Страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

479. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $*\cdot (a - b + c) = -abc + b^2c - bc^2$;

2) $*\cdot (ab - b^2) = a^3b - a^2b^2$;

3) $-3a^2(* - *) = 6a^3 + 15a^4$.

1) Пусть искомый одночлен, который нужно поставить вместо звёздочки, равен $X$. Тогда исходное равенство можно записать в виде тождества: $X \cdot (a - b + c) = -abc + b^2c - bc^2$. Чтобы найти неизвестный множитель $X$, нужно разделить произведение (правую часть) на известный множитель (выражение в скобках): $X = \frac{-abc + b^2c - bc^2}{a - b + c}$. Для упрощения дроби разложим числитель на множители, вынеся за скобки общий множитель $-bc$: $-abc + b^2c - bc^2 = -bc(a) - bc(-b) - bc(c) = -bc(a - b + c)$. Теперь подставим это выражение обратно в формулу для $X$: $X = \frac{-bc(a - b + c)}{a - b + c}$. Сократив дробь на общий множитель $(a - b + c)$, получим: $X = -bc$. Проверим, подставив найденный одночлен в исходное выражение: $-bc \cdot (a - b + c) = (-bc) \cdot a - (-bc) \cdot b + (-bc) \cdot c = -abc + b^2c - bc^2$. Равенство верно.
Ответ: $-bc$.

2) Обозначим неизвестный одночлен через $X$. Тождество примет вид: $X \cdot (ab - b^2) = a^3b - a^2b^2$. Чтобы найти $X$, разделим правую часть тождества на левый множитель в скобках: $X = \frac{a^3b - a^2b^2}{ab - b^2}$. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $a^2b$: $a^3b - a^2b^2 = a^2b(a - b)$. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b$: $ab - b^2 = b(a - b)$. Подставим разложенные выражения в формулу для $X$: $X = \frac{a^2b(a - b)}{b(a - b)}$. Сократим дробь на общий множитель $b(a - b)$: $X = a^2$. Проверим полученный результат: $a^2 \cdot (ab - b^2) = a^2 \cdot ab - a^2 \cdot b^2 = a^3b - a^2b^2$. Равенство верно.
Ответ: $a^2$.

3) Исходное тождество: $-3a^2(* - *) = 6a^3 + 15a^4$. В данном случае нам нужно найти два одночлена. Обозначим выражение в скобках как $M = (* - *)$. Тогда уравнение можно переписать так: $-3a^2 \cdot M = 6a^3 + 15a^4$. Найдем $M$, разделив правую часть на $-3a^2$: $M = \frac{6a^3 + 15a^4}{-3a^2}$. Разделим почленно числитель на знаменатель: $M = \frac{6a^3}{-3a^2} + \frac{15a^4}{-3a^2} = -2a - 5a^2$. Итак, выражение в скобках равно $-2a - 5a^2$. Нам нужно представить его в виде разности двух одночленов, чтобы заполнить звёздочки в выражении $(* - *)$. Представим $-2a - 5a^2$ как разность: $(-2a) - (5a^2)$. Следовательно, первая звёздочка — это одночлен $-2a$, а вторая — $5a^2$. Подставим их в исходное тождество для проверки: $-3a^2(-2a - 5a^2) = (-3a^2)(-2a) - (-3a^2)(5a^2) = 6a^3 + 15a^4$. Равенство выполняется.
Ответ: первая звёздочка: $-2a$, вторая звёздочка: $5a^2$.

480. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(x - y) \cdot * = x^2y^2 - x^3y;$

2) $(-9x^2 + *) \cdot y = * + y^4;$

3) $(1,4x - *) \cdot 3x = * - 0,6x^3;$

4) $*(* - x^2y^5 + 5y^6) = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - *.$

1) Исходное тождество: $(x - y) \cdot * = x^2y^2 - x^3y$.

