Страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Как умножить одночлен на многочлен?

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо применить распределительное свойство умножения относительно сложения. Суть этого свойства заключается в том, что нужно умножить данный одночлен на каждый из членов многочлена и полученные произведения алгебраически сложить (то есть сложить с учётом их знаков).

Произведение одночлена на многочлен равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена на каждый из членов исходного многочлена.

В общем виде это правило можно записать формулой:

$A \cdot (B + C - D) = A \cdot B + A \cdot C - A \cdot D$

где $A$ — одночлен, а $(B + C - D)$ — многочлен.

1. Запишите одночлен, а за ним в скобках — многочлен.
2. Последовательно умножьте одночлен на каждый член многочлена. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, а коэффициенты перемножаются. Внимательно следите за знаками.
3. Запишите полученные произведения в виде суммы (или разности, в зависимости от знаков).
4. Если в результате получились подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью), приведите их.

Выполним умножение одночлена $-3x^2y$ на многочлен $(4x^3 - 7xy^2 + 2)$.

1. Записываем произведение:

$-3x^2y \cdot (4x^3 - 7xy^2 + 2)$

2. Умножаем одночлен $-3x^2y$ на каждый член многочлена в скобках:

$(-3x^2y) \cdot (4x^3) + (-3x^2y) \cdot (-7xy^2) + (-3x^2y) \cdot (2)$

3. Вычисляем каждое произведение отдельно:

• Первое произведение: $(-3 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot y = -12x^{2+3}y = -12x^5y$
• Второе произведение: $(-3 \cdot -7) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^2) = 21x^{2+1}y^{1+2} = 21x^3y^3$
• Третье произведение: $(-3 \cdot 2) \cdot x^2y = -6x^2y$

4. Складываем полученные результаты. Так как подобных слагаемых нет, просто записываем их сумму:

$-12x^5y + 21x^3y^3 - 6x^2y$

Ответ: $-12x^5y + 21x^3y^3 - 6x^2y$

458. Выполните умножение:

1) $a(a-b);$

2) $m(m+n-4);$

3) $-c(4+c);$

4) $-a^2(a^2-a+1).$

1) Для выполнения умножения одночлена $a$ на двучлен $(a-b)$ необходимо использовать распределительный закон умножения. Это означает, что нужно умножить одночлен $a$ на каждый член двучлена $(a-b)$ и сложить результаты.

Первый член: $a \cdot a = a^2$

Второй член: $a \cdot (-b) = -ab$

Складываем полученные произведения:

$a(a-b) = a^2 - ab$

Ответ: $a^2 - ab$

2) Умножим одночлен $m$ на многочлен $(m+n-4)$. Для этого умножим $m$ на каждый член многочлена последовательно.

Первый член: $m \cdot m = m^2$

Второй член: $m \cdot n = mn$

Третий член: $m \cdot (-4) = -4m$

Складываем результаты:

$m(m+n-4) = m^2 + mn - 4m$

Ответ: $m^2 + mn - 4m$

3) Выполним умножение одночлена $-c$ на двучлен $(4+c)$. Умножаем $-c$ на каждый член в скобках.

Первый член: $-c \cdot 4 = -4c$

Второй член: $-c \cdot c = -c^2$

Складываем полученные произведения:

$-c(4+c) = -4c - c^2$

Ответ: $-4c - c^2$

4) Умножим одночлен $-a^2$ на многочлен $(a^2-a+1)$. Для этого умножим $-a^2$ на каждый член многочлена. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.

Первый член: $-a^2 \cdot a^2 = -a^{2+2} = -a^4$

Второй член: $-a^2 \cdot (-a) = a^{2+1} = a^3$

Третий член: $-a^2 \cdot 1 = -a^2$

Складываем результаты:

$-a^2(a^2-a+1) = -a^4 + a^3 - a^2$

Ответ: $-a^4 + a^3 - a^2$

459. Выполните умножение:

1) $m(n - 3)$;

2) $x(y - z + 4)$;

3) $-m(m - 6)$;

4) $-a(a^3 - b + c)$.

