Страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

490. Остаток при делении натурального числа $m$ на 5 равен 3, а остаток при делении натурального числа $n$ на 3 равен 2. Докажите, что значение выражения $3m + 5n$ не делится нацело на 15.

По условию задачи, остаток при делении натурального числа $m$ на 5 равен 3. Это означает, что число $m$ можно представить в виде $m = 5k + 3$, где $k$ — некоторое неотрицательное целое число.

Также по условию, остаток при делении натурального числа $n$ на 3 равен 2. Это означает, что число $n$ можно представить в виде $n = 3j + 2$, где $j$ — некоторое неотрицательное целое число.

Подставим эти выражения для $m$ и $n$ в заданное выражение $3m + 5n$:

$3m + 5n = 3(5k + 3) + 5(3j + 2)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$3(5k + 3) + 5(3j + 2) = 15k + 9 + 15j + 10 = 15k + 15j + 19$

Сгруппируем слагаемые, кратные 15:

$15k + 15j + 19 = 15(k + j) + 19$

Чтобы проверить, делится ли это выражение на 15, представим число 19 как сумму числа, кратного 15, и остатка:

$19 = 15 \cdot 1 + 4$

Тогда все выражение можно переписать следующим образом:

$15(k + j) + 19 = 15(k + j) + 15 + 4 = 15(k + j + 1) + 4$

Из полученной формы видно, что выражение $3m + 5n$ при делении на 15 дает в остатке 4. Поскольку остаток не равен нулю, значение выражения $3m + 5n$ не делится нацело на 15, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

491. В магазине проводится акция: при покупке двух одинаковых коробок конфет третью такую же коробку можно приобрести со скидкой 40%. Какое наибольшее количество коробок конфет можно приобрести, располагая 7500 р., если одна коробка стоит 450 р.?

Согласно условию акции, при покупке двух одинаковых коробок конфет третья предоставляется со скидкой 40%. Сначала найдем стоимость коробки со скидкой. Полная цена одной коробки — 450 р.

Размер скидки составляет: $450 \cdot \frac{40}{100} = 450 \cdot 0,4 = 180$ р.

Стоимость третьей коробки со скидкой: $450 - 180 = 270$ р.

Таким образом, один акционный набор из трёх коробок (две по полной цене и одна со скидкой) стоит: $2 \cdot 450 + 270 = 900 + 270 = 1170$ р.

Теперь определим, сколько полных акционных наборов можно купить на сумму 7500 р. Для этого разделим общую сумму на стоимость одного набора:

$7500 \div 1170 \approx 6,41$

Это означает, что можно купить 6 полных наборов. В этих 6 наборах будет $6 \cdot 3 = 18$ коробок конфет.

Стоимость шести наборов составит: $6 \cdot 1170 = 7020$ р.

После покупки 18 коробок у нас останется: $7500 - 7020 = 480$ р.

На оставшиеся деньги можно купить еще коробки по их полной стоимости (450 р.), так как для получения скидки нужно купить две коробки. Поскольку $480 > 450$, на остаток можно купить еще одну коробку.

Итого, максимальное количество коробок, которое можно приобрести, равно: $18$ (в составе наборов) $+ 1$ (на остаток) $= 19$ коробок.

Проверим общую сумму покупки: $6 \cdot (2 \cdot 450 + 270) + 450 = 6 \cdot 1170 + 450 = 7020 + 450 = 7470$ р. Эта сумма меньше 7500 р. Купить 20-ю коробку уже не получится, так как ее стоимость (450 р.) превысит остаток денег ($7500 - 7470 = 30$ р.).

Ответ: 19

492. Общая площадь трёх полей равна 46,4 га. Площадь второго поля в $1\frac{2}{3}$ раза меньше площади первого, а площадь третьего поля составляет 72% площади первого. Найдите площадь каждого поля.

Решение

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ га — площадь первого поля. Теперь выразим площади второго и третьего полей через $x$, основываясь на условиях задачи.

