 \cdot -1,2) \cdot (y \cdot y^3) = 7,2y^{1+3} = 7,2y^4$.

$7 \cdot (-1,2y^3) = (7 \cdot -1,2)y^3 = -8,4y^3$.

Результат: $-4,8y^6 + 7,2y^4 - 8,4y^3$.

Ответ: $-4,8y^6 + 7,2y^4 - 8,4y^3$.

8) Умножим многочлен $(2,3a^3b - 1,7b^4 - 3,5b)$ на одночлен $(-10a^2b)$.

$(2,3a^3b - 1,7b^4 - 3,5b) \cdot (-10a^2b) = 2,3a^3b \cdot (-10a^2b) + (-1,7b^4) \cdot (-10a^2b) + (-3,5b) \cdot (-10a^2b)$.

Вычисляем произведения:

$2,3a^3b \cdot (-10a^2b) = (2,3 \cdot -10)(a^3 \cdot a^2)(b \cdot b) = -23a^{3+2}b^{1+1} = -23a^5b^2$.

$(-1,7b^4) \cdot (-10a^2b) = (-1,7 \cdot -10)a^2(b^4 \cdot b) = 17a^2b^{4+1} = 17a^2b^5$.

$(-3,5b) \cdot (-10a^2b) = (-3,5 \cdot -10)a^2(b \cdot b) = 35a^2b^{1+1} = 35a^2b^2$.

Результат: $-23a^5b^2 + 17a^2b^5 + 35a^2b^2$.

Ответ: $-23a^5b^2 + 17a^2b^5 + 35a^2b^2$.

9) Умножим одночлен $-4pk^3$ на многочлен $(3p^2k - p + 4k - 2)$.

$-4pk^3(3p^2k - p + 4k - 2) = (-4pk^3)(3p^2k) + (-4pk^3)(-p) + (-4pk^3)(4k) + (-4pk^3)(-2)$.

Вычисляем произведения:

$(-4pk^3)(3p^2k) = (-4 \cdot 3)(p \cdot p^2)(k^3 \cdot k) = -12p^{1+2}k^{3+1} = -12p^3k^4$.

$(-4pk^3)(-p) = (-4 \cdot -1)(p \cdot p)k^3 = 4p^{1+1}k^3 = 4p^2k^3$.

$(-4pk^3)(4k) = (-4 \cdot 4)p(k^3 \cdot k) = -16pk^{3+1} = -16pk^4$.

$(-4pk^3)(-2) = (-4 \cdot -2)pk^3 = 8pk^3$.

Результат: $-12p^3k^4 + 4p^2k^3 - 16pk^4 + 8pk^3$.

Ответ: $-12p^3k^4 + 4p^2k^3 - 16pk^4 + 8pk^3$.

10) Умножим одночлен $\frac{2}{3}mn^2$ на многочлен $(6m - 1,8n + 9)$.

$\frac{2}{3}mn^2(6m - 1,8n + 9) = (\frac{2}{3}mn^2)(6m) + (\frac{2}{3}mn^2)(-1,8n) + (\frac{2}{3}mn^2)(9)$.

Вычисляем произведения:

$(\frac{2}{3}mn^2)(6m) = (\frac{2}{3} \cdot 6)(m \cdot m)n^2 = \frac{12}{3}m^2n^2 = 4m^2n^2$.

$(\frac{2}{3}mn^2)(-1,8n) = (\frac{2}{3} \cdot -1,8)m(n^2 \cdot n) = (\frac{2}{3} \cdot -\frac{18}{10})mn^3 = -\frac{36}{30}mn^3 = -1,2mn^3$.

$(\frac{2}{3}mn^2)(9) = (\frac{2}{3} \cdot 9)mn^2 = \frac{18}{3}mn^2 = 6mn^2$.

Результат: $4m^2n^2 - 1,2mn^3 + 6mn^2$.

Ответ: $4m^2n^2 - 1,2mn^3 + 6mn^2$.