1) Для выполнения умножения $m(n - 3)$ необходимо использовать распределительное свойство умножения. Это означает, что нужно умножить множитель перед скобками ($m$) на каждый член внутри скобок ($n$ и $-3$).
Первый шаг: умножаем $m$ на $n$:
$m \cdot n = mn$
Второй шаг: умножаем $m$ на $-3$:
$m \cdot (-3) = -3m$
Третий шаг: складываем полученные результаты:
$mn + (-3m) = mn - 3m$
Ответ: $mn - 3m$

2) Чтобы выполнить умножение $x(y - z + 4)$, мы также применяем распределительное свойство. Умножаем $x$ на каждый из трех членов в скобках ($y$, $-z$ и $+4$).
Умножаем $x$ на $y$:
$x \cdot y = xy$
Умножаем $x$ на $-z$:
$x \cdot (-z) = -xz$
Умножаем $x$ на $4$:
$x \cdot 4 = 4x$
Собираем все члены вместе:
$xy - xz + 4x$
Ответ: $xy - xz + 4x$

3) В выражении $-m(m - 6)$ необходимо умножить одночлен $-m$ на каждый член многочлена в скобках ($m$ и $-6$).
Умножаем $-m$ на $m$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($m = m^1$):
$-m \cdot m = -m^{1+1} = -m^2$
Умножаем $-m$ на $-6$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число:
$-m \cdot (-6) = 6m$
Результат сложения этих произведений:
$-m^2 + 6m$
Ответ: $-m^2 + 6m$

4) Для умножения $-a(a^3 - b + c)$ снова применяем распределительное свойство, умножая $-a$ на каждый член в скобках ($a^3$, $-b$ и $c$).
Умножаем $-a$ на $a^3$. Помним, что $a = a^1$:
$-a \cdot a^3 = -a^{1+3} = -a^4$
Умножаем $-a$ на $-b$ (минус на минус дает плюс):
$-a \cdot (-b) = ab$
Умножаем $-a$ на $c$ (минус на плюс дает минус):
$-a \cdot c = -ac$
Объединяем все полученные члены:
$-a^4 + ab - ac$
Ответ: $-a^4 + ab - ac$

460. Преобразуйте в многочлен произведение:

1) $3x(2x + 5);$

2) $4x(x^2 - 8x - 2);$

3) $-2a(a^2 + a - 3);$

4) $5b^2(3b^2 - 7b + 10);$

5) $mn(m^2n - n^3);$

6) $2ab(a^3 - 3a^2b + b^2);$

7) $(4y^3 - 6y + 7) \cdot (-1.2y^3);$

8) $(2.3a^3b - 1.7b^4 - 3.5b) \cdot (-10a^2b);$

9) $-4pk^3(3p^2k - p + 4k - 2);$

10) $\frac{2}{3}mn^2(6m - 1.8n + 9).$

1) Чтобы преобразовать произведение $3x(2x + 5)$ в многочлен, нужно умножить одночлен $3x$ на каждый член многочлена $(2x + 5)$, используя распределительное свойство умножения $a(b+c) = ab+ac$.

Первый член: $3x \cdot 2x = (3 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) = 6x^2$.

Второй член: $3x \cdot 5 = (3 \cdot 5)x = 15x$.

Складываем полученные произведения: $6x^2 + 15x$.

Ответ: $6x^2 + 15x$.

2) Умножим одночлен $4x$ на многочлен $(x^2 - 8x - 2)$, применяя распределительное свойство.

$4x(x^2 - 8x - 2) = 4x \cdot x^2 + 4x \cdot (-8x) + 4x \cdot (-2)$.

Выполняем умножение для каждого члена:

$4x \cdot x^2 = 4x^{1+2} = 4x^3$.