Обозначим одночлен, который нужно найти, за $M$. Тогда уравнение примет вид: $(x - y) \cdot M = x^2y^2 - x^3y$.

Для того чтобы найти $M$, нужно правую часть равенства разделить на $(x - y)$. Сначала вынесем общий множитель за скобки в правой части:

$x^2y^2 - x^3y = x^2y \cdot y - x^2y \cdot x = x^2y(y - x)$.

Теперь тождество выглядит так: $(x - y) \cdot M = x^2y(y - x)$.

Заметим, что $(y - x) = -(x - y)$. Подставим это в правую часть:

$(x - y) \cdot M = x^2y \cdot (-(x - y)) = -x^2y(x - y)$.

Теперь очевидно, что $M = -x^2y$.

Проверим: $(x - y) \cdot (-x^2y) = x \cdot (-x^2y) - y \cdot (-x^2y) = -x^3y - (-x^2y^2) = -x^3y + x^2y^2 = x^2y^2 - x^3y$. Тождество верно.

Ответ: $-x^2y$.

2) Исходное тождество: $(-9x^2 + *) \cdot y = * + y^4$.

Обозначим первую звёздочку за $M_1$, а вторую за $M_2$. Тождество: $(-9x^2 + M_1) \cdot y = M_2 + y^4$.

Раскроем скобки в левой части, умножив каждый член в скобках на $y$:

$-9x^2 \cdot y + M_1 \cdot y = M_2 + y^4$.

$-9x^2y + M_1y = M_2 + y^4$.

Поскольку это тождество, выражения в левой и правой частях должны быть равны. Это возможно, если слагаемые попарно равны. Приравняем слагаемые, содержащие $y$ в наибольшей степени:

$M_1y = y^4$.

Отсюда находим $M_1$: $M_1 = \frac{y^4}{y} = y^3$.

Теперь приравняем оставшиеся слагаемые:

$-9x^2y = M_2$.

Таким образом, первая звёздочка — это $y^3$, а вторая — $-9x^2y$.

Проверим: $(-9x^2 + y^3) \cdot y = -9x^2 \cdot y + y^3 \cdot y = -9x^2y + y^4$. Тождество верно.

Ответ: первая звёздочка — $y^3$, вторая звёздочка — $-9x^2y$.

3) Исходное тождество: $(1,4x - *) \cdot 3x = * - 0,6x^3$.

Обозначим первую звёздочку за $M_1$, а вторую за $M_2$. Тождество: $(1,4x - M_1) \cdot 3x = M_2 - 0,6x^3$.

Раскроем скобки в левой части:

$1,4x \cdot 3x - M_1 \cdot 3x = M_2 - 0,6x^3$.

$4,2x^2 - 3xM_1 = M_2 - 0,6x^3$.

Приравняем соответствующие слагаемые в левой и правой частях. Сравним слагаемые, содержащие $x^3$:

$-3xM_1 = -0,6x^3$.

Отсюда находим $M_1$: $M_1 = \frac{-0,6x^3}{-3x} = 0,2x^2$.

Теперь приравняем оставшиеся слагаемые:

$4,2x^2 = M_2$.

Итак, первая звёздочка — это $0,2x^2$, а вторая — $4,2x^2$.

Проверим: $(1,4x - 0,2x^2) \cdot 3x = 1,4x \cdot 3x - 0,2x^2 \cdot 3x = 4,2x^2 - 0,6x^3$. Тождество верно.

Ответ: первая звёздочка — $0,2x^2$, вторая звёздочка — $4,2x^2$.

4) Исходное тождество: $* \cdot (* - x^2y^5 + 5y^6) = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - *$.

Обозначим звёздочки последовательно за $M_1$, $M_2$ и $M_3$: $M_1 \cdot (M_2 - x^2y^5 + 5y^6) = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - M_3$.

Раскроем скобки в левой части:

$M_1M_2 - M_1x^2y^5 + 5M_1y^6 = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - M_3$.