Площадь второго поля в $1\frac{2}{3}$ раза меньше площади первого. Сначала представим смешанное число $1\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Чтобы найти площадь второго поля, нужно площадь первого поля разделить на $\frac{5}{3}$:

$S_2 = x \div \frac{5}{3} = x \cdot \frac{3}{5} = 0.6x$ га.

Площадь третьего поля составляет 72% от площади первого. Переведем проценты в десятичную дробь:

$72\% = \frac{72}{100} = 0.72$

Следовательно, площадь третьего поля равна:

$S_3 = 0.72x$ га.

Общая площадь трёх полей, по условию, равна 46,4 га. Мы можем составить уравнение, сложив площади всех трёх полей:

$S_1 + S_2 + S_3 = 46.4$

$x + 0.6x + 0.72x = 46.4$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$(1 + 0.6 + 0.72)x = 46.4$

$2.32x = 46.4$

$x = \frac{46.4}{2.32}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{4640}{232}$

$x = 20$

Таким образом, площадь первого поля ($S_1$) составляет 20 га.

Теперь, зная площадь первого поля, мы можем найти площади второго и третьего полей:

Площадь второго поля: $S_2 = 0.6x = 0.6 \cdot 20 = 12$ га.

Площадь третьего поля: $S_3 = 0.72x = 0.72 \cdot 20 = 14.4$ га.

Для проверки сложим найденные площади:

$20 + 12 + 14.4 = 32 + 14.4 = 46.4$ га.

Сумма совпадает с общей площадью, указанной в условии, значит, задача решена верно.

Ответ: площадь первого поля — 20 га, площадь второго поля — 12 га, площадь третьего поля — 14,4 га.

493. За первый день Елизавета прочитала $\frac{2}{7}$ страниц книги, за второй – 64% оставшихся, а за третий – остальные 54 страницы. Сколько страниц в книге?

Для решения этой задачи будем действовать в обратном порядке, начиная с информации о последнем дне чтения.

1. Сначала найдем, сколько страниц осталось прочитать после первого дня. Нам известно, что в третий день Елизавета прочитала 54 страницы. Эти 54 страницы — это то, что осталось после того, как во второй день она прочитала 64% от остатка после первого дня. Следовательно, 54 страницы составляют $100\% - 64\% = 36\%$ от количества страниц, оставшихся после первого дня.

Пусть $y$ — это количество страниц, оставшихся после первого дня. Тогда мы можем составить уравнение, зная, что 36% от $y$ — это 54. Переведем проценты в десятичную дробь: $36\% = 0.36$.
$0.36 \cdot y = 54$
$y = 54 \div 0.36$
$y = 150$
Таким образом, после первого дня чтения оставалось 150 страниц.

2. Теперь, зная, что после первого дня осталось 150 страниц, мы можем найти общее количество страниц в книге. В первый день было прочитано $\frac{2}{7}$ всей книги. Это означает, что оставшиеся 150 страниц составляют $1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ от общего числа страниц.
Пусть $x$ — это общее количество страниц в книге. Тогда:
$\frac{5}{7} \cdot x = 150$
Чтобы найти $x$, нужно 150 разделить на дробь $\frac{5}{7}$:
$x = 150 \div \frac{5}{7} = 150 \cdot \frac{7}{5}$
$x = \frac{150 \cdot 7}{5} = 30 \cdot 7 = 210$
Итак, всего в книге 210 страниц.

Ответ: 210 страниц.

494. Велосипедист проехал первую половину пути за 3 ч, а вторую – за 2,5 ч, так как увеличил скорость на 3 км/ч. Какое расстояние проехал велосипедист?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть $v$ (в км/ч) — это скорость велосипедиста на первой половине пути. Тогда на второй половине пути его скорость была $(v + 3)$ км/ч, так как он ее увеличил.

Весь путь разделен на две равные половины. Обозначим длину одной половины пути как $S$ (в км). Мы можем выразить $S$ через скорость и время для каждого участка, используя формулу $S = \text{скорость} \times \text{время}$.