$4x \cdot (-8x) = (4 \cdot -8) \cdot (x \cdot x) = -32x^2$.

$4x \cdot (-2) = (4 \cdot -2)x = -8x$.

Результат: $4x^3 - 32x^2 - 8x$.

Ответ: $4x^3 - 32x^2 - 8x$.

3) Умножим одночлен $-2a$ на многочлен $(a^2 + a - 3)$.

$-2a(a^2 + a - 3) = (-2a) \cdot a^2 + (-2a) \cdot a + (-2a) \cdot (-3)$.

Вычисляем произведения:

$(-2a) \cdot a^2 = -2a^{1+2} = -2a^3$.

$(-2a) \cdot a = -2a^{1+1} = -2a^2$.

$(-2a) \cdot (-3) = (-2 \cdot -3)a = 6a$.

Результат: $-2a^3 - 2a^2 + 6a$.

Ответ: $-2a^3 - 2a^2 + 6a$.

4) Умножим $5b^2$ на $(3b^2 - 7b + 10)$.

$5b^2(3b^2 - 7b + 10) = 5b^2 \cdot 3b^2 + 5b^2 \cdot (-7b) + 5b^2 \cdot 10$.

Вычисляем произведения:

$5b^2 \cdot 3b^2 = (5 \cdot 3) \cdot (b^2 \cdot b^2) = 15b^{2+2} = 15b^4$.

$5b^2 \cdot (-7b) = (5 \cdot -7) \cdot (b^2 \cdot b) = -35b^{2+1} = -35b^3$.

$5b^2 \cdot 10 = (5 \cdot 10)b^2 = 50b^2$.

Результат: $15b^4 - 35b^3 + 50b^2$.

Ответ: $15b^4 - 35b^3 + 50b^2$.

5) Умножим $mn$ на $(m^2n - n^3)$.

$mn(m^2n - n^3) = mn \cdot m^2n + mn \cdot (-n^3)$.

Вычисляем произведения:

$mn \cdot m^2n = (m \cdot m^2) \cdot (n \cdot n) = m^{1+2}n^{1+1} = m^3n^2$.

$mn \cdot (-n^3) = -m \cdot (n \cdot n^3) = -mn^{1+3} = -mn^4$.

Результат: $m^3n^2 - mn^4$.

Ответ: $m^3n^2 - mn^4$.

6) Умножим $2ab$ на $(a^3 - 3a^2b + b^2)$.

$2ab(a^3 - 3a^2b + b^2) = 2ab \cdot a^3 + 2ab \cdot (-3a^2b) + 2ab \cdot b^2$.

Вычисляем произведения:

$2ab \cdot a^3 = 2(a \cdot a^3)b = 2a^{1+3}b = 2a^4b$.

$2ab \cdot (-3a^2b) = (2 \cdot -3)(a \cdot a^2)(b \cdot b) = -6a^{1+2}b^{1+1} = -6a^3b^2$.

$2ab \cdot b^2 = 2a(b \cdot b^2) = 2ab^{1+2} = 2ab^3$.

Результат: $2a^4b - 6a^3b^2 + 2ab^3$.

Ответ: $2a^4b - 6a^3b^2 + 2ab^3$.

7) Умножим многочлен $(4y^3 - 6y + 7)$ на одночлен $(-1,2y^3)$.

$(4y^3 - 6y + 7) \cdot (-1,2y^3) = 4y^3 \cdot (-1,2y^3) + (-6y) \cdot (-1,2y^3) + 7 \cdot (-1,2y^3)$.

Вычисляем произведения:

$4y^3 \cdot (-1,2y^3) = (4 \cdot -1,2) \cdot (y^3 \cdot y^3) = -4,8y^{3+3} = -4,8y^6$.

$(-6y) \cdot (-1,2y^3) = (-6 \cdot -1,2) \cdot (y \cdot y^3) = 7,2y^{1+3} = 7,2y^4$.