Сравним слагаемые в обеих частях. Обратим внимание на слагаемые с коэффициентом 5. Вероятно, $5M_1y^6 = 5x^3y^8$.

Из этого равенства найдём $M_1$: $M_1 = \frac{5x^3y^8}{5y^6} = x^3y^{8-6} = x^3y^2$.

Теперь, зная $M_1$, мы можем найти остальные неизвестные. Подставим $M_1=x^3y^2$ в тождество:

$(x^3y^2)M_2 - (x^3y^2)x^2y^5 + 5(x^3y^2)y^6 = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - M_3$.

$x^3y^2M_2 - x^5y^7 + 5x^3y^8 = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - M_3$.

Сравнивая левую и правую части, видим, что слагаемое $5x^3y^8$ присутствует в обеих. Теперь сравним оставшиеся:

1. Слагаемое $x^3y^2M_2$ должно быть равно $8x^3y^3$. Отсюда $M_2 = \frac{8x^3y^3}{x^3y^2} = 8y$.

2. Слагаемое $-x^5y^7$ должно быть равно $-M_3$. Отсюда $M_3 = x^5y^7$.

Итак, первая звёздочка $M_1 = x^3y^2$, вторая $M_2 = 8y$, третья $M_3 = x^5y^7$.

Проверим: $x^3y^2(8y - x^2y^5 + 5y^6) = x^3y^2 \cdot 8y - x^3y^2 \cdot x^2y^5 + x^3y^2 \cdot 5y^6 = 8x^3y^3 - x^5y^7 + 5x^3y^8$. Если переставить слагаемые, получим $8x^3y^3 + 5x^3y^8 - x^5y^7$. Тождество верно.

Ответ: первая звёздочка — $x^3y^2$, вторая звёздочка — $8y$, третья звёздочка — $x^5y^7$.

481. Докажите, что если:

1) $a + b + c = 0$, то $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$;

2) $a^2 + b^2 = c^2$, то $c(ab - c) - b(ac - b) - a(bc - a) + abc = 0$.

1) Требуется доказать, что если $a + b + c = 0$, то $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки:

$a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = abc - a + abc - b + abc - c$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(abc + abc + abc) - a - b - c = 3abc - (a + b + c)$

По условию задачи нам дано, что $a + b + c = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$3abc - (0) = 3abc$

Мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой: $3abc = 3abc$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Требуется доказать, что если $a^2 + b^2 = c^2$, то $c(ab - c) - b(ac - b) - a(bc - a) + abc = 0$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки:

$c(ab - c) - b(ac - b) - a(bc - a) + abc = abc - c^2 - (abc - b^2) - (abc - a^2) + abc$

Продолжим упрощение, раскрыв оставшиеся скобки:

$abc - c^2 - abc + b^2 - abc + a^2 + abc$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(abc - abc - abc + abc) + a^2 + b^2 - c^2 = 0 \cdot abc + a^2 + b^2 - c^2 = a^2 + b^2 - c^2$

По условию задачи нам дано, что $a^2 + b^2 = c^2$. Это равенство можно переписать в виде $a^2 + b^2 - c^2 = 0$.

Подставим это в наше выражение:

$a^2 + b^2 - c^2 = 0$

Мы получили, что левая часть равенства равна нулю, что и соответствует правой части: $0 = 0$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

482. Докажите, что при любых значениях $x$ значение выражения $4(x^2 - 2x + 4) - 0,5x(6x - 16)$ является положительным числом.

Чтобы доказать, что значение выражения является положительным при любых значениях $x$, необходимо сначала упростить это выражение.

Исходное выражение: $4(x^2 - 2x + 4) - 0,5x(6x - 16)$.

1. Раскроем скобки. Для этого умножим множитель перед каждой скобкой на каждый член внутри скобок.