Для первой половины пути, которую велосипедист проехал за $t_1 = 3$ часа:

$S = v \cdot t_1 = v \cdot 3$

Для второй половины пути, которую он проехал за $t_2 = 2,5$ часа:

$S = (v + 3) \cdot t_2 = (v + 3) \cdot 2.5$

Поскольку обе половины пути равны, мы можем приравнять выражения для $S$:

$3v = 2.5(v + 3)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти начальную скорость $v$:

$3v = 2.5v + 2.5 \cdot 3$

$3v = 2.5v + 7.5$

$3v - 2.5v = 7.5$

$0.5v = 7.5$

$v = \frac{7.5}{0.5} = 15$

Итак, скорость на первой половине пути составляла 15 км/ч.

Теперь, зная скорость, мы можем вычислить расстояние одной половины пути:

$S = 3 \cdot v = 3 \cdot 15 = 45$ км.

Общее расстояние, которое проехал велосипедист, состоит из двух таких одинаковых половин:

$S_{\text{общ}} = S + S = 45 + 45 = 90$ км.

Ответ: 90 км.

495. На одном складе было 184 т минеральных удобрений, а на втором – 240 т. Первый склад отпускает ежедневно по 15 т удобрений, а второй – по 18 т. Через сколько дней масса удобрений, оставшихся на первом складе, будет составлять $ \frac{2}{3} $ массы удобрений, оставшихся на втором складе?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество дней, через которое масса удобрений на первом складе составит $\frac{2}{3}$ массы удобрений на втором.

Масса удобрений, которая останется на первом складе через $x$ дней, вычисляется как начальная масса минус общее количество отпущенных удобрений. Первый склад отпускает по 15 тонн в день, значит, через $x$ дней масса составит: $184 - 15x$ тонн.

Аналогично для второго склада, который отпускает по 18 тонн в день. Через $x$ дней на нем останется: $240 - 18x$ тонн.

По условию задачи, через $x$ дней масса на первом складе должна быть равна $\frac{2}{3}$ массы на втором. Составим уравнение на основе этого условия:

$184 - 15x = \frac{2}{3} \cdot (240 - 18x)$

Чтобы упростить уравнение, умножим обе его части на 3:

$3 \cdot (184 - 15x) = 2 \cdot (240 - 18x)$

Раскроем скобки:

$552 - 45x = 480 - 36x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов при $x$:

$552 - 480 = 45x - 36x$

Выполним вычитание и сложение:

$72 = 9x$

Найдем $x$, разделив обе части на 9:

$x = \frac{72}{9}$

$x = 8$

Таким образом, через 8 дней масса удобрений на первом складе составит $\frac{2}{3}$ от массы на втором.

Проведем проверку:

Через 8 дней на первом складе останется: $184 - 15 \cdot 8 = 184 - 120 = 64$ тонны.

Через 8 дней на втором складе останется: $240 - 18 \cdot 8 = 240 - 144 = 96$ тонн.

Проверим соотношение: $\frac{64}{96} = \frac{2 \cdot 32}{3 \cdot 32} = \frac{2}{3}$. Соотношение верное.

Ответ: через 8 дней.

496. Решая задание 463 (4), Вася Ленивцев записал следующее:

$5c^3(4c - 3) - 2c^2(8c^2 - 12) = 20c^4 - 15c^3 - 16c^4 - 24c^2 = 4c^4 - 39c^2$.

Найдите ошибки в его решении.

Проанализируем решение, которое записал Вася Ленивцев, и найдем в нем ошибки.

Исходное выражение: $5c^3(4c - 3) - 2c^2(8c^2 - 12)$.

Запись Васи: $20c^4 - 15c^3 - 16c^4 - 24c^2 = 4c^4 - 39c^2$.

В решении допущено две ошибки на разных этапах.

1. Ошибка при раскрытии скобок.
Первая часть выражения раскрыта верно: $5c^3(4c - 3) = 20c^4 - 15c^3$.
При раскрытии второй части допущена ошибка. Необходимо умножить $-2c^2$ на каждый член в скобках:
$-2c^2(8c^2 - 12) = (-2c^2) \cdot (8c^2) + (-2c^2) \cdot (-12) = -16c^4 + 24c^2$.
Вася получил $-24c^2$ вместо $+24c^2$. Он совершил ошибку в знаке, так как произведение двух отрицательных чисел ($-2c^2$ и $-12$) должно быть положительным.