$7 \cdot (-1,2y^3) = (7 \cdot -1,2)y^3 = -8,4y^3$.

Результат: $-4,8y^6 + 7,2y^4 - 8,4y^3$.

Ответ: $-4,8y^6 + 7,2y^4 - 8,4y^3$.

8) Умножим многочлен $(2,3a^3b - 1,7b^4 - 3,5b)$ на одночлен $(-10a^2b)$.

$(2,3a^3b - 1,7b^4 - 3,5b) \cdot (-10a^2b) = 2,3a^3b \cdot (-10a^2b) + (-1,7b^4) \cdot (-10a^2b) + (-3,5b) \cdot (-10a^2b)$.

Вычисляем произведения:

$2,3a^3b \cdot (-10a^2b) = (2,3 \cdot -10)(a^3 \cdot a^2)(b \cdot b) = -23a^{3+2}b^{1+1} = -23a^5b^2$.

$(-1,7b^4) \cdot (-10a^2b) = (-1,7 \cdot -10)a^2(b^4 \cdot b) = 17a^2b^{4+1} = 17a^2b^5$.

$(-3,5b) \cdot (-10a^2b) = (-3,5 \cdot -10)a^2(b \cdot b) = 35a^2b^{1+1} = 35a^2b^2$.

Результат: $-23a^5b^2 + 17a^2b^5 + 35a^2b^2$.

Ответ: $-23a^5b^2 + 17a^2b^5 + 35a^2b^2$.

9) Умножим одночлен $-4pk^3$ на многочлен $(3p^2k - p + 4k - 2)$.

$-4pk^3(3p^2k - p + 4k - 2) = (-4pk^3)(3p^2k) + (-4pk^3)(-p) + (-4pk^3)(4k) + (-4pk^3)(-2)$.

Вычисляем произведения:

$(-4pk^3)(3p^2k) = (-4 \cdot 3)(p \cdot p^2)(k^3 \cdot k) = -12p^{1+2}k^{3+1} = -12p^3k^4$.

$(-4pk^3)(-p) = (-4 \cdot -1)(p \cdot p)k^3 = 4p^{1+1}k^3 = 4p^2k^3$.

$(-4pk^3)(4k) = (-4 \cdot 4)p(k^3 \cdot k) = -16pk^{3+1} = -16pk^4$.

$(-4pk^3)(-2) = (-4 \cdot -2)pk^3 = 8pk^3$.

Результат: $-12p^3k^4 + 4p^2k^3 - 16pk^4 + 8pk^3$.

Ответ: $-12p^3k^4 + 4p^2k^3 - 16pk^4 + 8pk^3$.

10) Умножим одночлен $\frac{2}{3}mn^2$ на многочлен $(6m - 1,8n + 9)$.

$\frac{2}{3}mn^2(6m - 1,8n + 9) = (\frac{2}{3}mn^2)(6m) + (\frac{2}{3}mn^2)(-1,8n) + (\frac{2}{3}mn^2)(9)$.

Вычисляем произведения:

$(\frac{2}{3}mn^2)(6m) = (\frac{2}{3} \cdot 6)(m \cdot m)n^2 = \frac{12}{3}m^2n^2 = 4m^2n^2$.

$(\frac{2}{3}mn^2)(-1,8n) = (\frac{2}{3} \cdot -1,8)m(n^2 \cdot n) = (\frac{2}{3} \cdot -\frac{18}{10})mn^3 = -\frac{36}{30}mn^3 = -1,2mn^3$.

$(\frac{2}{3}mn^2)(9) = (\frac{2}{3} \cdot 9)mn^2 = \frac{18}{3}mn^2 = 6mn^2$.

Результат: $4m^2n^2 - 1,2mn^3 + 6mn^2$.

Ответ: $4m^2n^2 - 1,2mn^3 + 6mn^2$.