$4(x^2 - 2x + 4) = 4 \cdot x^2 + 4 \cdot (-2x) + 4 \cdot 4 = 4x^2 - 8x + 16$

$-0,5x(6x - 16) = (-0,5x) \cdot 6x + (-0,5x) \cdot (-16) = -3x^2 + 8x$

2. Теперь сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 8x + 16) + (-3x^2 + 8x) = 4x^2 - 8x + 16 - 3x^2 + 8x$

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $x$:

$(4x^2 - 3x^2) + (-8x + 8x) + 16$

Выполним действия в скобках:

$x^2 + 0 + 16 = x^2 + 16$

3. Мы упростили исходное выражение до вида $x^2 + 16$. Теперь проанализируем его.

Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \geq 0$ для любого $x$.

Наименьшее значение, которое может принимать слагаемое $x^2$, равно 0 (это происходит при $x=0$).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $x^2 + 16$ будет равно $0 + 16 = 16$.

Таким образом, для любого значения $x$ справедливо неравенство: $x^2 + 16 \geq 16$.

Поскольку $16$ — это положительное число ($16 > 0$), то и значение всего выражения всегда будет положительным.

Ответ: Выражение $4(x^2 - 2x + 4) - 0,5x(6x - 16)$ после упрощения равно $x^2 + 16$. Так как $x^2 \geq 0$ для любого $x$, то $x^2 + 16 \geq 16$, что больше нуля. Следовательно, значение выражения всегда положительно, что и требовалось доказать.

483. Докажите, что выражение $3x^2(3 - 4x) - 6x(1,5x - 2x^2 + x^3)$ принимает неположительные значения при всех значениях x.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает неположительные значения, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $3x^2(3-4x) - 6x(1,5x - 2x^2 + x^3)$.

1. Раскроем первую скобку, умножив $3x^2$ на каждый член в скобках:

$3x^2 \cdot 3 - 3x^2 \cdot 4x = 9x^2 - 12x^3$

2. Раскроем вторую скобку, умножив $-6x$ на каждый член в скобках:

$-6x \cdot 1,5x - 6x \cdot (-2x^2) - 6x \cdot x^3 = -9x^2 + 12x^3 - 6x^4$

3. Теперь сложим результаты и приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 12x^3) + (-9x^2 + 12x^3 - 6x^4) = 9x^2 - 12x^3 - 9x^2 + 12x^3 - 6x^4$

Сгруппируем подобные члены:

$(9x^2 - 9x^2) + (-12x^3 + 12x^3) - 6x^4 = 0 + 0 - 6x^4 = -6x^4$

В результате упрощения мы получили выражение $-6x^4$.

4. Проанализируем знак полученного выражения.

Выражение $x^4$ представляет собой переменную $x$, возведенную в четную степень (4). Любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда является неотрицательным, то есть большим или равным нулю. Математически это записывается как $x^4 \ge 0$ для любого $x$.

• Если $x \neq 0$, то $x^4 > 0$. При умножении положительного числа $x^4$ на отрицательное число $-6$, результат будет отрицательным: $-6x^4 < 0$.
• Если $x = 0$, то $x^4 = 0^4 = 0$. В этом случае выражение равно $-6 \cdot 0 = 0$.

Объединяя оба случая, мы видим, что выражение $-6x^4$ всегда меньше или равно нулю ($-6x^4 \le 0$). Значения, которые меньше или равны нулю, называются неположительными.

Следовательно, исходное выражение, которое тождественно равно $-6x^4$, принимает неположительные значения при всех значениях $x$.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $-6x^4$. Так как $x^4 \ge 0$ при любых значениях $x$, то произведение $-6x^4$ всегда будет меньше или равно нулю. Таким образом, доказано, что выражение принимает неположительные значения при всех значениях $x$.

484. Докажите, что выражение $7a^4(a+3) - a^3(21a + 7a^2 - 3a^5)$ принимает неотрицательные значения при всех значениях $a$.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает неотрицательные значения при всех значениях $a$, мы упростим его. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $7a^4(a + 3) - a^3(21a + 7a^2 - 3a^5)$.