2. Ошибка при приведении подобных слагаемых.
После раскрытия скобок Вася получил выражение $20c^4 - 15c^3 - 16c^4 - 24c^2$ (с учетом его первой ошибки) и упростил его до $4c^4 - 39c^2$.
Действие $20c^4 - 16c^4 = 4c^4$ выполнено правильно.
Однако затем он сложил $-15c^3$ и $-24c^2$. Это вторая ошибка, так как данные слагаемые не являются подобными: у них переменная $c$ имеет разные степени (3 и 2). Складывать и вычитать можно только подобные слагаемые.

Правильное решение задачи:
1. Раскрываем скобки в исходном выражении:
$5c^3(4c - 3) - 2c^2(8c^2 - 12) = 20c^4 - 15c^3 - 16c^4 + 24c^2$
2. Приводим подобные слагаемые (те, что содержат $c^4$):
$(20c^4 - 16c^4) - 15c^3 + 24c^2 = 4c^4 - 15c^3 + 24c^2$

Ответ: В решении Васи две ошибки: 1) ошибка знака при раскрытии скобок ($-2c^2 \cdot (-12) = +24c^2$, а не $-24c^2$); 2) сложение неподобных слагаемых ($-15c^3$ и $-24c^2$ складывать нельзя). Правильный результат упрощения выражения: $4c^4 - 15c^3 + 24c^2$.

497. В волейбольном турнире, проходившем в один круг (то есть каждая команда сыграла с каждой один раз), 20% всех команд не выиграли ни одной игры. Сколько команд участвовало в этом турнире? (Примечание. В волейболе «ничьих» не бывает, обязательно одна команда выигрывает, а другая проигрывает.)

Пусть $N$ — общее количество команд, участвовавших в турнире.

По условию, 20% всех команд не выиграли ни одной игры. Обозначим количество таких команд через $K$.Тогда $K$ составляет 20% от $N$, что можно записать в виде формулы:$K = 0.2 \times N = \frac{1}{5}N$

Поскольку количество команд $K$ должно быть целым числом, общее количество команд $N$ должно быть кратно 5.

Рассмотрим группу из $K$ команд, которые не одержали ни одной победы. Турнир проходил в один круг, это означает, что каждая команда сыграла с каждой другой командой ровно один раз. Следовательно, любые две команды из этой группы проигравших должны были сыграть между собой.

В волейболе, как указано в примечании, не бывает ничьих. Это значит, что в любой игре одна команда выигрывает, а другая проигрывает.

Предположим, что количество команд без побед $K$ больше единицы (т.е. $K \ge 2$). Возьмём любые две команды из этой группы. Когда они играли друг с другом, одна из них должна была победить. Но это противоречит основному условию, что команды из этой группы не выиграли ни одной игры за весь турнир.

Следовательно, наше предположение, что $K \ge 2$, неверно. Это означает, что количество команд, не выигравших ни одной игры, не может быть больше одной. Таким образом, $K$ должно быть равно 1 (случай $K=0$ невозможен, так как по условию 20% команд не имеют побед, а это ненулевое количество).

Итак, мы установили, что в турнире была ровно одна команда, которая не выиграла ни одной игры, то есть $K=1$.

Теперь мы можем найти общее число команд $N$, используя выведенное ранее соотношение:$K = \frac{1}{5}N$Подставим значение $K=1$:$1 = \frac{1}{5}N$Отсюда находим $N$:$N = 5$

Проверим: если в турнире участвовало 5 команд, то 20% от 5 — это ровно 1 команда. Это согласуется с нашим выводом, что только одна команда могла не выиграть ни одной игры. Такая ситуация возможна: одна команда проигрывает всем остальным четырем, а те, в свою очередь, имеют как минимум по одной победе (над этой проигравшей командой).

Ответ: 5.