Номер 480, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 480, страница 85.

Условие.

480. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(x - y) \cdot * = x^2y^2 - x^3y;$

2) $(-9x^2 + *) \cdot y = * + y^4;$

3) $(1,4x - *) \cdot 3x = * - 0,6x^3;$

4) $*(* - x^2y^5 + 5y^6) = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - *.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Исходное тождество: $(x - y) \cdot * = x^2y^2 - x^3y$.

Обозначим одночлен, который нужно найти, за $M$. Тогда уравнение примет вид: $(x - y) \cdot M = x^2y^2 - x^3y$.

Для того чтобы найти $M$, нужно правую часть равенства разделить на $(x - y)$. Сначала вынесем общий множитель за скобки в правой части:

$x^2y^2 - x^3y = x^2y \cdot y - x^2y \cdot x = x^2y(y - x)$.

Теперь тождество выглядит так: $(x - y) \cdot M = x^2y(y - x)$.

Заметим, что $(y - x) = -(x - y)$. Подставим это в правую часть:

$(x - y) \cdot M = x^2y \cdot (-(x - y)) = -x^2y(x - y)$.

Теперь очевидно, что $M = -x^2y$.

Проверим: $(x - y) \cdot (-x^2y) = x \cdot (-x^2y) - y \cdot (-x^2y) = -x^3y - (-x^2y^2) = -x^3y + x^2y^2 = x^2y^2 - x^3y$. Тождество верно.

Ответ: $-x^2y$.

2) Исходное тождество: $(-9x^2 + *) \cdot y = * + y^4$.

Обозначим первую звёздочку за $M_1$, а вторую за $M_2$. Тождество: $(-9x^2 + M_1) \cdot y = M_2 + y^4$.

Раскроем скобки в левой части, умножив каждый член в скобках на $y$:

$-9x^2 \cdot y + M_1 \cdot y = M_2 + y^4$.

$-9x^2y + M_1y = M_2 + y^4$.

Поскольку это тождество, выражения в левой и правой частях должны быть равны. Это возможно, если слагаемые попарно равны. Приравняем слагаемые, содержащие $y$ в наибольшей степени:

$M_1y = y^4$.

Отсюда находим $M_1$: $M_1 = \frac{y^4}{y} = y^3$.

Теперь приравняем оставшиеся слагаемые:

$-9x^2y = M_2$.

Таким образом, первая звёздочка — это $y^3$, а вторая — $-9x^2y$.

Проверим: $(-9x^2 + y^3) \cdot y = -9x^2 \cdot y + y^3 \cdot y = -9x^2y + y^4$. Тождество верно.

Ответ: первая звёздочка — $y^3$, вторая звёздочка — $-9x^2y$.

3) Исходное тождество: $(1,4x - *) \cdot 3x = * - 0,6x^3$.

Обозначим первую звёздочку за $M_1$, а вторую за $M_2$. Тождество: $(1,4x - M_1) \cdot 3x = M_2 - 0,6x^3$.

Раскроем скобки в левой части:

$1,4x \cdot 3x - M_1 \cdot 3x = M_2 - 0,6x^3$.

$4,2x^2 - 3xM_1 = M_2 - 0,6x^3$.

Приравняем соответствующие слагаемые в левой и правой частях. Сравним слагаемые, содержащие $x^3$:

$-3xM_1 = -0,6x^3$.

Отсюда находим $M_1$: $M_1 = \frac{-0,6x^3}{-3x} = 0,2x^2$.

Теперь приравняем оставшиеся слагаемые:

$4,2x^2 = M_2$.

Итак, первая звёздочка — это $0,2x^2$, а вторая — $4,2x^2$.

Проверим: $(1,4x - 0,2x^2) \cdot 3x = 1,4x \cdot 3x - 0,2x^2 \cdot 3x = 4,2x^2 - 0,6x^3$. Тождество верно.

Ответ: первая звёздочка — $0,2x^2$, вторая звёздочка — $4,2x^2$.

4) Исходное тождество: $* \cdot (* - x^2y^5 + 5y^6) = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - *$.

Обозначим звёздочки последовательно за $M_1$, $M_2$ и $M_3$: $M_1 \cdot (M_2 - x^2y^5 + 5y^6) = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - M_3$.

Раскроем скобки в левой части:

$M_1M_2 - M_1x^2y^5 + 5M_1y^6 = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - M_3$.

Сравним слагаемые в обеих частях. Обратим внимание на слагаемые с коэффициентом 5. Вероятно, $5M_1y^6 = 5x^3y^8$.

Из этого равенства найдём $M_1$: $M_1 = \frac{5x^3y^8}{5y^6} = x^3y^{8-6} = x^3y^2$.

Теперь, зная $M_1$, мы можем найти остальные неизвестные. Подставим $M_1=x^3y^2$ в тождество:

$(x^3y^2)M_2 - (x^3y^2)x^2y^5 + 5(x^3y^2)y^6 = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - M_3$.

$x^3y^2M_2 - x^5y^7 + 5x^3y^8 = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - M_3$.

Сравнивая левую и правую части, видим, что слагаемое $5x^3y^8$ присутствует в обеих. Теперь сравним оставшиеся:

1. Слагаемое $x^3y^2M_2$ должно быть равно $8x^3y^3$. Отсюда $M_2 = \frac{8x^3y^3}{x^3y^2} = 8y$.

2. Слагаемое $-x^5y^7$ должно быть равно $-M_3$. Отсюда $M_3 = x^5y^7$.

Итак, первая звёздочка $M_1 = x^3y^2$, вторая $M_2 = 8y$, третья $M_3 = x^5y^7$.

Проверим: $x^3y^2(8y - x^2y^5 + 5y^6) = x^3y^2 \cdot 8y - x^3y^2 \cdot x^2y^5 + x^3y^2 \cdot 5y^6 = 8x^3y^3 - x^5y^7 + 5x^3y^8$. Если переставить слагаемые, получим $8x^3y^3 + 5x^3y^8 - x^5y^7$. Тождество верно.

Ответ: первая звёздочка — $x^3y^2$, вторая звёздочка — $8y$, третья звёздочка — $x^5y^7$.