1. Раскроем первую скобку, умножив $7a^4$ на каждый член в скобках $(a + 3)$:
$7a^4(a + 3) = 7a^4 \cdot a + 7a^4 \cdot 3 = 7a^5 + 21a^4$.

2. Раскроем вторую скобку, умножив $-a^3$ на каждый член в скобках $(21a + 7a^2 - 3a^5)$:
$-a^3(21a + 7a^2 - 3a^5) = -a^3 \cdot 21a - a^3 \cdot 7a^2 - a^3 \cdot (-3a^5) = -21a^4 - 7a^5 + 3a^8$.

3. Теперь сложим результаты:
$(7a^5 + 21a^4) + (-21a^4 - 7a^5 + 3a^8) = 7a^5 + 21a^4 - 21a^4 - 7a^5 + 3a^8$.

4. Приведем подобные слагаемые:
$(7a^5 - 7a^5) + (21a^4 - 21a^4) + 3a^8 = 0 + 0 + 3a^8 = 3a^8$.

В результате упрощения мы получили выражение $3a^8$.
Рассмотрим это выражение. Переменная $a$ возводится в восьмую степень. Так как 8 — это четное число, то $a^8$ будет всегда больше или равно нулю ($a^8 \ge 0$) для любого действительного значения $a$.
При умножении неотрицательного значения ($a^8$) на положительное число (3), результат также будет неотрицательным: $3a^8 \ge 0$.
Таким образом, мы доказали, что исходное выражение, равное $3a^8$, принимает неотрицательные значения при всех значениях $a$.

Ответ: Утверждение доказано, так как выражение $7a^4(a + 3) - a^3(21a + 7a^2 - 3a^5)$ тождественно равно $3a^8$, а $3a^8 \ge 0$ для любого значения $a$.

485. Решите уравнение:

1) $\frac{6x-7}{5} - \frac{3x+1}{6} = \frac{11-x}{15};$

2) $\frac{5x-3}{9} - \frac{4x+3}{6} = x-1;$

3) $\frac{8x-5}{3} - \frac{4x+3}{4} + \frac{2-9x}{2} = -3;$

4) $\frac{8x^2-3x}{16} - \frac{6x^2+1}{12} = -1.$

1)

Дано уравнение: $ \frac{6x-7}{5} - \frac{3x+1}{6} = \frac{11-x}{15} $.

Чтобы избавиться от дробей, приведем все члены уравнения к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 5, 6 и 15.

НОК(5, 6, 15) = 30.

Умножим обе части уравнения на 30:

$ 30 \cdot \left(\frac{6x-7}{5}\right) - 30 \cdot \left(\frac{3x+1}{6}\right) = 30 \cdot \left(\frac{11-x}{15}\right) $

Выполним сокращение дробей:

$ 6(6x-7) - 5(3x+1) = 2(11-x) $

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$ 36x - 42 - 15x - 5 = 22 - 2x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (36x - 15x) + (-42 - 5) = 22 - 2x $

$ 21x - 47 = 22 - 2x $

Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя знак при переносе:

$ 21x + 2x = 22 + 47 $

$ 23x = 69 $

Разделим обе части на 23, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{69}{23} $

$ x = 3 $

Ответ: 3.

2)

Дано уравнение: $ \frac{5x-3}{9} - \frac{4x+3}{6} = x - 1 $.

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей в левой части. НОК(9, 6) = 18.

Умножим обе части уравнения на 18, чтобы устранить знаменатели:

$ 18 \cdot \left(\frac{5x-3}{9}\right) - 18 \cdot \left(\frac{4x+3}{6}\right) = 18 \cdot (x - 1) $

Сократим дроби:

$ 2(5x-3) - 3(4x+3) = 18(x-1) $

Раскроем скобки:

$ 10x - 6 - 12x - 9 = 18x - 18 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (10x - 12x) + (-6 - 9) = 18x - 18 $

$ -2x - 15 = 18x - 18 $

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$ -15 + 18 = 18x + 2x $

$ 3 = 20x $

Найдем $x$:

$ x = \frac{3}{20} $

Ответ: $ \frac{3}{20} $.

