Номер 481, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 481, страница 85.

Условие.

481. Докажите, что если:

1) $a + b + c = 0$, то $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$;

2) $a^2 + b^2 = c^2$, то $c(ab - c) - b(ac - b) - a(bc - a) + abc = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Требуется доказать, что если $a + b + c = 0$, то $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки:

$a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = abc - a + abc - b + abc - c$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(abc + abc + abc) - a - b - c = 3abc - (a + b + c)$

По условию задачи нам дано, что $a + b + c = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$3abc - (0) = 3abc$

Мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой: $3abc = 3abc$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Требуется доказать, что если $a^2 + b^2 = c^2$, то $c(ab - c) - b(ac - b) - a(bc - a) + abc = 0$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки:

$c(ab - c) - b(ac - b) - a(bc - a) + abc = abc - c^2 - (abc - b^2) - (abc - a^2) + abc$

Продолжим упрощение, раскрыв оставшиеся скобки:

$abc - c^2 - abc + b^2 - abc + a^2 + abc$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(abc - abc - abc + abc) + a^2 + b^2 - c^2 = 0 \cdot abc + a^2 + b^2 - c^2 = a^2 + b^2 - c^2$

По условию задачи нам дано, что $a^2 + b^2 = c^2$. Это равенство можно переписать в виде $a^2 + b^2 - c^2 = 0$.

Подставим это в наше выражение:

$a^2 + b^2 - c^2 = 0$

Мы получили, что левая часть равенства равна нулю, что и соответствует правой части: $0 = 0$.

Ответ: Что и требовалось доказать.