3)

Дано уравнение: $ \frac{8x-5}{3} - \frac{4x+3}{4} + \frac{2-9x}{2} = -3 $.

Найдем НОК знаменателей 3, 4 и 2. НОК(3, 4, 2) = 12.

Умножим все члены уравнения на 12:

$ 12 \cdot \left(\frac{8x-5}{3}\right) - 12 \cdot \left(\frac{4x+3}{4}\right) + 12 \cdot \left(\frac{2-9x}{2}\right) = 12 \cdot (-3) $

Выполним сокращение:

$ 4(8x-5) - 3(4x+3) + 6(2-9x) = -36 $

Раскроем скобки:

$ 32x - 20 - 12x - 9 + 12 - 54x = -36 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ (32x - 12x - 54x) + (-20 - 9 + 12) = -36 $

$ (20x - 54x) + (-29 + 12) = -36 $

$ -34x - 17 = -36 $

Перенесем число -17 в правую часть:

$ -34x = -36 + 17 $

$ -34x = -19 $

Разделим обе части на -34:

$ x = \frac{-19}{-34} $

$ x = \frac{19}{34} $

Ответ: $ \frac{19}{34} $.

4)

Дано уравнение: $ \frac{8x^2 - 3x}{16} - \frac{6x^2 + 1}{12} = -1 $.

Найдем НОК знаменателей 16 и 12. НОК(16, 12) = 48.

Умножим обе части уравнения на 48:

$ 48 \cdot \left(\frac{8x^2 - 3x}{16}\right) - 48 \cdot \left(\frac{6x^2 + 1}{12}\right) = 48 \cdot (-1) $

Сократим дроби:

$ 3(8x^2 - 3x) - 4(6x^2 + 1) = -48 $

Раскроем скобки:

$ 24x^2 - 9x - 24x^2 - 4 = -48 $

Приведем подобные слагаемые. Обратим внимание, что члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$ (24x^2 - 24x^2) - 9x - 4 = -48 $

$ -9x - 4 = -48 $

Это линейное уравнение. Перенесем -4 в правую часть:

$ -9x = -48 + 4 $

$ -9x = -44 $

Найдем $x$, разделив обе части на -9:

$ x = \frac{-44}{-9} $

$ x = \frac{44}{9} $

Ответ: $ \frac{44}{9} $.

486. Найдите корень уравнения:

1) $\frac{2x+3}{3} - \frac{5x+13}{6} + \frac{5-2x}{2} = 6;$

2) $\frac{4x^2+5x}{14} + \frac{10-2x^2}{7} = 5.$

1) Решим уравнение $ \frac{2x + 3}{3} - \frac{5x + 13}{6} + \frac{5 - 2x}{2} = 6 $.

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 3, 6 и 2, которое равно 6.

$$ 6 \cdot \frac{2x + 3}{3} - 6 \cdot \frac{5x + 13}{6} + 6 \cdot \frac{5 - 2x}{2} = 6 \cdot 6 $$

Выполним умножение, сокращая дроби:

$$ 2 \cdot (2x + 3) - 1 \cdot (5x + 13) + 3 \cdot (5 - 2x) = 36 $$

Раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью, он меняет знаки в скобках на противоположные.

$$ 4x + 6 - 5x - 13 + 15 - 6x = 36 $$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$$ (4x - 5x - 6x) + (6 - 13 + 15) = 36 $$

$$ -7x + 8 = 36 $$

Перенесем число 8 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$$ -7x = 36 - 8 $$

$$ -7x = 28 $$

Разделим обе части на -7, чтобы найти $x$:

$$ x = \frac{28}{-7} $$

$$ x = -4 $$

Ответ: -4

2) Решим уравнение $ \frac{4x^2 + 5x}{14} + \frac{10 - 2x^2}{7} = 5 $.

Наименьший общий знаменатель для 14 и 7 это 14. Умножим обе части уравнения на 14.

$$ 14 \cdot \frac{4x^2 + 5x}{14} + 14 \cdot \frac{10 - 2x^2}{7} = 14 \cdot 5 $$

Сократим дроби:

$$ 1 \cdot (4x^2 + 5x) + 2 \cdot (10 - 2x^2) = 70 $$

Раскроем скобки:

$$ 4x^2 + 5x + 20 - 4x^2 = 70 $$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$$ (4x^2 - 4x^2) + 5x + 20 = 70 $$

$$ 5x + 20 = 70 $$

Перенесем 20 в правую часть уравнения:

$$ 5x = 70 - 20 $$

$$ 5x = 50 $$

Найдем $x$, разделив обе части на 5:

$$ x = \frac{50}{5} $$

$$ x = 10 $$

Ответ: 10

487. За 3 дня турист прошёл 108 км. За второй день он прошёл на 6 км больше, чем за первый, а за третий — $\frac{5}{13}$ расстояния, пройденного за первых два дня. Сколько километров турист прошёл за каждый из этих дней?

Для решения этой задачи составим уравнение. Обозначим расстояние, которое турист прошёл в первый день, через $x$ км.

Из условия известно, что за второй день он прошёл на 6 км больше, чем за первый. Следовательно, расстояние за второй день равно $(x + 6)$ км.

Расстояние, пройденное за первые два дня, составляет сумму расстояний за первый и второй дни: $x + (x + 6) = (2x + 6)$ км.

За третий день турист прошёл $\frac{5}{13}$ от расстояния, пройденного за первые два дня. Таким образом, расстояние за третий день можно выразить как $\frac{5}{13}(2x + 6)$ км.

Общее расстояние, пройденное за три дня, равно 108 км. Мы можем составить уравнение, сложив расстояния за все три дня:

$x + (x + 6) + \frac{5}{13}(2x + 6) = 108$

Упростим левую часть уравнения, сгруппировав слагаемые:

$(2x + 6) + \frac{5}{13}(2x + 6) = 108$

Вынесем общий множитель $(2x + 6)$ за скобки:

$(2x + 6) \cdot (1 + \frac{5}{13}) = 108$

Выполним сложение в скобках:

$(2x + 6) \cdot (\frac{13}{13} + \frac{5}{13}) = 108$

$(2x + 6) \cdot \frac{18}{13} = 108$

Теперь найдём значение выражения $(2x + 6)$, разделив обе части уравнения на $\frac{18}{13}$:

$2x + 6 = 108 \div \frac{18}{13}$

$2x + 6 = 108 \cdot \frac{13}{18}$

Так как $108 \div 18 = 6$, получаем:

$2x + 6 = 6 \cdot 13$

$2x + 6 = 78$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = 78 - 6$

$2x = 72$

$x = \frac{72}{2}$

$x = 36$

Таким образом, за первый день турист прошёл 36 км.

Теперь найдём, какое расстояние он прошёл в остальные дни:

За второй день: $x + 6 = 36 + 6 = 42$ км.

За третий день: $\frac{5}{13}$ от расстояния за первые два дня. Расстояние за первые два дня: $36 + 42 = 78$ км. Тогда за третий день он прошёл $\frac{5}{13} \cdot 78 = 5 \cdot \frac{78}{13} = 5 \cdot 6 = 30$ км.

Проверим: $36 + 42 + 30 = 78 + 30 = 108$ км. Все условия задачи выполнены.

Ответ: за первый день турист прошёл 36 км, за второй — 42 км, а за третий — 30 км.

488. Три бригады рабочих изготовили за смену 80 деталей. Первая бригада изготовила на 12 деталей меньше, чем вторая, а третья $-$ $\frac{3}{7}$ количества деталей, изготовленных первой и второй бригадами вместе. Сколько деталей изготовила каждая бригада?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — количество деталей, которое изготовила вторая бригада.

Согласно условию, первая бригада изготовила на 12 деталей меньше, чем вторая, то есть ее результат — $(x - 12)$ деталей.

Третья бригада изготовила $\frac{3}{7}$ от количества деталей, изготовленных первой и второй бригадами вместе. Сумма деталей, изготовленных первыми двумя бригадами, составляет $x + (x - 12) = 2x - 12$. Таким образом, третья бригада изготовила $\frac{3}{7}(2x - 12)$ деталей.

Всего три бригады изготовили 80 деталей. Составим уравнение, сложив количество деталей каждой бригады:

$(x - 12) + x + \frac{3}{7}(2x - 12) = 80$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сгруппировав слагаемые:

$(2x - 12) + \frac{3}{7}(2x - 12) = 80$

Вынесем общий множитель $(2x - 12)$ за скобки:

$(2x - 12)(1 + \frac{3}{7}) = 80$

Выполним сложение в скобках:

$(2x - 12)(\frac{7}{7} + \frac{3}{7}) = 80$

$(2x - 12) \cdot \frac{10}{7} = 80$

Чтобы найти значение выражения $(2x - 12)$, умножим обе части уравнения на $\frac{7}{10}$ (обратную дробь для $\frac{10}{7}$):

$2x - 12 = 80 \cdot \frac{7}{10}$

$2x - 12 = 8 \cdot 7$

$2x - 12 = 56$

Перенесем 12 в правую часть уравнения:

$2x = 56 + 12$

$2x = 68$

$x = \frac{68}{2}$

$x = 34$

Мы нашли, что вторая бригада изготовила 34 детали. Теперь можем найти, сколько деталей изготовили остальные бригады.

Первая бригада:

Изготовила на 12 деталей меньше, чем вторая: $34 - 12 = 22$ детали.

Вторая бригада:

Изготовила $x = 34$ детали.

Третья бригада:

Изготовила $\frac{3}{7}$ от суммы деталей первой и второй бригад. Сумма равна $22 + 34 = 56$ деталей.

$\frac{3}{7} \cdot 56 = 3 \cdot \frac{56}{7} = 3 \cdot 8 = 24$ детали.

Проверка: $22 + 34 + 24 = 56 + 24 = 80$ деталей. Общее количество совпадает с условием задачи.

Ответ: первая бригада изготовила 22 детали, вторая бригада — 34 детали, третья бригада — 24 детали.

489. Остаток при делении натурального числа a на 3 равен 1, а остаток при делении натурального числа b на 9 равен 7. Докажите, что значение выражения $4a + 2b$ делится нацело на 3.

По условию задачи, остаток при делении натурального числа $a$ на 3 равен 1. Это означает, что число $a$ можно представить в виде:

$a = 3k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.

Также по условию, остаток при делении натурального числа $b$ на 9 равен 7. Это означает, что число $b$ можно представить в виде:

$b = 9m + 7$, где $m$ — некоторое целое неотрицательное число.

Теперь необходимо доказать, что значение выражения $4a + 2b$ делится нацело на 3. Для этого подставим выражения для $a$ и $b$ в данное выражение:

$4a + 2b = 4(3k + 1) + 2(9m + 7)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$4(3k + 1) + 2(9m + 7) = 12k + 4 + 18m + 14 = 12k + 18m + 18$

Чтобы проверить, делится ли полученное выражение на 3, вынесем общий множитель 3 за скобки:

$12k + 18m + 18 = 3(4k + 6m + 6)$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то и выражение в скобках $(4k + 6m + 6)$ является целым числом. Это означает, что выражение $4a + 2b$ можно представить в виде произведения числа 3 и некоторого целого числа, а значит, оно делится на 3 без остатка.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение $4a + 2b$ представлено в виде $3(4k + 6m + 6)$, что доказывает его делимость на 3 нацело.